向量及其應用

徐宇濤　楊付貴

摘? 要：通過分析和考察了起源于力與速度的平行四邊形法則的向量理論。發現了在19世紀上半葉，向量的研究與物理力學緊密地聯系在一起。當時的物理學家雖有使用向量，但并沒有完全意識到向量思維在物理中的重要性，也沒有將其抽象成數學對象進行深入研究。

通過對一些有關向量的著作，來證明向量在物理和數學領域中的作用。最重要的是促進了各國學者對向量的研究并以此思想去促進物理學科的進步（尤其在電磁領域）。

關鍵詞：向量;物理;平行四邊形法則

向量的發展來源于物理學，最初的向量為物理所使用，很多物理量如力、速度、位移以及電場強 向量度、磁感應強度等都是向量。隨著時間的發展，向量的使用也從物理學發展到數學之上，18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數a+bi（a，b為有理數，且不同時等于0），人們便利用具有幾何意義的復數運算來定義向量的運算。以復數作為起點，向量就漸漸融入到數學的海洋中。但復數的利用是受限制的，因為它僅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復數”以及相應的運算體系。19世紀中期，英國數學家哈密爾頓發明了四元數（包括數量部分和向量部分），以代表空間的向量.他的工作為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎。隨后，電磁理論的發現者，英國的數學物理學家麥克斯韋把四元數的數量部分和向量部分分開處理，從而創造了大量的向量分析。

綜上所言，在數學領域或物理領域中向量能分為平面向量（定義：在一平面內既有大小又有方向且遵循平行四邊形法則的量叫做向量）和空間向量（定義：在一空間中具有大小和方向的量叫做空間向量）;同時為了方便表示向量，也利用編程語言，向量有起點，有方向。常用一個帶箭頭的線段表示。

一、向量的平行四邊形法則

向量的平行法則要追溯到早期物理學對速度的研究。這就涉及到最基本的數學思想——向量的加法。其的定義為兩個有共同起點的向量并以這兩個向量互作鄰邊所構成的平行四邊形的對角線表示兩向量的相加。就如下圖可視，向量AD=AB+AC。

然而速度的平行四邊形法則可以追溯到古希臘。亞里士多德在《力學》（Mechanica）（公元前四世紀）中寫道：“當一個物體以一定比率移動時（即含有兩個有常數比率的線性運動），物體一定沿一直線運動，這兩條直線是由這兩條有給定比率的直線形成的平行四邊形對角線。”

在此思想的影響下，牛頓（Isaac Newton，1643—1727）在其的著作《自然哲學之數學原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy）中也有類似的運用，它作為運動定律的一個推論敘述如下：“物體同時受兩個力作用時，其運動將沿平行四邊形的對角線進行，所用時間等于二力分別沿兩邊所需時間。”

盡管牛頓在他自己研究的力學之中，已經在使用平行四邊形的平行法則，但他并沒意識到自己運用了向量相加的數學思想。其唯一欠缺的是沒有把這種力學中的具體運營概述成運算理論，只是在其思維中有一個抽象的概念，沒有形成一個系統化的觀念。

二、向量的應用

在向量的應用上就不能繞開一些相關方面的著作，它們對向量的接受起著重要的作用。

1.E.B威爾遜（Edwin Bidwell Wilson，1879-1964）1901年著作《向量分析：吉布斯講義的科學和物理學生使用教科書》（Vector analysis：A text book for the use of students of mathematics and physics founded upon the lectures of J.Willad Gibbs）

這是第一本正式出版的完全致力于表達向量理論的教科書，也是篇幅最長的最好的向量理論教科書之一。這本書表達準確、清楚，例題豐富，幾乎包括了吉布斯所有早期著作的材料，另外還增加了一些新內容。全書共15章，即：基本的符號和算子，向量分析的幾何應用，向量積，積的幾何應用，結晶學，向量的純量微分，微分和積分算子，勢、牛頓算子、拉普拉斯算子和麥克斯韋算子，拋物線軌道理論，線性向量函數，轉動和應動，二次曲面，曲面的曲率，固體動力學，流體力學。此書獲得了很好的評價，到1943年都已經出了第8版。

2.德國學者布雪勒（Alfred Heinrich Bucherer，1863-1927）1903年的著作《理論物理的向量分析基礎》（ELemente der vektor-analysis mit beispienlen aus der theoretischen physik）

這是德國出版的第一部關于現代向量分析的著作。布雪勒在向量的興趣來自于麥克斯韋的電磁理論，同時在書中也提到E.B威爾遜的作品。此書中包含了大量的向量分析的內容，如向量的基本運算、向量的微分、位勢論以及變換理論等內容，此外還提供了選自力學、流體力學和電學等方面的大量應用問題。

3.俄羅斯數學家P.O索莫夫（Pavel Osipovich Somov）1907年的著述《向量分析及其應用》（Vector analysis and its applications）。

這是俄羅斯出現的第一部關于向量分析方法的著作，也是早期的關于向量分析的最成功的著作之一。在這本書中，P.O索莫夫處理了向量分析的基礎知識以及包括線性函數在內的較高層次的內容，編入了許多來自力學的題目，另外還對麥比烏斯和哈密頓系統等做了簡練的解釋。

由此可見，向量的發展無論是物理學還是現代數學都有很大的助益。向量很大程度上給人們研究數學和物理提供了一個新角度。

結論：

通過向量的發展溯源，向量起源于物理學中的速度與力的平行四邊形概念，這是向量起源的重要概念。同時在發展之中種種著作都有不同程度的關聯性，相互聯系，相互補充。對于近現代的數學和物理學起到了很大的貢獻。

參考文獻

[1]? 孫慶華. 向量理論歷史研究[D].西北大學，2006.

[2]? 亞里士多德（Aristotle）.《力學》（Mechanica）[M]

[3]? 牛頓（Isaac Newton）.《自然哲學之數學原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy）[M]

[4]? E.B威爾遜（Edwin Bidwell Wilson）.《向量分析：吉布斯講義的科學和物理學生使用教科書》.（Vector analysis：A text book for the use of students of mathematics and physics founded upon the lectures of J.Willad Gibbs）[M]

[5]? 德國學者布雪勒（Alfred Heinrich Bucherer）.《理論物理的向量分析基礎》（ELemente der vektor-analysis mit beispienlen aus der theoretischen physik）.[M]

[6]? P.O索莫夫（Pavel Osipovich Somov）.《向量分析及其應用》（Vector analysis and its applications）.[M]