正弦式交變電流有效值的推導及應用

◇ 山東 王 敏

高中電學部分的課程內容是由淺入深、逐級鋪墊的.恒定電流、電磁感應等內容為交變電流的內容作了鋪墊.交流電是相對于直流電來說的，其大小和方向會發生周期性變化.如果一個恒定電流與交變電流熱效應相同，則恒定電流的電壓、電流為交變電流的電壓、電流的有效值.交變電流有效值的理解和應用是整章內容的重點之一.正弦式交變電流是典型的交變電流，對其有效值與峰值的關系，課本上直接給出了結論.這種做法不利于學生的理解和掌握.

1 正弦式交變電流有效值的公式推導

圖1

甲、乙兩圖分別表示正、余弦交變電流，它們的峰值和周期相同.在交流電的一個周期內，甲、乙產生的熱量相同.甲、乙的平均熱功率相同，甲、乙電流有效值相等.甲電流的瞬時值表達式為i甲=Imsinωt.乙電流的瞬時值表達式為i乙=Imcosωt.甲的瞬時功率表達式為P甲=sin2ωt·R.乙的瞬時功率表達式為P乙=cos2ωt·R.則甲、乙瞬時功率之和為P甲+P乙=.由此可見，甲、乙瞬時功率之和是一個定值.在一個周期內，甲、乙兩交流電做的總功W總=（P甲+P乙）T=.又由于甲、乙的電流有效值相等，所以W 總=2PT=2i2RT.聯立可得i=此外，還可以根據圖象法、積分法推導正弦式交變電流的有效值，本文不再贅述.

2 正弦式交變電流有效值的應用

交變電流有效值的計算是高考的重要考點之一，在備考時，師生要格外注意.高考試題往往考查全波正弦、半波正弦交流電的有效值.

例圖2 是一交變電流隨時間變化的圖象.其中，從t=0開始的每個時間內的圖象均為半個周期的正弦曲線.求此交變電流的有效值.

圖2

解析

該交流電由兩個不同的半波正弦交流電組成.在交流電的一個周期T 內，前半個周期產生的熱量為后半個周期產生的熱量為設交流電電流的有效值為i，則Q1+Q2=i2RT，聯立可得i=

點評

本題要求根據正弦式交流電峰值有效值的關系公式，求半波正弦交流電的有效值.解答本題要求學生首先正確理解正弦式交流電周期、峰值、有效值等概念，其次具有關于熱量等效替代的科學思維，最后使用數學方法進行計算.

3 教學策略

3.1 利用教學資源，滲透等效思想

等效思想是高中物理的重要思想之一，在高中的力學課程中，合矢量與分矢量是等效替代的關系，平均速度的概念也是基于等效的思想提出的.在電學中，我們可以利用電阻箱結合等效替代法測量未知電阻的阻值等.在高中物理教學中，我們不僅要讓學生掌握解題的技巧、應試的方法，還要對其滲透等效等物理思想方法.

3.2 利用數學方法解決物理問題

數學是科學之母.數學可以描述物理的本質，推動物理學的發展.在高中物理教學中，教師引導學生應用數學方法解決物理問題是十分必要的.例如，在推導交變電流有效值的問題時，我們就利用了數學公式sin2α+cos2α=1.又如，在講解圖象問題時，斜率涉及導數的概念，面積涉及積分的思想.在物理課堂中講解數學方法不是浪費時間，而是嚴謹的治學態度的表現，對物理的學習會起到非常大的推動作用.

4 結語

綜上所述，對交變電流有效值公式進行推導，有助于加深學生對公式推導過程的理解，并使其利用公式解決含正弦交流電波、半波、全波的有效值問題.強調對學生滲透等效思想并引導學生利用數學方法解決物理問題，能幫助學生形成物理觀念、科學思維，提高和發展學生的物理學科核心素養.