淺談向量組的線性相關性及判別方法

摘? 要：向量組的線性相關性是線性代數中十分重要的概念之一，有著極其廣泛的應用。然而，在學習線性代數中發現，在學生學習向量組的線性相關性時，感覺很抽象，學習有些吃力。尤其是對于一般高校文科的學生以及民辦高校的本專科的學生，對于向量組的線性相關性的概念很模糊，更不知如何去判別向量組的線性相關性。本文主要根據自己多年來，在教學和學習過程中的一些經驗和體會，對向量組的線性相關性及其性質，以及判別向量組的線性相關性都有那些常見的方法，進行梳理，歸納和總結。為同學們在學習向量組的線性相關性時提供一些思路。

關鍵詞：向量組;線性相關;線性無關;初等變換

一.向量組的線性相關性及其性質和判別定理

1. 向量組的線性相關性的定義

定義1：如果向量組 中，至少有一個向量可以被其余向量線性表示，則稱向量組 線性相關，否則，向量組 線性無關。

定義2：如果存在一組不全為零的數 ，使得 ，

則稱向量組 線性相關，否則，向量組 線性無關。

注：定義1表明，所謂向量組 線性相關，是指向量組 中至少有一個向量可以用其余向量線性表示，也即存在著線性關系。而線性無關是說向量組中的向量之間沒有線性關系。而定義2主要是用來判別向量組的線性相關性。顯然，定義1與定義2是對向量組的線性相關性的不同敘述方式，彼此之間是等價的。

2. 向量組的線性相關性的性質

（1）如果向量組中只有一個向量 ，則當 時，線性相關，當 時，線性無關。

（2）如果向量組中有兩個向量 ，則 線性相關的充分必要條件是對應分量成比例。

（3）如果向量組中含有零向量，則向量組一定線性相關。

（4） 維基本單位向量組 線性無關。

3.向量組的線性相關性的判別定理

（1）向量組 線性相（無）關的充分必要條件是齊次線性方程組 有非零解（只有零解）（其中 ）。

（2） 。

（3）如果 線性相關，而 線性無關，則 可以由 線性表示，且表示式是唯一的。

（4）如果向量組中的部分向量組成的新的向量組線性相關，則原來的向量組也線性相關。

簡稱為部分相關，整體相關;而整體無關，則部分無關。

（5）設 ，則

線性無關，則 線性無關。簡稱為低維無關，高維無關。而高維相關，低維相關。

（6）設向量組（I） 和（II） ，如果（I）可以由（II）線性表示，且 ，則 線性相關;如果 線性無關，則 。

（7）向量個數大于維數的向量組必線性相關。

二.判別“具體”的向量組的線性相關性常用的方法

1.定義法：根據定義設 ，由于此式是一個關于 為未知量的一個齊次線性方程組的向量形式，如果此線性方程組有非零解，則 線性相關，如果此線性方程組只有零解，則 線性無關。

2.求秩法：首先將向量組 寫成矩陣 ，然后求出矩陣 的秩，如果? ，則向量組 線性相關，如果 則向量組 線性無關.

3.行列式法：對于 個 維向量組 ，構造 階方陣 ，如果 ，則向量組 線性無關，如果 ，則向量組 線性相關.

注：行列式法僅適用于向量個數與維數相同的向量組。

4.利用有關結論法：用向量組的線性相關性的性質和判別定理判別向量組的線性相關性。

由于篇幅所限，這里就不再舉例，如有興趣的讀者，請參看參考文獻。

三.判別“抽象”的向量組的線性相關性常用的方法

1.定義法：根據定義，假設 （*），然后，充分利用已知條件，對（*）式作恒等變換，將其化為關于 的齊次線性方程組，如果此齊次線性方程組有非零解，則向量組 線性相關，如果此齊次線性方程組只有零解，則向量組 線性無關，

2.求秩法：完全類似于判別“具體”的向量組的線性相關性的求秩法：仍然是，首先

設 ，如果 ，則向量組 線性相關，如果 ，則向量組 線性無關.但該方法在使用中，常常利用如下結論：如果向量組

可以用線性無關的向量組 線性表示，即

則 ， .

3.利用有關結論法：完全類似于判別“具體”的向量組的線性相關性的利用有關結論法。

4.反證法：根據相反結論，相辦法推出與假設相矛盾的結果。

例：設向量組 線性無關，證明： 也線性無關。

證明：1.定義法 設 ，則

解得 ，故 線性無關。

（*）

又因為 ，所以 可逆，從而 ，故 線性無關。

3.利用有關結論法 由（*）式，以及 可逆，可得 ，即向量組 也可以由 線性表示，從而兩個向量組 與 等價，因此它們由相同得秩，即 ，所以 線性無關。

4.反證法 如果 線性相關，則 ，又由（*）式，及 可逆，有 ，從而 線性相關，與假設矛盾，故 線性無關。

參考文獻

[1]? 李乃華.趙芬霞.趙俊英.李景煥.線性代數及其應用導學[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]? 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]? 張禾瑞.郝鈵新.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.

[4]? 郭聿琦.岑嘉評.徐貴桐.線性代數導引[M].北京：科學出版社，2001.

作者簡介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優化方法研究。