插值型無單元伽遼金比例邊界法理論及研究進(jìn)展分析

葉文華，王 娟

(新余學(xué)院 建筑工程學(xué)院，江西 新余 338004)

0 引言

近年來，無網(wǎng)格法發(fā)展迅速，相比成熟的有限元法，該方法在數(shù)值計(jì)算時(shí)不需要生成網(wǎng)格，而且特別擅長處理不連續(xù)及大變形問題。最近發(fā)展起來的無單元伽遼金比例邊界法巧妙地繼承了比例邊界有限元法與無網(wǎng)格法的長處。然而，這種看似完美的數(shù)值方法以移動(dòng)最小二乘法為基礎(chǔ)得到的試函數(shù)卻不滿足Kronecker delta函數(shù)性質(zhì)，致使本質(zhì)邊界條件施加困難。經(jīng)過許多專家學(xué)者對(duì)該近似方法的研究改進(jìn)，最終王聚豐等[1]介紹了一種改進(jìn)的插值型移動(dòng)最小二乘法，這種方法有效克服了移動(dòng)最小二乘法的不足，而且可以任意選用非奇異權(quán)函數(shù)。目前，有學(xué)者根據(jù)該插值方法提出了插值型無單元伽遼金比例邊界法(Interpolating Element-Free Galerkin Scaled Boundary Method，簡稱IEFG-SBM)。研究表明，采用IEFG-SBM分析一些工程實(shí)際問題具有較高的精度與效率。

1 插值型無單元伽遼金比例邊界法的理論基礎(chǔ)

1.1 改進(jìn)的插值型移動(dòng)最小二乘法

假定在一段光滑邊界Si上布置N個(gè)點(diǎn)s1,s2,…,sN，取p1(s),p2(s),…pm(s)為給定用來形成逼近函數(shù)的基函數(shù)，其中p1(s)=1。將給定的基函數(shù)轉(zhuǎn)化為一組新的基函數(shù)，令

(1)

(2)

對(duì)函數(shù)u(s)也作與式(1)相同的轉(zhuǎn)化，即

(3)

(4)

式中：

(5)

u=(u(s1),u(s2),…u(sn))T

(6)

(7)

(8)

式中：wI(s)可取作任何非奇異的權(quán)函數(shù)，eI為1×n的單位行向量且第I列元素為1。

(9)

v(s)=(v(s,s1),v(s,s2),…,v(s,sn))

(10)

根據(jù)式(3)和式(4)，可以得到u(s)的逼近函數(shù)為

(11)

其中形函數(shù)矩陣為

Φ(s)=(φ1(s),φ2(s),…,φn(s))

=v(s)+gT(s)A-1(s)H(s)

(12)

gT(s)=(g2(s),g3(s),…,gm(s))

(13)

(14)

1.2 控制方程

(15)

圖1 比例邊界坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system of proportion boundary

基于式(11)，計(jì)算域內(nèi)任意點(diǎn)處的位移u(ξ,s)可以近似表示為

(16)

式中：Φ(s)為形函數(shù)，u(ξ)為徑向上的節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)。

將式(16)代入虛功原理，可推導(dǎo)出IEFG-SBM的控制方程為

(17)

(18)

式中：P為等效節(jié)點(diǎn)力向量，E0，E1和E2為系數(shù)矩陣。

2 插值型無單元伽遼金比例邊界法的研究進(jìn)展

相對(duì)于傳統(tǒng)的無單元伽遼金法，IEFG-SBM在計(jì)算精度與效率方面具有明顯優(yōu)勢。陳莘莘等[2-3]首次提出IEFG-SBM并利用該方法準(zhǔn)確分析了彈性與壓電材料斷裂問題。同時(shí)，為了更好發(fā)揮IEFG-SBM和有限元法各自的優(yōu)勢，提出了將IEFG-SBM與有限元法進(jìn)行耦合并用于解決彈性與壓電材料斷裂問題[4-5]。

3 展望

隨著研究的不斷深入，IEFG-SBM在斷裂以及無限域問題處理中已顯示出其良好的快捷性與適應(yīng)性。盡管近年來該方法的應(yīng)用范圍在不斷擴(kuò)大，但至今應(yīng)用該方法求解的都是線性問題，非線性還未涉及，未來將擴(kuò)大IEFG-SBM的應(yīng)用范圍，進(jìn)而為計(jì)算方法的發(fā)展帶來更為廣闊的前景。

第11卷 第14期2020年7月黑龍江科學(xué)HEILONGJIANG SCIENCEVol.11Jul.2020