一種板桁結合型加勁梁豎向抗彎剛度的近似算法

崔子鑫， 李海超， 張艷萍， 龐 彧

(1.陸軍軍事交通學院五大隊，天津 300161；2.陸軍軍事交通學院國防交通系，天津 300161)

板桁結合型加勁梁(后稱加勁梁)是由正交異性橋面板與主桁架結合起來共同承擔荷載的結構。與非結合型加勁梁相比，加勁梁具有自重小、剛度大的特點，現已成為橋梁特別是大跨度橋梁的主要結構形式，例如閔浦大橋、清水河大橋、北盤江大橋、岳陽洞庭湖大橋等。

對于加勁梁的研究主要采用有限元法，但建立實際結構模型會因建模復雜、節點單元數量大而降低計算效率[1]，并且在較多針對其豎向變形特性的研究中，往往多關注橋梁整體豎向動力響應，因此只需要研究相同豎向剛度下的單梁模型即可滿足工程需要。

對于梁來說，計算抗彎剛度的方法包括手算與電算。手算是根據經典材料力學的方法，選取截面，計算截面的慣性矩I，將慣性矩與材料彈性模量相乘即可求出抗彎剛度K；電算方法則是需要建立實際結構模型，通過施加特定約束和荷載工況計算撓度，依據材料力學的撓度計算公式反推梁的抗彎剛度。而對于像加勁梁這一類“非連續”結構的梁，由于截面慣性矩隨著截面選取的位置不同而變化，手算方法不再適用，而用電算反推慣性矩也無法避免因建立復雜模型而帶來的問題，因此需要提出一種計算加勁梁豎向抗彎剛度的簡化算法。在之前，許多學者對空間桁架與板的組合結構進行了研究。1965年，日本學者Okumura[2]將華倫桁架梁等效成近似箱型截面梁。1970年，李國豪院士[3，4]提出了便于應用的桁梁扭轉、側傾穩定以及撓曲—扭轉的基本理論。賀擁軍[5]分析了交叉立體桁架網格結構的變形受力特點與簡化計算方法。周燕其[6]等人以某鋼管桁架懸索橋為例，分別通過手算、Midas建模計算以及荷載試驗三種方法研究加勁梁的受力情況，發現在活載作用下，橋面板會與桁架梁共同抗彎。陳常松[7]等人研究不同桁高和節間下的華倫式和普拉特式空間桁架梁模型的慣性矩。王磊[8]等將正交異性板簡化為虛擬主梁和虛擬斜桿組成的X型桁架。戴學宇[9]等人應用撓曲扭轉理論推導計入橋面板作用的抗彎剛度的計算公式。

綜上，雖然學術界對加勁梁結構抗彎剛度的算法進行了一些研究和探索，但是并沒有提出一個統一的算法，而傳統的算法[4]因忽略了橋面板的貢獻導致計算精度不高。因此本文通過將加勁梁連續化處理為箱梁，再通過箱梁提出計算加勁梁豎向抗彎剛度的算法。由于本文僅考慮豎向荷載所引起的撓曲變形，因此后文中慣性矩和抗彎剛度如沒有特殊說明，僅指豎向彎曲慣性矩和豎向抗彎剛度。

1 加勁梁的結構特點及連續化等效原則

1.1 加勁梁的結構特點

通過對國內外26座典型加勁梁結構分析[10]，匯總可知加勁梁依據橋面位置可分為上承式、下承式以及雙層橋面式，主梁結構主要包括橋面系、主桁架、主橫桁架以及下平聯；主桁結構包括單斜腹桿系(如普拉特式桁架結構)和雙斜腹桿系(如X型、米字型桁架結構)，如圖1所示；下平聯一般采用斜桿組合結構，例如K型、M型和X型下平聯，如圖2所示。

圖1 主桁架結構示意圖

圖2 下平聯結構示意圖

1.2 連續化等效原則

所謂連續化等效，就是采用“擬腹板”的思想，將主桁腹桿和下平聯的斜桿連續化處理為薄板結構，基于應變能互等原理計算薄板的等效厚度，最終將加勁梁連續化等效為箱梁。

通常，在豎向撓曲變形中，橋面板、中縱梁與主桁上弦桿共同承受壓力，下平聯與下弦桿共同承受拉力，主桁的斜腹桿主要承受剪力，其余部分在豎向彎曲變形中或不受力或受力較小。

