渡槽結構考慮水體作用的動力研究方法綜述

馮錫堯， 羅永坤， 李天成

(西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

我國是一個地震多發的國家，也是世界上地震災害嚴重的國家之一，統計表明世界上發生的7級以上地震中，約35 %就發生在中國[1]。渡槽作為一種跨越河流、道路、山谷等障礙的架空過水建筑物，是南水北調工程中重要的交叉建筑物之一。實際工程中，渡槽結構跨度大，抗側剛度低，加之上部槽體內承載著大質量的水體，使整個結構形成“頭重腳輕”的形式，在地震中易遭受破壞，甚至損毀[2]。在長距離的輸水工程中，若有一處遭到破壞，對整條沿線的輸水系統都將造成影響，嚴重中斷供水。因此，研究大型渡槽結構的抗震安全問題，具有重大的實際意義與實用價值。

渡槽槽體內的水荷載，既是渡槽結構區別于橋梁結構的特點，也是抗震研究的難點。大型渡槽內的水體質量在運營時很大甚至會超過渡槽結構自身的質量，在地震作用的激勵下將明顯改變結構本身的動力特性，如何準確獲取大質量水體的響應正是實現渡槽結構抗震的關鍵。考慮水體作用的渡槽結構動力學問題實是研究渡槽結構與槽內水體的耦合問題，即FSI(fluid-solidinteraction)系統，這類問題可以理解為即涉及固體求解又涉及流體求解，而兩者又都不能被忽略的問題。本文結合現有的研究成果，總結渡槽結構動力研究方法中考慮水體作用的計算模型和方法。

1 附加質量法

表1 有限寬度水域時附加質量的折減系數η

近期應用較多的是由動水壓力滿足的Laplace方程建立的附加質量法，由這種方法推導的附加質量矩陣可用于有限元動力方程，即不需要改變結構動力方程的形式，只在質量矩陣的基礎上添加附加質量矩陣[5]。

附加質量模型雖有各種不同的形式，但均忽略了水體的壓縮性和晃動作用，僅反映了動水壓力對結構的影響，沒有做到真正意義上的耦合，但是由于附加質量法的計算簡便，且采用附加質量法得到的渡槽動力響應是偏安全的[6]，所以在工程中的應用依然很廣泛。

2 彈簧質量模型

面對工程問題時，最理想的公式是既不需要做太復雜的計算，又能得到足夠的精度。從這個角度出發，李遇春等[11]在已有的經典理論上，采用線性勢流理論和比擬方法，并對得到的精確解公式進行數學擬合簡化，提出了表達簡單且具有高精度的建議公式。在對其他形狀截面渡槽(如半圓形、U形、梯形等)[12]的處理上，提出了一種半解析半數值的方法，得到了流體等效模型的近似解，該方法同樣適用于在未來的調水工程中具有廣泛應用前景的圓形渡槽[13]。

3 邊界元法

邊界元法(boundaryelementmethod，BEM)[14]是以Green公式和問題的基本解為基礎，將控制微分方程轉化為邊界積分方程的一種數值方法。在渡槽結構的抗震分析中，將水體的自由邊界面和與槽體的耦合面作為處理對象，假定渡槽槽身是剛體容器，槽內水體是不可壓縮的無旋流體，滿足二維Laplace方程。對水體進行離散，代入不同的邊界條件，轉化為邊界積分方程，采用時間增量法求解，即可求得邊界上的速度勢及自由面的波高隨時間的變化歷程，最后將壓力方程代入槽身控制方程，即可求得液體對渡槽結構的時間歷程[15]。

邊界元法可用來描述在強震下流體的大幅度晃動過程，同時能計算流體對固體的作用，并且得到液體晃動的波高和速度勢的分布[16]。由于只需要將邊界離散成單元，因而需要準備的數據簡單，便于復雜幾何問題的建模。但是目前將邊界元法應用于渡槽結構的分析中，將結構視為剛性體，僅反映了流體晃動對結構的影響，并未反映結構變形對流體的影響，沒有實現真實的流固耦合，不適用于薄壁柔性渡槽的解答。

4 有限元法

4.1 位移型有限元法

位移型有限元模型，是將流體位移作為待求未知量，流體和彈性體都使用位移計算格式建立的渡槽流固耦合系統，并將求解域離散的計算模型[17]。由于流體和彈性體都采用位置格式，在方程形式上具有相似性，因此可將流體的位移運動方程直接通過彈性體的運動方程加以描述，這種方式使得流固耦合邊界易于處理，適合求解較為復雜的渡槽流固耦合問題。值得注意的是將彈性體的動力學方程用于流體時，用到了條件G=0，即流體的剪切模量為零，表明流體單元與流體單元、與彈性體單元之間不傳遞剪力，只傳遞法向壓力，這一條件符合理想流體的力學特征(無粘性)，同時讓流固耦合面上的法向壓力協調條件得到自動滿足，但在實際計算中，為了保證數值計算的穩定性，不能將G為零，而是取一個非常小的正數，以確保計算過程不溢出。位移有限元模式的缺點是位移模式的待求未知量個數較多，會占用較大的計算機內存，當剪切剛度為零時，易產生很多需要耗費時間消除的偽模態。

