第一換元法求不定積分的技巧

武文娟

(廣州工商學院 基礎教學部，廣州510850)

求不定積分的方法很多，主要有直接積分法、第一換元法、第二換元法、分部積分法。第一換元法(又稱湊微分法)是求不定積分最常用的方法，靈活性大、技巧性強，是最難掌握的一種方法。雖然看似形式多樣，但并不是毫無技巧可言。本研究將依據被積函數的特點提出第一換元法求不定積分的解題技巧。

1 第一換元法的定義

設f(u)具有原函數F(u)，u=φ(x)可導，則有以下第一換元公式：

=F(u)+C=F(φ(x))+C

2 第一換元法的應用

3 第一換元法求不定積分的難點

4 第一換元法求不定積分的技巧

第一換元法求不定積分的關鍵是找到合適的中間變量u=φ(x)。以下將給出第一換元法求不定積分的技巧，共分三步：第一，把被積函數看成幾個因式的乘積，找出其中最復雜的因式。第二，與基本積分表對照，找出與復雜因式最相似的公式。第三，根據最相似的基本積分公式找出中間變量。運用以上三步技巧可以快速有效地幫助學生找到中間變量u=φ(x)，可以靈活應用第一換元法求解定積分。

5 典型例題

以下將通過典型例題具體闡釋第一換元法求不定積分的技巧。這個技巧對于求不定積分是行之有效的，能幫助學生從容運用第一換元法求定積分。

例：計算下列不定積分

解：令u=cosx，則du=-sinxdx，于是

=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C

解：令u=2-3x，則du=-3dx，于是

解：令u=xlnx，則du=(1+lnx)dx，于是

=ln|u|+C=ln|lnlnx|+C