因此在研究過程中做以下處理：

(1)將中縱梁處理為橋面板的加勁肋，使之成為橋面板的一部分，后文所指橋面板即表示計入中縱梁的橋面板。

(2)在豎向撓曲研究中，忽略次要構件的影響，比如主橫桁架、次橫梁等。

(3)不考慮連續化處理后薄板的穩定性以及剪力滯后效應。

(4)將焊接的節點簡化為鉸節點。

2 主桁腹桿系連續化等效厚度計算

2.1 主桁腹桿系類型對慣性矩的影響分析

根據加勁梁在豎向荷載作用下的傳力機理，將荷載的傳力路徑分為通過橋面板直接傳遞到節點和通過橋面板到次橫梁再作用到節間兩類。對于第1類傳力路徑，荷載將引起加勁梁整體的豎向彎曲；而對于第2類傳力路徑，荷載不僅會引起加勁梁整體豎向彎曲，同時還會使上弦桿節間發生局部豎向彎曲。為保證計算精度，桿系單元采用考慮剪切變形的beam188單元，并將中縱梁處理為橋面板的加勁肋。橋面板和加勁肋均采用平面應力四節點的shell181單元，并通過glue命令將橋面板和加勁肋粘結，梁單元與面單元通過共節點傳遞作用力。選取北盤江大橋中跨梁段進行建模，建立240 m跨度的懸臂梁結構，在自由端施加集中荷載，其中鋼材強度等級為Q345，密度為7.8 g/cm3，彈性模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.3。

建立如圖1所示兩種工況的主桁：工況一為單斜腹桿系，工況二為雙斜腹桿系。通過數值仿真可以得到主桁各節點的豎向撓度，再根據公式(1)求得加勁梁的慣性矩I，結果如圖3所示。

(1)

式中：y為加勁梁豎向撓度；P為自由端集中力；x為距固定端的距離；L為跨度；E＇為加勁梁的彈性模量。

圖3 不同斜腹桿工況下慣性矩結果

通過圖3結果可以得出，橫向來看，邊界條件對加勁梁的慣性矩求解有較大影響：在離約束較近的范圍內邊界約束效應較大，從而導致該區域的結構剛度加大，慣性矩較大。而隨著距離的增大，約束效應減弱，并逐步趨于平穩，呈現出來梁自身特有的屬性，因此選取平穩處的值作為加勁梁的慣性矩。縱向來看，雙斜腹桿系的結果比單斜腹桿系的結果大，但是相差很小，這是因為斜腹桿影響加勁梁的豎向變形中剪切變形的部分，而剪切變形并不是影響豎向撓曲變形的主要因素。

2.2 主桁斜腹桿連續化薄板等效厚度計算

2.2.1 單斜腹桿系連續化薄板

如圖4所示，取受剪狀態下的單節間主桁隔離體進行分析。為保證兩者應變能相等，因此在單位剪力作用下主桁和連續化薄板產生的變形相等，即Δ1=Δ2，所以兩者角變形γ也相等。

圖4 單節間單腹桿系連續化

截面的彎矩M由上下弦桿作為翼緣來承受，剪力Q則由斜腹桿來承受。如圖5(a)所示，在Q=1的單位剪力作用下結構發生位移Δ1，此時斜腹桿的內力Fd為：

(2)

式中：E為主桁架材料彈性模量；Sd為斜腹桿截面積；h為桁高；α為斜腹桿與下弦桿的夾角。

桁架結構的剪切應變能U1為：

(3)

式中：d為斜腹桿長度。

與之對應薄板的剪切應變能U2為：

(4)

式中：G為主桁架材料剪切模量；γ為角變形；l為節間距離。

根據剪切應變能互等原理可知薄板厚度t1為：

(5)

