構建立體幾何模型，小議棱錐的外接球問題

◇ 甘肅 茍丫丫

與球相關的切接問題是高考命題的熱點，也是考生理解上的難點、易失分點，命題角度多變，要求學生有較強的空間想象能力，在把握題意的基礎上對要解決的問題有豐富的聯想能力；在解決問題的過程中有良好的平面幾何計算能力.在平時的教學中，教師應利用信息技術演示球的內接幾何體，讓學生有直觀想象的依據.本文就棱錐的外接球問題做如下模型探討.

1 補形法，簡化問題求解

例1球面上有四個點P，A，B，C，滿足PA，PB，PC 兩兩垂直，且PA=3，PB=4，，則球的表面積等于

分析在三棱錐P-ABC 中，棱PA，PB，PC 兩兩互相垂直，是本題解題的題眼.解決立體幾何問題應多觀察，多思考，大膽假設，小心求證.這樣的三棱錐來源于以為長寬高的長方體，它們的外接球是同一個球體，而長方體的外接球問題學生是熟悉的.此時，球的直徑是長方體的體對角線.

解析

圖1

2 利用對稱中心，直接求解

例2已知S-ABC 為棱長為a 的正四面體，求它的外接球的半徑.

分析正四面體與它的外接球都是中心對稱的幾何體，故正四面體的中心既是它的外接球球心，又是它的內切球球心.如圖2，M 為點S 在平面ABC 上的射影，即為△ABC 的中心，也是重心，球心O 在SM 上.

解析

圖2

又有OM2+MB2=OB2，即

例3體積為的正四棱錐S-ABCD 的底面中心為O，SO 與側面成的角的正切值為那么過SABCD 的各頂點的球的表面積是（ ）.

A.32π B.24π C.16π D.12π

分析設正四棱錐的底面邊長為a，高為h，題設給出了正四面體的體積，有又給出SO 與側面成的角的正切值為是底面邊長a 和高h 的第二個關系式.根據兩個條件，可求出底面邊長a和高h，再去解決它的外接球問題.

解析

圖3

方法1延長SO 交球面于點M，則S，B，M 均在球面上，且SM=2R，∠SBM=90°.

在Rt△SMB 中，由射影定理得

方法2同例2的解法，可得=4πR2=16π.

3 類比圓的性質，轉化問題求解

例4如圖4，在平面四邊形ABCD 中，AB=將其沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使面A′BD⊥面BCD，若四面體A′-BCD 的頂點在同一球面上，則該球的表面積為（ ）.

圖4

分析先根據題意，得出折疊后四面體的特征，再解決它的外接球問題.

解析

圖5

類比圓，直徑所對的圓周角為直角，那么內接于球的A′-BCD 中，BC 所對的兩個角都是直角，故BC為球的直徑.所以

點評

對于不同于例1、例2的四面體的外接球問題，要通過認真審題，研讀題意，大膽猜想，小心論證，抓住特征，解決問題.

雖然棱錐的外接球問題題型多變，但只要抓住問題的實質，透過現象看本質，就能找出棱錐的特征，還是可類比圓的內接三角形問題.只有細心研讀題意，緊密聯系生活實際，正確歸類問題，建立恰當的數學模型，才能順利解決問題！