類比思維在微分學中的應用

羅芳鈺　李東方

摘? 要：類比思想是人類發現新知識的重要源泉，是人們提高學習和生活效率的一種方法，是培養創造性思維的一種途徑。多元函數微分學教學中科學地應用類比法，能夠使抽象、復雜的多元函數問題轉化為比較形象、簡單的一元函數，在學習高等數學中起著十分重要的作用。下面我先梳理了各知識點，然后對照起來作比較，最后把多元函數與一元函數對照起來做了一個總結。

關鍵詞：類比思維;多元函數;隱函數;一元函數

二元函數的定義：設x，y，z為三個變量，D為x0y坐標面上的非空點集，若對任意的（x，y）∈D，變量Z均按照一定的法則f有唯一的值與之對應，則稱Z是X和Y的二元函數，記作Z=f（x，y）。其中X和Y稱為自變量，點集D稱為函數Z=（x，y）的定義域，常記為Df;Z稱為因變量，函數值的集合Zf={z∣z=f（x，y），（x，y）∈Df}稱為函數Z=（x，y）的值域。

一切多元初等函數在其定義區域內是連續的。函數連續不一定的函數可微，例：y=|x|函數連續不一定函數可導，例：y=|x|當x=0時 y不可導;函數可導不一定連續;函數可導不一定可微;可導指的是偏導數存在，即沿x軸，y軸方向的導數存在（注意只有兩個方向），但是二元函數的連續性是從各個方向，以任何形式來取極限的，所以從這個方面來講，多元函數可導不一定能保證其連續，如果是可微就可以推出連續，因為可微就考察了所有方向。

關于偏導數，在一元函數中，導數就是函數的變化率。對于二元函數的“變化率”，由于自變量多了一個，情況就要復雜的多。x方向的偏導：設有二元函數 z=f（x，y），點（x0，y0）是其定義域D 內一點。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0 有增量 △x，相應地函數 z=f（x，y）有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f（x0+△x，y0）-f（x0，y0）。如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那么此極限值稱為函數 z=f（x，y）在（x0，y0）處對 x 的偏導數，記作 f'x（x0，y0）或函數 z=f（x，y）在（x0，y0）處對 x 的偏導數，實際上就是把 y 固定在 y0看成常數后，一元函數z=f（x，y0）在 x0處的導數。y方向的偏導：同樣，把 x 固定在 x0，讓 y 有增量 △y，如果極限存在那么此極限稱為函數 z=（x，y）在（x0，y0）處對 y 的偏導數。記作f'y（x0，y0）。

求法：當函數 z=f（x，y）在（x0，y0）的兩個偏導數 f'x（x0，y0）與 f'y（x0，y0）都存在時，我們稱 f（x，y）在（x0，y0）處可導。如果函數 f（x，y）在域 D 的每一點均可導，那么稱函數 f（x，y）在域 D 可導。此時，對應于域 D 的每一點（x，y），必有一個對 x（對 y）的偏導數，因而在域 D 確定了一個新的二元函數，稱為 f（x，y）對 x（對 y）的偏導函數。簡稱偏導數。按偏導數的定義，將多元函數關于一個自變量求偏導數時，就將其余的自變量看成常數，此時他的求導方法與一元函數導數的求法是一樣的。

多元復合函數和隱函數的求導法則永遠都是一樣的，就是鏈式法則和基本求導公式。

而多元復合函數求導就是求偏導的時候需要把別的參數看作常數;而隱函數求導時，f（y）的導數為f'（y）·y'。

多元復合函數求導法則：如果函數u=φ（t）及ψ（t）都在點t可導，函數z=f（u，v）在對應點（u，v）具有連續偏導數，則復合函數z=f[φ（t），ψ（t）]在點t可導，且其導數可用下列公式計算：。