4.2 壓力型有限元法

劉云賀[18]在研究液體與彈性體的二維動力耦合問題中，著重分析流體與彈性體在接觸界面上的運動狀態，假定接觸面由無限接觸點對構成，建立了運動和動力邊界條件，提出將能夠反映其動力相互作用機理的流、固域無限接觸點對的瞬態接觸內力作為待定變量，應用Lagrange乘子法構造了流體域、固體域包括滿足上述接觸界面運動和動力邊界條件的統一系統的功率泛函，在理論上證明了以接觸點對作為邊界條件的正確性。

對于具有復雜邊界條件的實際工程問題，要給出解析解答比較困難，因此借助有限元法，對流體固體動力耦合控制方程進行離散[19]。需要指出，由于流體域內壓力作用下產生的理想流體動量傳遞是一階的，而由應變率引起的粘性動量傳遞是二階的，因此壓力和速度需采用不同的插值函數[20]；在流體域和固體域的接觸邊界上，為了保證變形協調，固體域內速度和位移均采用與流體速度相同的二階插值函數。文獻[19]在流固接觸面上，假定流體與固體不直接發生法向分離，將討論分為接觸無滑移狀態和接觸滑移狀態兩種情況，分別建立了對應的接觸約束矩陣，得到了可用于有限元的流體、固體動力耦合方程。

4.3 位移-壓力有限元法

在流固耦合系統中，固體域的方程通常以位移作為基本未知量，流體域通常以流場壓力作為基本未知量，相應的有限元表達格式則為流固耦合的位移-壓力格式[21]。假定流體是無粘、可壓縮和小擾動的，流體自由液面為小波動，固體為線彈性，則可用伽遼金法建立流固耦合的有限元方程：

式中:p為流體結點壓力向量；a為固體結點位移向量；Q為流固耦合矩陣；Ms、Mf分別為固體和流體的質量矩陣；Ks、Kf分別為固體和流體的剛度矩陣；Fs為固體外荷載向量。由于位移-壓力有限元格式假設水體為小波動，因此不能考慮強震作用下產生的水體大晃動對結構的影響。

4.4 ALE(Arbitrary Lagrangian-Eulerian)有限元法

研究液體在渡槽結構的晃動分析中，需要涉及到求解Navier-Stokes方程，由于邊界條件比較復雜，單純使用Lagrange方程或Euler方程來描述是很困難的。Hirt和Noh[22]在研究有限差分法時，提出了ArbitraryLagrangian-Eulerian描述方法，同時利用Lagrange描述和Euler描述各自的優點解決了這一問題。研究表明，ALE描述法非常適用于求解考慮液體大晃動的問題[23]，可用迭代的數值方法，求解流固耦合系統非線性方程組，獲得較精確的渡槽結構動力響應。但是ALE有限元模型對網格的運動算法要求較高[24]，分析和計算都比較復雜。

5 其他計算方法

5.1 考慮水體TLD效應的集中質量模型

近年來，隨著調諧液體阻尼器(TLD)理論的研究發展，TLD概念被引入到渡槽結構體系中，認為渡槽中水體的晃動會對排架支撐的渡槽結構起到TLD減震效應。徐家云等[25]從水體的TLD效應出發，假定TLD為方形，槽體為剛性，槽體小振幅運動，液體無粘滯、不可壓縮、無旋，則取第1階對流諧振力即可得到較為精確的槽體TLD控制力。文獻[25]對比分析了有無隔板的矩形TLD減震效果，計算結果表明，在地震作用下槽內水體有比較顯著的TLD減震效應，且增加縱向隔板后減震效果更加明顯。

但是，TLD的設計是否能夠達到預期的減震效應，李遇春等[26]認為必須滿足兩個前提：(1)TLD中的液體晃動頻率應與結構振動主頻率一致；(2)TLD的設計質量應足夠小。而在一般地震作用下渡槽內液體并不具備這樣的條件，且流體的存在對結構的地震反應通常是不利的。

5.2 橫向地震響應的簡化計算公式

借鑒已有的抗震規范，張文學等[27]基于流固耦合振動理論，假定槽殼為剛體，槽墩等高，渡槽無限長，將這種規則的渡槽簡化為二維平面模型，并設槽內水體為理想液體，小幅晃動，推導了渡槽結構橫向地震響應的計算公式，并以非線性時程分析驗證了其可靠性。該公式可通過計算空槽的自振周期Tcs、考慮槽內水體質量時的自振周期Tcw和矩形槽殼中水體的基本自振周期Tw，通過反應譜法得到墩底剪力，進而換算得出墩底彎矩和槽頂位移，可有效反映槽內水體晃動對結構地震響應峰值的影響，但對于非規則渡槽及高墩渡槽等條件下的適用性有待進一步研究。

6 結論

(1)上述求解渡槽結構流固耦合問題的計算方法，都有各自的優缺點，在實際應用中，應綜合考慮分析目的、使用需求、現實條件，選擇最適合的方案。

(2)渡槽結構的動力計算大多使用二維模型，對考慮多維地震的效應尚缺乏理論指導。

(3)渡槽槽內水體在地震作用下的TLD效應，目前仍存在爭議，有待進一步研究TLD效應與渡槽結構的何種因數相關。

(4)現有的理論研究大都集中在對規則渡槽進行新方法的探索上，將已有成果的適用性推廣到各種形式的渡槽結構動力學問題求解上是一個值得研究的思路。