插值型無單元伽遼金比例邊界法理論及研究進展分析

葉文華，王 娟

(新余學院 建筑工程學院，江西 新余 338004)

0 引言

近年來，無網格法發展迅速，相比成熟的有限元法，該方法在數值計算時不需要生成網格，而且特別擅長處理不連續及大變形問題。最近發展起來的無單元伽遼金比例邊界法巧妙地繼承了比例邊界有限元法與無網格法的長處。然而，這種看似完美的數值方法以移動最小二乘法為基礎得到的試函數卻不滿足Kronecker delta函數性質，致使本質邊界條件施加困難。經過許多專家學者對該近似方法的研究改進，最終王聚豐等[1]介紹了一種改進的插值型移動最小二乘法，這種方法有效克服了移動最小二乘法的不足，而且可以任意選用非奇異權函數。目前，有學者根據該插值方法提出了插值型無單元伽遼金比例邊界法(Interpolating Element-Free Galerkin Scaled Boundary Method，簡稱IEFG-SBM)。研究表明，采用IEFG-SBM分析一些工程實際問題具有較高的精度與效率。

1 插值型無單元伽遼金比例邊界法的理論基礎

1.1 改進的插值型移動最小二乘法

假定在一段光滑邊界Si上布置N個點s1,s2,…,sN，取p1(s),p2(s),…pm(s)為給定用來形成逼近函數的基函數，其中p1(s)=1。將給定的基函數轉化為一組新的基函數，令

(1)

(2)

對函數u(s)也作與式(1)相同的轉化，即

(3)

(4)

式中：

(5)

u=(u(s1),u(s2),…u(sn))T

(6)

(7)

(8)

式中：wI(s)可取作任何非奇異的權函數，eI為1×n的單位行向量且第I列元素為1。

(9)

v(s)=(v(s,s1),v(s,s2),…,v(s,sn))

(10)

根據式(3)和式(4)，可以得到u(s)的逼近函數為

(11)

其中形函數矩陣為

Φ(s)=(φ1(s),φ2(s),…,φn(s))

=v(s)+gT(s)A-1(s)H(s)

(12)

gT(s)=(g2(s),g3(s),…,gm(s))

(13)

(14)

1.2 控制方程

(15)

圖1 比例邊界坐標系Fig.1 Coordinate system of proportion boundary

基于式(11)，計算域內任意點處的位移u(ξ,s)可以近似表示為

(16)

式中：Φ(s)為形函數，u(ξ)為徑向上的節點位移函數。

將式(16)代入虛功原理，可推導出IEFG-SBM的控制方程為

(17)

(18)

式中：P為等效節點力向量，E0，E1和E2為系數矩陣。

2 插值型無單元伽遼金比例邊界法的研究進展

相對于傳統的無單元伽遼金法，IEFG-SBM在計算精度與效率方面具有明顯優勢。陳莘莘等[2-3]首次提出IEFG-SBM并利用該方法準確分析了彈性與壓電材料斷裂問題。同時，為了更好發揮IEFG-SBM和有限元法各自的優勢，提出了將IEFG-SBM與有限元法進行耦合并用于解決彈性與壓電材料斷裂問題[4-5]。

3 展望

隨著研究的不斷深入，IEFG-SBM在斷裂以及無限域問題處理中已顯示出其良好的快捷性與適應性。盡管近年來該方法的應用范圍在不斷擴大，但至今應用該方法求解的都是線性問題，非線性還未涉及，未來將擴大IEFG-SBM的應用范圍，進而為計算方法的發展帶來更為廣闊的前景。

第11卷 第14期2020年7月黑龍江科學HEILONGJIANG SCIENCEVol.11Jul.2020