求索數學之道
——記南京大學數學系教授宗潤弘

杜月嬌

在現代數學眾多的分支學科中，代數幾何是一門非常重要又特別的基礎學科，它與數學中其他分支學科有著廣泛的聯系，并且被深刻地應用到理論物理及其他的科學技術中，而在大多數20世紀現代數學重大進步的背后，或多或少都有代數幾何的身影。

在很多人的印象當中，數學家的工作場景就是每天埋頭在草紙堆里演算，枯燥且乏味。但對于數學研究者來說，數字以及幾何模型背后所隱藏的是無窮的科學奧秘以及鮮有人發現的“美”。在21世紀各類高新技術科學發展的大背景下，代數幾何學研究領域也并沒有被現代科學潮流所淹沒，且有越來越多的科研人選擇投身其中，南京大學數學系宗潤弘教授就是其中之一。與代數幾何領域結緣以來，他在代數幾何的主要分支領域——雙有理幾何或極小模型綱領中不斷探索，在窮極數理研究中，實現著思維的蛻變，實現著一次又一次的科研突破。

走進代數幾何世界

中國宋明時代理學家有“格物致知、窮理明辨”的說法，Physics（物理學）最初被翻譯成“格致”便是由此而來。高中時期，宗潤弘就對物理這一“格萬物而致窮理”的學科產生了極大興趣。2006年，宗潤弘考入中國科學技術大學。但因為高考分數的客觀因素，他不得不放棄當年競爭激烈的物理專業，正式步入了電子學專業開始學習。

俗話說：“數理不分家。”也許是冥冥中緣分使然，大學一年級期間，宗潤弘在偶然旁聽數學系的拓撲學課程時，被授課老師發現其極大的數學天賦，并建議其轉入數學系，進行今后的深度研究。再三考慮之后，宗潤弘接受了這一提議，并順利轉入了中國科學技術大學數學系，從此開啟了在代數幾何領域的研究之旅。

宗潤弘

代數幾何是一門古老的學科，其中所蘊含的代數推理一般都比較精巧，而其研究對象又具有幾何的直觀，深入到這一學科之中，宗潤弘對這一領域的研究興趣也越來越深。整個本科期間，宗潤弘系統學習了代數幾何這一領域相關的知識，本科畢業之后，他順利被導師推薦到普林斯頓大學從事代數幾何研究，踏上了國外的漫漫求學之路。

代數幾何領域于2010年左右在我國掀起了研究高潮，當時國內涌現了約10位左右的青年數學研究者，做出了一系列優秀的科研成果。而那時，正是宗潤弘即將前往國外攻讀博士的時期，這一學科在新時期的研究趨勢與背景，也在潛移默化中激發了他走向更大的平臺，深耕更深奧的代數幾何領域問題的決心。

從2010年—2019年，在國外9年時間，宗潤弘先后在美國普林斯頓大學、美國普林斯頓高等研究院以及德國美因茨大學等學術機構中進行科學研究。在國外21世紀掀起的金融風潮中，他不僅沒有丟失自己的科研初心，還投身于自己真正感興趣的代數幾何領域的科研問題中，孜孜不倦求索，從未放棄。

深入極小模型綱領研究

數學是無窮的科學。在宗潤弘眼中，代數幾何領域所存在的諸多問題，都對他有著極大的吸引力。多年來，他就將研究扎根在純粹數學中代數幾何方向的理論研究中，特別是在作為代數幾何的幾個主要分支領域之一的雙有理幾何或極小模型綱領中，與相關研究者合作，實現了諸多科研創新突破。

20世紀80年代，雙有理幾何中最核心的綱領——極小模型綱領，是數學界里一個活躍的研究方向，1990年，日本數學家森重文因其在此領域的研究成果，獲得了國際數學界最高獎菲爾茲獎。遺憾的是，此后10年間，這個領域的研究略微有些沉寂。直到2000年后，數學家們才取得重大進展。

