面內受壓大跨度混凝土板自由振動

2020-07-21 07:26:10劉露，謝智

四川建筑 2020年1期

劉露，謝智

(1.中交二航局成都城市建設工程有限公司，四川成都 610041； 2. 中交第三航務工程局有限公司廈門分公司, 福建廈門 361000)

基于現代結構理論和城市建設的發展，大跨度混凝土結構具有構件截面小，自重彎矩占總彎矩的比例小，優越的跨越能力等重要特性，從而使大跨度混凝土板在新建的市政項目應用普遍。范康等[1]基于板殼振動理論，根據樓板振動舒適度的要求、邊界條件、樓板跨度等因素對大跨度混凝土板的振動特性進行了研究。李冬等[2]借鑒歐洲EFNARC標準，利用四邊簡支方板試驗研究了鋼纖維對玄武巖纖維編織網增強混凝土板雙向彎曲性能的影響。王麗娟等[3]對水泥混凝土路面固化溫度區域特征及其對面板翹曲的影響進行了研究。李炎隆等[4]利用平面有限元法分析壩踵混凝土體型對混凝土面板應力變形的影響。韓重慶等[5]為分析不同持荷水平下受約束預應力混凝土空心板整澆樓面的耐火極限變化規律，進行了3塊受約束預應力混凝土空心板整澆樓面試件的耐火極限試驗研究。王園園等[6]對鋼-混凝土組合與疊合雙重作用梁負彎矩區剛度和疊合面滑移進行了研究。黃春霞等[7]研究單摻纖維和混摻纖維對活性粉末混凝土抗壓強度和軸向抗拉強度的影響規律。董毓利等[8]對火災作用下混凝土雙向簡支板的撓度進行了計算。

混凝土板作為最基礎的建筑構件在市政工程中應用極為廣泛，如用于路面承重結構、橋梁、樓板，地鐵車站等。同時由于功能和結構的需要，大跨度混凝土板也常見于市政工程中，深入分析其在面內荷載等多種載荷作用下的力學響應具有理論研究意義和工程實際應用價值。目前，面內受壓大跨度混凝土板自由振動和屈曲的分析在國內外還鮮見有文獻報道，因此本文研究面內受壓大跨度混凝土板自由振動和屈曲問題。首先基于經典薄板理論，利用Hamilton原理推導面內受壓大跨度混凝土板自由振動和屈曲的控制微分方程并進行無量綱化；其次采用微分變換法(DifferentialTransformMethod, 簡稱DTM)將問題的無量綱控制微分方程及其邊界條件進行變換；最后求解并探討了無量綱壓力強度、載荷參數和長寬比對于混凝土板自振頻率的影響。

1 控制微分方程及參數的無量綱化

考慮如圖1所示的大跨度混凝土板，將其放置在圖示的笛卡爾直角坐標系中。板的尺寸為a×b×h且受到垂直于y軸截面上的面內分布力Ny=-N0(1-γx/a)，其中N0為x=0處的壓力強度，γ為載荷參數。這里用λ=a/b表示矩形板的長寬比，垂直于板面的位移分量為w。y=0和y=b處為簡支邊界(S)，其余對邊為簡支(S)或夾緊(C)邊界。下面在對納米矩形板四個直邊的邊界條件表示中，均按x=0、y=b、x=a和y=0處的次序給出。

圖1 面內受壓大跨度混凝土板

為了導出大跨度混凝土板自由振動控制微分方程，運用Hamiltion原理表示如下：

(1)

式中：t表示時間，δ為變分符號。U、T和W分別表示板的應變能、動能和外力勢能，各量可表示如下：

(2)

(3)

(4)

式中：σx、σy和τxy為三個應力分量，εx、εy和γxy為三個應變分量，ρ為質量密度。

板中面應變和內力分量如下[9]：

(5)

(6)

將式(2)～式(6)代入式(1)可得面內受壓大跨度混凝土板的運動方程為：

(7)

在二維形式的板應力應變關系如下：

(8a)

(8b)

σxy=Gγxy

(8c)

式中：E、G=E/2(1+ν)分別為正交各向同性材料的兩個彈性模量；v為泊松比。

由式(5)、式(6)和式(8)可得混凝土板的彎矩和扭矩方程：

(9a)

(9b)

(9c)

式中：D=Eh3/[12(1-ν2)]為彎曲剛度。

式(9a)～式(9c)代入式(7)可得面內受壓大跨度混凝土板的運動方程為：

(10)

板的邊界條件在y=0和y=b處若只考慮為簡支(S)，板的橫向位移函數可取為：

(11)

Ω2=[12ρ(1-ν2)a2ω2]/EH2,

N0*=[12N0(1-ν2)]/aEH3,

并由式(10)、式(11)可得面內受壓大跨度混凝土板自由振動的控制微分方程為：

(12)

式中：

A1=1，

A2=-2λ2m2π2

A3=γλ2m2π2N0*，

A4=λ4m4π4-λ2m2π2N0*-Ω2

又由彈性穩定性理論可知，結構失穩時的振動具有無限大的振動周期，其固有頻率為零[10]，則式(14)中若取Ω=0，則可得到計算面內受壓大跨度混凝土板各階屈曲模態載荷的控制微分方程，其最小值即屈曲臨界載荷。至于在X=0和X=1邊界處，可為簡支(S)邊界條件或者固定(C)邊界條件，其無量綱形式表述如下：

