淺談類比思維在解析幾何中的應用

胡夢倩　楊付貴

摘? 要：類比作為一種常見而重要的思維方法和推理方法，在數學歷史的發展長河中占有舉足輕重的地位，我認為在學習數學解析幾何的過程中，這一方法也顯得尤為關鍵。本文通過對比平面解析幾何和空間解析幾何中相關的知識體系及有關的應用，用類比的思維解決解析幾何的問題，通過類比的方法，把相對抽象的解析幾何具體化、有形化，找出平面解析幾何和空間解析幾何中相似的規律，使我們可以更高效的得出結論。本文將通過直線方程與平面方程的類比、平面問題與空間問題的類比和同一方程在不同的解析幾何中的圖形類比來體現類比思維在解析幾何中的應用。

關鍵詞：類比思維;平面解析幾何;空間解析幾何;方程;圖形

一、平面解析幾何的特點

平面解析幾何通常使用二維的平面直角坐標系來研究線與方程。包含以下幾部分：直角坐標、直線、曲線與方程、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等一般平面曲線。在解析幾何中，平面給出了坐標系，也就是說每一個點都有與之相對應的一對實數坐標，平面解析幾何的研究范圍在二維空間平面中。

二、空間解析幾何的特點

與平面解析幾何相類比的來說，空間解析幾何通常使用的是三維的空間直角坐標系來表示的。包含以下幾個部分：向量代數、平面及其方程、空間直線及其方程、曲面及其方程以及空間曲線及其方程等。在空間中要表示的每個點都是以三元有序數組呈現，比如（x，y，z）。空間解析幾何的研究范圍在三維空間中。

這兩種解析幾何的共同特點都是“數形結合”、運動與變化相結合、直觀與推理相結合、理論與實際相結合、特殊與一般相結合。

比如：我們把平面解析幾何中的圓、橢圓、雙曲線、拋物線等一般平面曲線與空間解析幾何中的球面、橢球面、單葉雙曲面和雙葉雙曲面、橢圓拋物面與雙葉拋物面進行類比，不難發現，它們又很多類似之處。

三、直線方程與平面方程的類比（一般方程中變量的系數及常數項的含義的類比）

直線方程 y=kx+b中x為自變量，y為函數因變量，k為斜率，表示這條直線的傾斜程度，也是直線和X軸的夾角正切值。b為截距，是直線和y軸的交點坐標。x=0時，y的值為b。例如x-y+2=0把這個式子變為y=kx+b的形式，就是y=x+2斜率k=1和x軸夾角的正切值為1，這也就是說和x軸的夾角度數為45度。截距為2，就是說當x=0時，y=2，直線和y軸的交點是2，坐標表示為（0，2）。

平面方程的一般方程可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0來表示。平面方程Ax+By+Cz+D=0中x，y，z的三個系數A，B，C組成一個向量的坐標，即n={A，B，C}，它是垂直于該平面的非零向量，稱為該平面的一個法向量，而這個方程中的常數項D，在三維空間坐標系中，可以表示為平面的位置（偏移量），平面的法向量（A，B，C）一定，平面的方向就確定了，這時不同的D值就可以得到一系列平行的平面，當D=0時，平面經過坐標原點。同時，D的絕對值可以表示原點到該平面的距離，也可以理解為影響平面在xyz軸上的截距系數，D與直線方程中的b可以相類比。

四、平面問題與空間問題的類比（降維類比）

在解析幾何的問題中，類比法多表現為空間問題用平面問題來類比推理，多元問題用一元問題來類比推理，也叫降維類比。例如，用三元一次不等式的幾何意義可以類比出二元一次不等式的幾何意義，也就是說在平面上的直線ax+bx+c=0，這個二元一次方程把平面分為了兩個部分，一部分在直線的上方位置，另一部分在直線的下方位置。在空間直角坐標系中，我們可以把空間直線上任意一點的第三個坐標看為恒為0，即把這個空間分為xoy平面之上和xoy平面之下兩個部分，這樣就可以完全類似的得出它們之間的線性運算坐標表示以及夾角等計算公式。

由三角函數余弦和角公式進而聯想到二面角的大小也是一個降維類比的例子。兩角和與差的余弦公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ也是求二面角大小的“計算公式”（“三線四角”公式）的一種特例.這種由三角函數余弦和角公式“降維類比”（也就是三維空間的研究對象降到二維（或一維）空間中的研究對象）出二面角大小計算“通用”公式，只需計算出同一頂點發出的三個線線間角，就能快速求出二面角大小。

五、同一方程在不同的解析幾何中的圖形類比

通常，一個簡單的的方程對應在平面上的一條曲線，但不一定如此：方程x=x對應了整個平面，方程x?+y?=0只對應了（0，0）這一個點。但在空間解析幾何中，一個方程通常對應著一個曲面，而曲線常常是代表兩個曲面的交集，或是一條參數方程。

下面舉幾個簡單的例子：例如x=3在平面解析幾何和空間解析幾何中就代表了不同的圖形。在平面解析幾何中，x=3表示一條垂直于x軸且過（3，0）點的直線。在空間解析幾何中，x=3表示一個平行于平面yOz，且過（3，0，0）點的平面。這里的過（3，0，0）點的平面可以是由垂直于x軸且過（3，0）點的直線平行得來的。由平面到空間，x=3就從原來表示的一條直線變為了表示一個平面，由此我們可以類比推斷，維度提升了一層，相應的同一方程所代表的圖形也隨之在維度層面提升了一層。

比如x?-y?=1在平面解析幾何中為一個二元一次方程，在平面直角坐標系中表示的圖形是焦點在x軸上的雙曲線;在空間解析幾何中，應用了一個變量z，而在方程x?-y?=1中沒有變量z，這就說明x?-y?=1在空間解析幾何表示的圖形是母線平行于z軸且在xoy面上的曲線是x?-y?=1且z=0的雙曲線的柱面。

參考文獻

[1]? 李全雙，淺談邏輯類比在數學中的應用，哈爾濱師范大學

[2]? 周如俊.“降維類比”：由三角函數余弦和角公式聯想到二面角大小[J].中學數學雜志，2018（07）：31-34

[3]? 任亞莉.平面直線方程系數的幾何意義及應用[J].上海中學數學，2007（4）：46

[4]? <<高等數>>（第七版）下冊，同濟大學數學系編[J]高等教育出版社.