淺析類比思維在微分學(xué)中的應(yīng)用

陳爍　楊付貴

摘? 要：開展類比科學(xué)思維是推動人類不斷發(fā)現(xiàn)新世界事物、新技術(shù)知識的一種活力量和源泉，是幫助人們不斷深造知識和現(xiàn)實生活工作效率的一種有效方法，是高校培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性類比思維的一種有效捷徑。微分在數(shù)學(xué)課程中科學(xué)地發(fā)展應(yīng)用微分類比法，能夠抽象、復(fù)雜的多元微分函數(shù)針對問題將其轉(zhuǎn)化而成為比較形象、簡單的一元函數(shù)。

關(guān)鍵詞：類比思維;微分學(xué);函數(shù)

類比關(guān)系就是兩個事件之間具有一定相似性而又似乎沒有明確的比例關(guān)系。它把現(xiàn)有的一些事和物和一些原在層面上它看起來與看起來絲毫沒有關(guān)聯(lián)，相于的其他事和物緊密維系綜合起來，尋找一種不常規(guī)的戰(zhàn)略目標(biāo)和問題解決的最佳方式。應(yīng)用多元運算函數(shù)通過應(yīng)用類比式的思維也就可以準(zhǔn)確刻畫多元運算函數(shù)的一種局部抽象性質(zhì)。通過運用多元函數(shù)微分學(xué)中的性質(zhì)屬性可以解決一些困擾我們很久的問題。類比思維在多元微分學(xué)的應(yīng)用中也巧妙的論證了這一點。類比思維大致可以理解為“類”和“比”。“類”顧名思義就是種類、類別、屬性。“比”就是比較、依附、仿照。人們在想要處理某個新問題的時候，人腦的第一反映一定是會去尋找與之有關(guān)聯(lián)的東西，往往與過去曾經(jīng)解決的相仿的問題進(jìn)行思考和類比，用其解決已有問題的程序與方法去解決新問題.類比法是人們尋覓覺察新的理論的一種重要方式，。例如，電流的形成、電壓的作用通過以熟悉的水流的形成，水壓使水管中形成了水流進(jìn)行類比，從而得出電壓是形成電流的原因的結(jié)論[2]是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的一種途徑，如魯班發(fā)明鋸子、德雷布爾制造潛艇等，歷史上成功的偉人們都離不開類比思維。類比法也是是人們深造自身修養(yǎng)和生活資本的一種方法。

而多元微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中極為精華的一部分，微分學(xué)的主要內(nèi)容是由所有一元函數(shù)狹義微分和多元微分函數(shù)廣義微分共同組成的。一元函數(shù)和多元變量函數(shù)的主要區(qū)別，在于自定義變量的元素個數(shù)可以是有一個和只有多個。此在求函數(shù)的數(shù)值極限、連續(xù)、可偏導(dǎo)、可線性微分時，自定義變量的數(shù)值變化范圍也是我們應(yīng)該從不同幾個方面對其進(jìn)行詳細(xì)討論的。對于一元函數(shù)，函數(shù)的相應(yīng)變化只需要依賴一個其他自變量的相應(yīng)變化;而多元化的函數(shù)中則需要仔細(xì)考慮一個函數(shù)變化相應(yīng)于其中一個其他自變量或多個其他自變量的相應(yīng)變化，從而可以進(jìn)行函數(shù)相應(yīng)的變化調(diào)整。首先多元函數(shù)極限為 ;多元函數(shù)的連續(xù)性可表現(xiàn)為：若 ，則函數(shù)f（x，y）在點P0（ ）連續(xù);偏導(dǎo)數(shù)為 在點（x0，y0）處對x的偏導(dǎo)數(shù)： （對y同理）。f（x+x，y）-f（x，y）≈fx（x，y）Δx;可微分可以理解為：Q和E不依賴與Δx和Δy而僅與Q，E有關(guān)， 。舉一個好的例子表示為： ，當(dāng)點p（x，y）沿直線y=kx趨于點（0，0）時， ，所以f（x，y）當(dāng)（x，y）→（0，0）時的極限不存在，點（0，0）是該函數(shù)的一個間斷點，偏導(dǎo)數(shù)存在;由此可以推斷出連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系是可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo);可微與連續(xù)的關(guān)系：可微與可導(dǎo)是一樣的[2];

