類比思維在多元微分學(xué)中的應(yīng)用

周小玲　楊付貴

摘? 要：類比法是我們學(xué)習(xí)新知識(shí)的重要認(rèn)知方法，科學(xué)地應(yīng)用類比思維可以提高我們學(xué)習(xí)工作的效率，增強(qiáng)我們對(duì)于學(xué)習(xí)復(fù)雜事物的熱情，有利于培養(yǎng)我們創(chuàng)造性思維。在高等數(shù)學(xué)多元微分學(xué)的學(xué)習(xí)中科學(xué)地應(yīng)用類比思維，有效幫助我們直觀地學(xué)習(xí)新知識(shí)。應(yīng)用類比思維求解多元函數(shù)極限、連續(xù)、可偏導(dǎo)以及偏導(dǎo)數(shù)的問題時(shí)，可以將復(fù)雜難懂的多元函數(shù)與簡(jiǎn)單易理解的一元函數(shù)進(jìn)行類比，提高我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。

關(guān)鍵詞：類比法;一元函數(shù);多元函數(shù)

為了響應(yīng)國務(wù)院《關(guān)于深化高等學(xué)校創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育改革的實(shí)施意見》中關(guān)于增強(qiáng)高校學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)意識(shí)的號(hào)召，越來越多的應(yīng)用型本科學(xué)校增設(shè)了實(shí)踐課程，這就意味著基礎(chǔ)課程學(xué)時(shí)將會(huì)減少。我們身為應(yīng)用型大學(xué)的學(xué)生，學(xué)會(huì)高效學(xué)習(xí)基礎(chǔ)課程可以促進(jìn)我們學(xué)業(yè)的綜合發(fā)展。在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)科學(xué)運(yùn)用類比思維可以提升學(xué)習(xí)的效率，下面我來簡(jiǎn)單談?wù)勱P(guān)于類比思維在多元微分學(xué)中的應(yīng)用。

類比法是通過研究個(gè)別問題的特殊構(gòu)造和本質(zhì)后，科學(xué)推理到新問題構(gòu)造和本質(zhì)的研究上。再將個(gè)別問題富有經(jīng)驗(yàn)的解決方案合理運(yùn)用到新問題的解答上，達(dá)到舉一反三的效果。這是一種研究問題、探究本質(zhì)、提供解決方案的思維邏輯。

高等數(shù)學(xué)的微分學(xué)習(xí)中分為一元函數(shù)微分學(xué)和多元函數(shù)微分學(xué)。一元函數(shù)只有一個(gè)自變量，但很多實(shí)際問題的解決都牽涉到多個(gè)方面，于是就提出了多元函數(shù)，多元函數(shù)涉及一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的求解。一元函數(shù)微分內(nèi)容相對(duì)直觀易接受，數(shù)形結(jié)合的方法有利于我們學(xué)習(xí);多元函數(shù)微分維度高，抽象難懂，數(shù)形結(jié)合的方法不適用于多元函數(shù)微分的求解。因此我們可以研究學(xué)習(xí)一元函數(shù)微分學(xué)時(shí)所了解的函數(shù)概念、定義、連續(xù)、偏導(dǎo)的性質(zhì)，通過類比得到多元函數(shù)微分學(xué)的相關(guān)概念、性質(zhì)和計(jì)算方法。

掌握概念是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在運(yùn)用類比法學(xué)習(xí)之前，我們要先了解一元函數(shù)和多元函數(shù)的概念：

一元函數(shù)的概念：設(shè)數(shù)集D∈R，則稱映射 ： 為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為： ，其中 稱為自變量， 稱為因變量， 稱為定義域，簡(jiǎn)記 ，即

二元函數(shù)的概念：設(shè)數(shù)集 是 ，則稱映射 ： 為定義在 上的二元函數(shù)，簡(jiǎn)記為： ，或 ，其中點(diǎn)集 稱為該函數(shù)的定義域， 和 稱為自變量， 稱為因變量.