零特征的代數閉域上的極小模型綱領，是極小模型綱領的一個基本思想。在這一思想的指導下，人們普遍猜測任何一個定義在代數閉域上的不可化歸為有理連通代數簇的纖維化的代數簇都可雙有理等價于一個極小模型代數簇。對于代數閉域的特征為零的情形，在雙有理幾何或極小模型綱領中已經有了由Prof.Birka、Prof. Cascini、Prof. Hacon以及Prof. Mckernan所證明的如下著名結論：對于一個射影的奇異性為Kawamata Log Terminal的對數偶（Log Pair）（X,D），如果其邊界除子D是Big的且其對數標準從KX+D是Pseudo-Effective的，則KX+D一定有一個奇異性為Log Terminal的模型。這項結論可以蘊含零特征代數閉域上屬于General Type的代數簇或者屬于Log General Type的對數偶的極小模型的存在性。

雖然已經有了如上著名結果，但在零特征的代數閉域上的極小模型綱領中還有很多基本和重要問題尚未解決。比如，雙有理幾何或極小模型綱領的著名專家Prof. Shokurov曾提出如下猜想：給定一種來自鏡像對稱的零特征的代數閉域上的對數偶（X，D）的復雜度和絕對復雜度的定義（此種定義主要來自對邊界除子D的在數量等價下的有效分解的分析），則當此對數偶（X，D）的奇異性為Log Canonical且其復雜度小于1時，代數簇X一定是一個Toric代數簇，而當此奇異性為Log Canonical的對數偶（X，D）的絕對復雜度小于2時，代數簇X一定是幾何有理代數簇。運用零特征的代數閉域上的極小模型綱領的標準技術，以及一些關于對數偶上的錐的奇異性與對數偶的幾何特性之關系的特殊觀察及技巧，宗潤弘與團隊合作一起完全解決了如上由Prof.Shokurov提出的猜想。

目前，這項成果已經被他們在多場學術會議及多所高校及其他學術研究機構的研討班中予以報告，并且廣受與會者及聽眾好評，有關的一篇論文“A Geometric Characterisation of Toric Varieties”已經被Duke Mathematical Journal發表。

有理連通代數簇的性質探索

所有科學都來自人們對有趣的、非常規道路的發掘，代數幾何領域也是如此。術語“簇”取自拉丁語族中詞源的概念，有基于“同源”而“變形”之意。代數幾何學上，代數簇是多項式集合的公共零點解的集合，是經典（某種程度上也是現代）代數幾何的中心研究對象，而這一研究對象對于扎根在代數幾何領域的宗潤弘來說有著極大的探索空間。在興趣的驅使下，他不斷深入有理連通代數簇研究中，試圖通過研究解析其中所蘊藏的幾何、拓撲與算術性質奧秘。

根據雙有理幾何或極小模型綱領對定義在代數閉域上的代數簇的雙有理分類的基本思路，有理連通代數簇是有理曲線或有理曲面在高維數的自然推廣，并且是高維代數簇的基本構成部分之一。

從幾何和拓撲的直觀上看，有理連通代數簇是有足夠多有理曲線的代數簇。基于此種直觀，在有理連通代數簇的幾何和拓撲性質方面，代數幾何的著名專家Prof. Iskovski曾提出如下問題：對于一個定義在復數域上的射影且光滑的高維Fano代數簇（注：一種最具代表性的有理連通代數簇），是否其上的所有一維代數閉鏈都拓撲同調等價于一些整系數的有理曲線之和。而代數幾何的著名專家Prof. Totaro也曾提出如下問題：對于一個定義在復數域上的射影且光滑的三維有理連通代數簇，是否其上的所有（2，2）型的整系數Hodge類都拓撲等價于一些整系數的有理曲線之和？

在這一背景之下，宗潤弘及其團隊通過運用一種對形變理論的新穎應用，特別地推廣有理連通代數簇上的Smoothing of Comb技術及對于穩定曲線及有關的穩定映射的模空間之間的遺忘映射之幾何性質的觀察，宗潤弘和合作者一起證明了：對于一個定義在代數閉域上的恰當且光滑的可分有理連通代數簇，其上的所有一維代數閉鏈都有理等價于一些整系數的有理曲線之和。特別的是，此結論以一種更強的形式解決了如上由Prof.Iskovski提出的問題，同時結合代數幾何的著名專家Prof. Voisin之前的結論，也解決了如上由Prof. Totaro提出的問題。進一步地，對于一個由Prof. Voisin及代數幾何的著名專家Prof. Kollár提出的可作為如上Prof. Tataro提出的問題之高維推廣的一個更加一般的問題，結合Prof. Voisin的一個之前的結論，宗潤弘及其合作者的上述結論也可將其劃歸到有限域上的代數曲面的Tate猜想。目前，與此成果有關的一篇論文“One Cycles on Rationally Connected Varieties”已經被Composition Mathematical發表。