其次，多元函數(shù)復(fù)合和隱函數(shù)和多元隱屬性函數(shù)的連續(xù)求導(dǎo)定義法則與一元函數(shù)通過這種類比推理思維可以進(jìn)行類比分析，復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的關(guān)系有一個變量類似于多元的隱函數(shù)，多元微分函數(shù)和隱函數(shù)的連續(xù)求導(dǎo)定義法則特點類似于一元函數(shù)復(fù)合和隱函數(shù)的求導(dǎo)定義，運用這種類比推理思維，我們現(xiàn)在已經(jīng)可以直接給出二元函數(shù)復(fù)合和隱函數(shù)的求導(dǎo)定義。定義上假設(shè)映射函數(shù)x為z=f（u，v），而y為u、v均為函數(shù)x、y的映射函數(shù)，即y為u=u（x，y），v=V（x，y），則映射函數(shù)y為z=f[u（x，y），v（x，y）]這就叫做函數(shù)x、y的一個復(fù)合映射函數(shù)。其中u、v和v叫做中間定義變量，x、y和y叫做自定義變量。再將一元函數(shù)復(fù)合微分動力學(xué)理論中的函數(shù)復(fù)合微分函數(shù)的線性求導(dǎo)微分法則，類比推廣到多元函數(shù)復(fù)合微分函數(shù)。多元化的復(fù)合向量函數(shù)的微分求導(dǎo)方程法則在多元復(fù)合函數(shù)論的微分學(xué)領(lǐng)域中也一直起著不同尋常的意義。假如兩個函數(shù)中的u=u（x，y），v=V（x，y）在對應(yīng)點（x，y）的點一并符合對兩個x及對x和y的偏導(dǎo)的參數(shù)，在對應(yīng)點（u，v）在函數(shù)中的z=f（u，V）中處都是一些符合連續(xù)偏導(dǎo)的函數(shù)，則在對應(yīng)點（x，y）的點處的兩個復(fù)合偏導(dǎo)函數(shù)中的z=f[u（x，y），v（x，y）]同時存在兩個連續(xù)偏導(dǎo)的函數(shù)。

多元函數(shù)問題處理時一個重要的思路就是歸化為一元函數(shù)，特別是多元函數(shù)極限問題處理，由于極限是微分學(xué)的基礎(chǔ)，多元函數(shù)的求解顯得十分重要，已經(jīng)有許多對多元函數(shù)求解的方法[3]，方法很多，但整體的思路還是利用類比思維歸化為一元函數(shù)極限，充分利用一元函數(shù)極限求解的方法。一個很好的例題： 。這道題就是經(jīng)典的運用類比思維，通過多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。解這個例子：原式=? 。

總結(jié)：

類比思維在多元微分學(xué)中的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了類比思維在解決問題時可以快速啟發(fā)人們的思想，而且得到解決。而微分學(xué)在大學(xué)教育數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容主要是由一元函數(shù)微分學(xué)和多元函數(shù)微分學(xué)兩個不同的類別一同構(gòu)成的，兩部分都有其固有的特點，而此時以一元函數(shù)微分學(xué)為基礎(chǔ)，以類比法為途徑，來理解多元函數(shù)的內(nèi)容，就會顯得十分的容易，這不為是一種學(xué)習(xí)的良策。

參考文獻(xiàn)

[1]? 苑曉英.在高效物理課堂中的應(yīng)用[J] . 中學(xué)物理教學(xué)參考，2015年02期：1

[2]? 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M] 北京：高等教育出版社，2007

[3]? 馮英杰，李麗霞.二元函數(shù)極限的求法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2003，6（1）：32-33.