二元函數(shù)的概念可以推廣到三元函數(shù)，以及更多元的函數(shù)中.

從一元函數(shù)和多元函數(shù)的基本概念中，我們不難發(fā)現(xiàn)，一元函數(shù)和多元函數(shù)主要的區(qū)別在于自變量個(gè)數(shù)的不同，因此在求解多元函數(shù)微分學(xué)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注自變量的不同。

此外我們還要應(yīng)該關(guān)注函數(shù)的其它概念，進(jìn)行更全面的類比，對(duì)相似點(diǎn)和不同點(diǎn)進(jìn)行深度的探究，科學(xué)記憶，避免混淆一元函數(shù)和多元函數(shù)的概念。類比學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)概念，可以鞏固我們之前所學(xué)習(xí)的一元函數(shù)重點(diǎn)，還可以通過對(duì)一元函數(shù)基本概念的研究去推理多元函數(shù)的概念，有利于培養(yǎng)我們的創(chuàng)造性思維。一元函數(shù)與多元函數(shù)概念的類比分析可見它們又很多相似之處，這對(duì)于我們研究問題的性質(zhì)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的核心。在解決數(shù)學(xué)問題之前我們應(yīng)當(dāng)正確理解問題性質(zhì)。由本文上述的多元函數(shù)的概念可知，多元函數(shù)與一元函數(shù)的重要區(qū)分就是自變量的增加，而自變量的增加會(huì)加大多元函數(shù)性質(zhì)的復(fù)雜程度。自變量的增加使得多元函數(shù)的圖像變得復(fù)雜，單純從多元函數(shù)的解題思路出發(fā)，我們很難理解問題的本質(zhì)，求解問題也更加困難。但是通過類比一元函數(shù)和多元函數(shù)的性質(zhì)，我們可以將復(fù)雜的多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的一元函數(shù)問題進(jìn)行求解，大大降低了學(xué)習(xí)的難度。

例1：求

分析：該題中多元函數(shù)求極限可以在換元后利用一元函數(shù)求極限的方法進(jìn)行求解.

解：用換元法：令 .

則

對(duì)于一元函數(shù)的極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分和多元函數(shù)的極限、連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)、全微分以及判斷極限是否存在？是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？是否可微和求極限，求導(dǎo)數(shù)，求微分的方法都有高度相似之處，分科學(xué)運(yùn)用類比法學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的多元函數(shù)微分學(xué)可以幫助我們鞏固一元函數(shù)微分學(xué)的知識(shí)，培養(yǎng)我們的推理能力。

比如：對(duì)于一元函數(shù)連續(xù)一定有極限，有極限不一定連續(xù);連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù);連續(xù)不一定可微，可微一定連續(xù);可微一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定可微;可導(dǎo)一定有極限，有極限不一定可導(dǎo)。而對(duì)于多元函數(shù)連續(xù)一定有極限，有極限不一定連續(xù);連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)卻不一定連續(xù);連續(xù)不一定可微，可微一定連續(xù);可微也一定可偏導(dǎo)，但可偏導(dǎo)卻不一定可微;可偏導(dǎo)也不一定有極限，有極限更不一定可偏導(dǎo);偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一定可微，但可微分，偏導(dǎo)數(shù)卻不一定連續(xù)。

此外我認(rèn)為類比思維不僅可以用在多元函數(shù)的求解中，也可以運(yùn)用到其它學(xué)科的學(xué)習(xí)中。拓展我們的思維，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，將自己培養(yǎng)成為具有創(chuàng)新力的應(yīng)用型人才。

參考文獻(xiàn)

[1]? 彭漣漪，余式厚編著.責(zé)任編輯：王世義.趣味邏輯學(xué)[M].北京：中國青年出版社.1981.

[2]? 高德超.基于類比法的多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)研究[A].廣東肇慶：廣東理工學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)研究部.2019.

[3]? 《高等數(shù)學(xué)》（第七版）上、下冊(cè)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社.