作為數域上的有理代數簇總有足夠多有理點的算術性質的自然類比，在與有理連通代數簇相關的算術性質方面，代數幾何的著名專家Prof. Hassett和Prof.Tschinkel曾提出如下弱逼近猜想：考慮一個定義在復數域上的有理連通代數簇的族，其中底空間為一個射影且光滑的代數曲線，則此族的Generic Fiber作為一個定義在底空間曲線的函數域上的代數簇一定滿足弱逼近性質，亦即其有理點的集合在其函數域的Adele環的整點集上是稠密的。

在這一現狀下，宗潤弘及其合作者通過進一步發展和應用，在上一個關于有理連通代數簇的幾何與拓撲性質的工作中的方法和技術，首先解決了如下一個由代數幾何的著名專家Prof. Starr提出的問題：對于一個定義在代數閉域上的恰當且光滑的可分有理連通代數簇，若其上有一個其階數在定義域上可除的有限循環群的非平凡作用，則此代數簇上的任何兩個在此群作用下的不動點都可被一條在此群作用下協變（Equivariant）的有理曲線所連接。

基于對此結論的應用，宗潤弘和合作者對一大類具有一般性的情形驗證了上述由Prof. Hassett和Prof. Tschinkel提出的弱逼近猜想：特別地，他們證明了上述弱逼近猜想中的有理連通代數簇的族在具有Potentially Good Reduction的Place處均滿足弱逼近性質，特別地，上述弱逼近猜想對所有滿足Iso-Trivial性質的族均成立。此結論包含了幾乎全部之前已知的對上述弱逼近猜想所滿足的特殊情形，并且可以蘊含上述弱逼近猜想對于一種由Prof. Hassett提出的被認為特別困難的一種三次曲面的情形成立。與此成果有關的一篇論文“Weak Approximation of Iso-Trivial Families”已經被J.Reine Angew.Math. (Crelle’s Journal)發表。

突破領域限制的自主創新

法國著名的數學家、物理學家拉格朗日曾說過：“只要代數和幾何沿著各自的途徑去發展，它們的進展將是緩慢的，他們的應用也是很有限的。但是，當這兩門學科結成伴侶，它們都將從對方身上獲得新鮮的活力，因此，以快速的步伐猛進，趨于完美。”在宗潤弘看來，不管是現在還是未來，代數幾何領域都存在很多未解謎題等待著科學家們深入探索，未來，這一領域研究仍然會是數學領域的主流所在。

在他的介紹下，記者了解到：除卻代數幾何本身是一門很有意義的學科，其應用意義也是不容忽視的。雖然代數幾何學科最初很難有直接的應用，但是純粹數學的應用價值一旦被發現，就會有非常大的基礎性突破，并且有深遠的應用價值影響。

創新是數學的靈魂。雖然，近些年來我國代數幾何領域的研究發展迅速，但其發展的瓶頸在于還沒有真正具有引領性的原創成果出現。在未來，宗潤弘也希望能夠與中國在代數幾何領域的科學家們一起探索前行，致力于開創更多具有獨創性及引領性的科研成果，在國際代數幾何領域發出屬于中國科學家的聲音。

要成為數學強國，對年輕人才的培養尤為重要，數學家的思維活動往往都是在很年輕的時候非常活躍。一路走來，宗潤弘遇到了很多良師益友，他的本科以及博士生導師、博士期間的學長，都對其的研究之路的引領與成長有著極大的幫助。如今，作為一名大學教師，宗潤弘也希望自己的學生在具有扎實科研根基的基礎上，不受思維所限，發揮主觀能動性，做出更多原創性的科研創新成果。

自由思考、厚積薄發，一直是宗潤弘喜歡的學術氛圍，他所追求的不是多發表文章，而是能攀登科學高峰，對人類文明做出貢獻。多年來，他對于代數幾何領域的熱愛之情歷久彌堅。未來，他還將繼續扎根在代數幾何領域，把對學術的熱愛內化到一絲不茍的學習和實踐中，不懈耕耘，求索數學之道。