隱函數的求導法則：對于一個已經確定存在且可導的情況下，我們可以用復合函數求導的鏈式法則來進行求導。在方程左右兩邊都對x進行求導，由于y其實是x的一個函數，所以可以直接得到帶有 y' 的一個方程，然后化簡得到 y' 的表達式。隱函數導數的求解一般有好幾種方法：方法①：先把隱函數轉化成顯函數，再利用顯函數求導的方法求導;方法②：隱函數左右兩邊對x求導（但要注意把y看作x的函數）;方法③：利用一階微分形式不變的性質分別對x和y求導，再通過移項求得的值;方法④：把n元隱函數看作（n+1）元函數，通過多元函數的偏導數的商求得n元隱函數的導數。舉個例子，若欲求z = f（x，y）的導數，那么可以將原隱函數通過移項化為f（x，y，z）= 0的形式，然后通過（式中F'y，F'x分別表示y和x對z的偏導數）來求解。相對比多元復合函數和隱函數的求導法則，一元函數的求導比較簡單且方便，通常復雜的多元函數求導都是由一元函數求導一步步演變出來的。一元函數求導基本都是用[f（x）十g（x）]'=f'（x）十g'（x）;[f（x）*g（x）]'=f'（x）*g（x）十f（x）*g'（x）;[f（x）/g（x）]'=[f'（x）*g（x）-f（x）*g'（x）]/g?（x）這幾個公式。

二元函數的必要條件：設函數Z=f（x，y）在點（Xo，Yo）處具有偏導數，且在點（Xo，Yo）處有極值，則fx（Xo，Yo）=0，fy（Xo，Yo）=0。與一元函數類似，某點處兩個偏導數等于0只是二元函數在該點取極值的必要條件，也就是說，偏導數等于0的點不一定是函數的極值點，但是二元函數偏導數不存在的點也有可能是極值點。多元函數極值的充分條件：設函數Z=f（x，y）在點（Xo，Yo）的某領域內連續且一階及二階連續偏導數，又fx（Xo，Yo）=0，fy（Xo，Yo）=0，令fxx（Xo，Yo）=A，fxy（Xo，Yo）=B，fyy（Xo，Yo）=C，則f（x，y）在（Xo，Yo）處是否取得極值的條件如下：①AC-B?>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值;②AC-B?<0時沒有極值;③AC- B?=0時可能有極值，也可能沒有極值，需另作討論。多元函數的最值求法：設f（x，y）在有界閉區間D上連續，在D內有可微且有有限個駐點，求函數f（x，y）在D上的最值得步驟，①求出f（x，y）在D內全部駐點處的函數值;②求出f（x，y）在D的邊界上的最大值與最小值;③將求出的各駐點處的函數值與邊界上的最大值和最小值進行比較，其中最大的為函數在D上的最大值，最小的為函數在D上的最小值。

總結起來，一元函數極值的充要條件是一階導數值為0并且二階導數>0或者<0，多元函數的充要條件也是很知類似的對一階和二階導數道進行判定，只不過多元函數而言，一階導數是一個向量，由函數對各個分量進行偏導數得到的。對于多元函數求極值，一元函數求極值更為簡單，通常也有好幾種方法可以求出來，通常方法為首先求出函數的極值，函數定義域的邊界點的函數值、極值點不可微點的函數值，然后比較這些值的大小，以確定最大值，最小值。為了簡便起見，可以不求極值，只解方程f′（x）=0，解出的根x_i是可能的極值點，把f（x_i）與邊界點函數值及不可微點函數值一同比較以確定最值。對于一元函數而言，還可以用通過其他方法：①求出函數的值域確定最值.例如，設y=f（x）是一元函數，將它變形為f（x）-y=0，視y為參變數，找出這個方程有實解的必要充分條件，從而確定y需滿足的條件，進而求出函數y=f（x）的值域并求出函數的最值;②利用配方求最值;③利用換元法求最值，其要點是把函數式化為較易求出最值的函數;④利用函數的單調性求最值。

參考文獻

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