周期性軌道缺陷態研究

柯文華， 李 祥， 魏 曉

(1. 高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川成都 610031； 2. 西南交通大學土木工程學院， 四川成都 610031)

近些年我國軌道交通快速發展，列車運行速度和密度都在不斷提高，輪軌之間的相互作用也隨之不斷加劇，由此引起的環境振動與噪聲問題逐漸進入人們的視野，得到越來越多的重視。軌道作為一種向上承載列車荷載、向下傳遞輪軌作用力的結構，它的振動傳遞特性在解決軌道交通引起的環境振動與噪聲問題中顯得尤為重要。

為了方便施工與養護維修，軌道通常被設計成一種周期性結構，最明顯的就是扣件呈現一定距離的周期性排列。以鋼軌-扣件系統為研究對象，可將鋼軌考慮成周期支撐梁模型，將最小的周期單元稱為元胞，軌道結構的元胞如圖1所示。

圖1 周期軌道結構

近代固體物理學研究發現周期結構具有重要的物理特性，即衰減域特性，又稱之為振動帶隙特性：當振動在周期結構中傳播時，某些頻率范圍內的振動不能通過，則這些頻率段稱之為帶隙或禁帶；而某些頻率范圍內的振動可以通過，稱之為通帶[1]。

由于軌道結構存在周期性，而周期結構又具有帶隙特性，因此有許多學者以周期結構帶隙理論來研究軌道結構的振動特性。

西南交通大學王平老師在文獻[2]中運用傳遞矩陣方法和Bloch理論，通過Matlab編程計算，發現在周期性支撐的軌道結構中存在帶隙。易強利用U變換法計算2種具有無限長周期軌道特征的軌道模型在靜荷載作用下的精確解[3]。孟鐸基于局域共振原理研究軌道周期性結構振動特性，并在軌道上周期性附加吸振器，研究周期結構帶隙特性在軌道減振中的應用[1]。陳代秀運用ANSYS建立車-軌耦合模型發現扣減的周期性布置對輪軌力有一定的影響[4]。

以上研究均表明扣件周期性支撐會使軌道結構振動時存在帶隙，但都是針對嚴格周期軌道結構而言的，現實運營路線經常會出現彈條斷裂、軌下橡膠墊板失效等情況，破壞軌道結構嚴格的周期性，這樣必然會對軌道結構的振動特性帶來一定的影響，因此本文基于Bloch定理，結合超元胞理論，用有限元計算方法，建立含缺陷的周期性軌道結構超元胞，研究扣件受損或失效對周期性軌道結構帶隙特性的影響。

1 有限元法軌道結構缺陷態計算

解析解模型都過于簡化和理想化，與現實情況相差較大，而有限元算法能考慮復雜的邊界條件，使計算結果更加接近現實，而且可利用現有的專業軟件如ANSYS、ABAQUS等，操作方便，已有學者運用有限元法對周期結構的動力學特性進行過相關研究[5-8]。由于以上優點，本文采用基于ANSYS的有限元方法進行建模計算，鋼軌和扣件分別采用beam4梁單元和彈簧單元進行模擬，模型如圖2所示。

圖2 模型示意

對包含任意N個元胞的周期軌道結構應用有限元方法離散后可得到廣義特征值方程：

KU=ω2MU

(1)

該方程可縮聚到一個元胞子結構中[9]，因此運用有限元法研究周期結構的動力學只需對單個元胞子結構進行分析，在整個結構中提取單個元胞，采用有限元技術將單個元胞進行離散化處理，然后根據周期元胞之間的邊界條件，運用Bloch定理對其進行處理，可以得到相對應的各個振動模態[10]。

將圖1虛線中的單個元胞提取出來如圖3所示。

圖3 單個元胞示意

該元胞的運動方程可表示為：

(k-ω2m)u=F

(2)

根據Bloch定理，周期結構元胞的邊界點之間的位移和力之間存在如下關系：

ur=ulei(qk·a)Fr=-Flei(qk·a)

(3)

式中：qk表示波矢，a表示元胞長度，即扣件間距，可得：

u=AuBF=BFB

(4)

(5)

將式(5)代入式(2)后得到：

(k-ω2m)AqB=BFB

(6)

式(7)兩邊乘A的復共軛轉置矩陣AH，又Fi=0，可得：

(7)

式(7)是一個典型的矩陣特征值問題。特征值問題的形成與求解還依賴于邊界條件的處理，將節點位移寫成復數形式，即：

u=uR+iuI

(8)

上標I、R分別代表實部和虛部。

將式(8)代入式(3)，又ei(qk·a)=cos(qk·a)+isin(qk·a)，可得：

(9)

求解關于周期結構的Hermitain特征值問題就轉換為求解在式(9)約束條件下單個周期子結構的特征值問題。由于特征值方程分成了實部和虛部，所以需要建立兩個完全相同的元胞子結構有限元模型。在通用有限元軟件ANSYS中建立頻率提取分析步，沿不可約Brillouin區邊界選取波矢，分別求解每個波矢對應的特征值，就可以得到能帶結構ωn(k)。取多個元胞子結構組合成超元胞，在超元胞中引入受損扣件，以此超元胞計算含缺陷的周期軌道結構帶隙特性。