簡支(S):

(13)

固定(C):

(14)

2 無量綱控制微分方程及其邊界條件的DTM變換

面內受壓大跨度混凝土板自由振動和屈曲的無量綱控制微分方程式(12)為變系數常微分方程，一般情況下較難求得其解析解，這里采用微分變換法(DTM)[11-14]進行求解。DTM是一種能有效將線性或非線性微分方程(組)變換成代數方程(組)求解的半解析方法，它基于Taylor級數展開來求解微分方程，使用充分可微的多項式形式作為精確解的近似。經DTM變換，可將原微分方程(組)和系統邊界條件轉化為由離散函數構成的代數方程(組)，非常適合計算機編程進行求解。對于原函數f(x)，根據函數的Taylor公式，經過DTM變換后的函數F[k]定義為[20]：

(15)

F(k)的逆變換為：

(16)

或者：

(17)

在實際應用中，函數f(x)只考慮級數的有限項，式(14)可重寫為：

(18)

式中:正整數m表示Taylor級數的項數。通常情況下可通過增大m的值來提高解的精度。

運用DTM對面內受壓大跨度混凝土板自由振動和屈曲問題進行求解時，首先需要將其無量綱控制微分方程和邊界條件經DTM轉化為相應的由離散函數組成的代數方程。這里用F表示式(12)中W經DTM變換后的離散值，則式(12)由DTM可變換為：

B1F[k+4]+B2F[k+2]+B3F[k]+B4F[k-1]=0

(19)

式中：

B1=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4),

B2=-2λ2m2π2(k+1)(k+2),

B3=λ4m4π4-Ω2-λ2m2π2N0*

B4=γλ2m2π2N0*

邊界條件變換如下：

在X=0處，簡支(S)邊界條件：

F[0]=F[2]=0

(20)

固定(C)邊界條件：

F[0]=F[1]=0

(21)

在X=1處，簡支(S)邊界條件：

(22)

固定(C)邊界條件：

(23)

將式(19)分別代入式(20)和式(22)，式(20)和式(23)，可分別求得四邊簡支(SSSS)和三邊簡支一邊固定(SSCS)的頻率特征方程如下：

S11(n)(Ω)F[1]+S12(n)(Ω)F[3]=0

S21(n)(Ω)F[1]+S22(n)(Ω)F[3]=0

(24)

式中S11(n),S12(n),S21(n),S22(n)是迭代n次求出的含有未知量無量綱固有頻率Ω的多項式，寫成矩陣的形式：

(25)

要使式(25)有非零解，則：

(26)

令無量綱固有頻率Ω=0，給定參數可以求解出臨界屈曲載荷Ncr。Ncr的求解過程類似于Ω的求解過程，同理可得：

(27)

在對邊簡支對邊固定(CSCS)、一邊固定三邊簡支(CSSS)的邊界條件下，同理可求出含有未知量無量綱固有頻率Ω以及臨界屈曲載荷Ncr特征方程：

(28)

(29)

由式(26)～式(29)，SSSS、SSCS、CSCS、CSSS邊界條件下的無量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr可求出。為了控制求出的無量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr的精度和研究其收斂性，則有：

|Ωj(n)-Ωj(n-1)|≤η1, |Ncrj(n)-Ncrj(n-1)|≤η2

(30)

式中：η1、η2為迭代誤差限，這里取η1=η2=0.000001。

3 計算結果與分析

通過編寫MATLAB程序可獲得由DTM求解面內受壓大跨度混凝土板屈曲和振動特征值問題的臨界載荷Ncr和無量綱頻率Ω。這里選擇C35混凝土進行計算。材料參數如下[1][24]：ν=0.2,E=3.15×104N/mm2,ρ=25kN/m2。

圖2為N0*=30,m=1,H=0.1時，在CSCS、CSSS、SSCS、SSSS邊界下1階無量綱固有頻率Ω與載荷參數γ的關系曲線。各邊界下的Ω都隨γ的增大而增大；約束較強邊界下Ω較大(順序：CSCS邊界下頻率值>CSSS邊界下頻率值或SSCS邊界下頻率值>SSSS邊界下頻率值)。

(a)CSCS邊界條件

(b)CSSS邊界條件

(c)SSCS邊界條件

(d)SSSS邊界條件

圖3為N0*=30,m=1,H=0.1時，在CSCS、CSSS、SSCS、SSSS邊界下1階無量綱固有頻率Ω與載荷參數λ的關系曲線。各邊界下的Ω都隨λ的增大而增大；約束較強邊界下Ω較大(順序：CSCS邊界下頻率值>CSSS邊界下頻率值或SSCS邊界下頻率值>SSSS邊界下頻率值)。

圖4給出了不同參數下在CSCS、CSSS、SSCS、SSSS邊界下1階無量綱固有頻率Ω與X=0處無量綱壓力強度N0*的關系曲線。由圖可見：當γ、λ，一定和H=0.1時，各邊界下的Ω都隨N0*的增大而減小且減小至0；當γ、λ及H=0.1、Ω=0時，N0*即為臨界屈曲載荷Ncr并且約束較強邊界下臨界屈曲載荷Ncr較大(順序：CSCS邊界下臨界屈曲載荷值>CSSS邊界下臨界屈曲載荷值或SSCS邊界下臨界屈曲載荷值>SSSS邊界下臨界屈曲載荷值)。