高等數(shù)學(xué)中三重積分“計算方法的選擇”問題研究

摘? 要：在高等數(shù)學(xué)三重積分的學(xué)習(xí)中會涉及到“方法的選擇”問題，如何正確選擇方法關(guān)系到能不能解答出題目以及計算量的繁簡問題，需要深入分析研究。本文通過對高等數(shù)學(xué)中三重積分方法的不同選擇，強調(diào)既要遵循一般的選擇規(guī)律也要靈活處理。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);三重積分;截面法，投影法

高等數(shù)學(xué)三重積分的學(xué)習(xí)中會涉及到“方法的選擇”的問題，這是解決三重積分首先要明晰的問題，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個非常重要的內(nèi)容，也是一個難點所在。首先要明確選擇哪種坐標(biāo)系，然后采用不同的方法解決，方法選擇不合適會導(dǎo)致不能夠解出答案，以及計算的難易不同。通過下面這個例題兩種不同方法的選擇，讓學(xué)生明確靈活處理問題的重要性，能幫助學(xué)生突破這個難點。

一、三重積分的計算步驟：

（1）畫出積分域的圖形，知道邊界面的方程，從而正確定出上下限;

（2）根據(jù)積分域特征及被積函數(shù)的特點，確定是選用切條法（投影法），還是用切片法（截面法）;

（3）根據(jù)上述結(jié)果，化三重積分為累次積分并計算。

（4）一般情況下：投影法用得更多，某些特殊情況下截面法更簡便。

（5）運用“截面法”的一般要求： ;且截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積容易求出。

二、關(guān)于不絕對使用截面法的說明，就是說有時候按照常規(guī)思維應(yīng)該用投影法，但是我們用截面法也可以解決，下面舉例說明這一點。

分析：①作圖：W是上半球體，它在xy面上的投影區(qū)域Dxy是單位圓x2+y2 ≦ 1. ② 選法：切條法（投影法），切片法（截面法），都可用。③定限

方法一：分析：截面法做題2個要點（先二后一，不需要知道三個上下限）

1.通過過z點去截面可得知截面的形狀;從而知道面積該怎么算（一定要把Dz 的方程求出來）;

2..知道z的取值范圍，才能知道單積分的上下限。

解：截面法：

當(dāng)0?z?1時，過（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立體W的截面為圓。

方法二：分析：投影法做題要點（分成三次積分來完成）

不畫立體圖明確上頂、下底、投影區(qū)域（需要知道三個上下限）

1.找出上頂、下底：找含z的兩個方程;

2.找出投影區(qū)域：不含z的方程，且由1-3條線圍成;

3.畫出投影區(qū)域圖Dxy（要考慮選法：直角坐標(biāo)有X，Y型，極坐標(biāo)先r后q）。

解：投影法：W是上半球體，它在xy面上的投影區(qū)域Dxy是單位圓x2+y2 ≦ 1，選擇柱面坐標(biāo)計算三重積分

令 x=rcosq，y=rsin q，z=z

平面 z = 0 的柱面坐標(biāo)方程為z=0

綜上：選擇投影法或者截面法既要遵循一般選擇規(guī)律也要根據(jù)題目靈活應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1]? 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)[M] .北京：高等教育出版社，1992.

[2]? 楊晉浩，張勇，羅釗.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M] .北京：科學(xué)出版社，2010.

[3]? 羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M] .北京：科學(xué)出版社，2010.

作者簡介：吳文前，成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)教育。