2 有限元模型計算結果

鋼軌采用CHN60軌，截面面積為7 745 mm2，截面慣性矩為3.217×10-5m4，彈性模量為210 GPa，扣件間距a=0.625 m，扣件剛度取值如下表1所示：

表1 扣件剛度參數

取30個元胞組成超元胞，受損扣件位于正中間，根據理論推導部分可知，需要建立兩個完全相同的元胞子結構有限元模型分別代表特征方程的實部和虛部，圖中的上面那條線代表實部模型，下面的代表虛部模型(圖4)。

圖4 模型示意

由于在橫向振動分析時,梁模型無法反映鋼軌于軌頭處橫向激勵引起的扭轉變形,計算結果與實體模型差別較大，而且鋼軌從1 200Hz開始會發生較大的截面變形振動，Beam4梁單元無法模擬這種截面變形[11]，故本文只研究1 200Hz內鋼軌垂向與縱向振動，通過分別改變扣件垂向剛度kv和縱向剛度kl來簡單模擬扣件受損，以研究這種缺陷對軌道結構振動的影響。

2.1 改變垂向剛度

Kv依次等于Kv,0、0.75Kv,0、0.5Kv,0和0，其中Kv,0為扣件正常垂向剛度，不同扣件剛度下鋼軌垂向振動的能帶曲線如圖5所示。

(a)Kv=Kv,0

(b)Kv=0.75Kv,0

(c)Kv=0.5Kv,0

(d)Kv=0圖5 垂向振動能帶結構曲線

由圖5可知，在不同Kv值下，130～1 200Hz范圍內垂向振動都有對應的波矢，相應的振動能正常傳遞，這種振動不受抑制的頻帶即為通帶。在0～130Hz范圍內的能帶曲線比較密集，現分別對圖5(a)～圖5(d)在0～13Hz頻段內進行局部放大，如下圖6(a)～圖6(d)所示。

(a)Kv=Kv,0

(b)Kv=0.75Kv,0

(c)Kv=0.5Kv,0

(d)Kv=0圖6 0～130 Hz頻帶內局部放大

將圖6中的帶隙及缺陷態頻率匯總如表2所示。

當Kv=Kv,0時，為嚴格周期結構，對應圖6 (a)，可知在0～129.2Hz頻帶內，垂向振動沒有對應的波矢k，說明此頻帶范圍內的垂向振動波在結構中無法傳播，這個頻帶稱為帶隙，與通帶相對應，也被稱作禁帶。這個結果與文獻[1]結果一致，證明有限元法結合超元胞算法的正確性。從圖6(b)～圖6(d)可知，不同扣件下都存在0～129.2Hz的帶隙，但是在帶隙內，還有一個平直帶，此即為缺陷態，當缺陷處扣件剛度從0.75Kv,0變化至0時，該固定頻率從126.7Hz降到112.6Hz，說明這個特定頻率的振動是因為受損扣件剛度變化而引起的，且隨剛度的減小而減小。觀察能帶曲線的帶邊頻率振型以及缺陷態頻率振型(圖7)。

表2 扣件剛度參數

(a)帶邊振型

(b)缺陷處振型圖7 振型示意

從圖7(a)可知，帶邊頻率處表現為鋼軌整體的垂向平移振動，在缺陷態頻率處，鋼軌的振動被局域化在受損扣件附近，這種局域化會使原本受損的扣件產生較大的振動，加速受損扣件的破壞失效。

在帶隙之外的能帶曲線與無缺陷時基本一致，說明振動正常傳播，在通帶范圍內的陣型如下圖所示，扣件缺陷并沒有對陣型產生明顯的影響。

2.2 改變縱向剛度

與垂向剛度一樣，將縱向剛度KL分成4個值，依次為KL,0、0.75KL,0、0.5KL,0和0。

由圖8可知，縱向振動帶隙為0～71Hz，改變扣件縱向剛度對縱向振動的帶隙特性沒有影響，且沒有出現缺陷態，這是因為鋼軌本身縱向剛度比較大，扣件縱向剛度對鋼軌縱向振動影響很小。此時的帶邊振型如圖9所示，為鋼軌的縱向伸縮振動。

(a)KL=KL,0

(b)KL=0.75KL,0

(c)KL=0.5KL,0

(d)KL=0

圖9 帶邊振型

3 結論

通過有限元方法結合超元胞理論，建立30跨軌道結構有限元模型，并添加周期性邊界條件，改變中間扣件垂向、縱向剛度來模擬扣件受損，從周期結構帶隙特性理論的角度研究單個扣件受損引起的軌道結構缺陷對振動響應的影響。計算分析可得如下結論：

(1)周期性支撐的軌道結構在垂向和縱向振動方向上都存在帶隙，且垂向振動帶隙為0～129.2Hz，縱向振動帶隙為0～71Hz。

(2)扣件垂向剛度減小會在垂向帶隙內引起平直帶，且平直帶頻率隨著扣件垂向剛度的減小而減小，該平直帶頻率的振動波被局域在受損扣件處，會進一步加快受損扣件的破壞失效。

(3)改變扣件縱向剛度對縱向振動帶隙無明顯影響，且帶隙內沒有出現平直帶。