2.2.2 雙斜腹桿系連續化薄板

如圖5所示為幾種常見雙斜腹桿系類型，以圖5(a)為例計算雙斜腹桿系連續化薄板等效厚度。

圖5 雙斜腹桿系示意圖

如圖6所示，取受剪狀態的單節間桁架為隔離體進行研究，同理兩者結構的角變形也相同。

圖6 單節間雙腹桿系連續化

在單位剪力作用下斜腹桿發生軸向變形，根據變形協調得斜腹桿的軸力Fd為：

(6)

此時桁架體系的應變能U3為：

(7)

與之對應薄板的剪切應變能U4為：

(8)

又因為主桁和等效鋼板產生的位移相等，即Δ3=Δ4，根據剪切應變能互等原理可知薄板厚度t2為：

(9)

3 下平聯斜桿和橫梁連續化等效厚度計算

3.1 下平聯類型對慣性矩影響分析

將下平聯結構分為以下3種工況：工況一為X型下平聯，工況二為K型下平聯，工況三為M型下平聯，應用同樣的方法反推慣性矩，結果如圖7所示。

圖7 不同下平聯工況下慣性矩計算結果

通過對圖7分析可知，與M型和K型平聯相比，X型平聯會有效提高加勁梁抵抗豎向撓曲變形的能力，這是因為在豎向撓曲中，X型平聯中的斜桿和豎桿與下弦桿共同承擔外荷載，而M型和K型平聯的斜桿和豎桿不承擔荷載。

3.2 下平聯連續化薄板等效厚度計算

將下平聯分為靜定結構與超靜定結構，K型和M型下平聯為靜定結構，而X型下平聯則為一次超靜定結構。

3.2.1 靜定平聯連續化薄板

取軸向受力狀態下的單節間K型平聯作為隔離體進行分析，當弦桿作用如圖8(a)所示的荷載F時，對節點分析可知，只有1-2弦桿和3-4弦桿受力，其余桿內力為0，因此K型下平聯不抵抗豎向撓曲變形；同理對于如圖8(b)的M型下平聯進行受力分析可知，只有1-2弦桿和6-7弦桿受力，其余桿內力為0。由此推測，對于靜定的下平聯，主桁下弦桿可直接平衡外力，斜桿和豎桿不受力，因此認為靜定下平聯不抵抗豎向撓曲變形。

圖8 下平聯受力示意圖

3.2.2 超靜定平聯連續化薄板

圖9 X型下平聯受力圖

對于如圖9(a)的X型下平聯，需將2-4桿截斷如圖9(b)所示，將軸力X1作為外力，再根據力法方程計算軸力X1：

δ11X1+Δ1F=0

(10)

式中：δ11為X1=1的單位荷載作用下引起的位移值；Δ1F為外力F作用下引起的位移值。一般來說，下平聯和主桁架材料彈性模量相同，因此：

(11)

(12)

式中：H為兩片主桁的中心間距；Aij表示i-j桿的截面積；β為下平聯斜桿與下弦桿的夾角。

代入力法方程得軸力X1為：

(13)

再由節點2的平衡關系可得1-2桿的軸力F12和變形Δ12為：

(14)

(15)

根據變形協調可知Δ12為X型下平聯在F=1的單位荷載作用下產生的軸向變形，因此X型下平聯的拉應變能U5為：

(16)

式中：Fij表示i-j桿的軸力。

薄板在F=1所產生同樣變形時的拉應變能U6為：

(17)

所以根據拉應變能互等原理可得薄板的等效厚度t3為：

(18)

最終將加勁梁連續化為如圖10所示箱梁。

圖10 連續化箱梁截面示意圖

對于靜定平聯，加勁梁則連續化為如圖11所示的π梁。

圖11 連續化π梁截面示意圖

3.3 加勁梁抗彎剛度計算公式

(19)

橋面板所承受力T為：

(20)

式中：Ab為橋面板截面積。

基于壓力不變的等效原則，選取幾何中心不變的位置，將橋面板截面積等效為相應弦桿材料的截面積Ah：

(21)

因此箱梁的慣性矩I為：

(22)

一般來說，橋面板等效面積Ah要比2S1的值要大，即橋面板對抗彎剛度的貢獻較大，因此在計算抗彎剛度時不可忽略橋面板的作用。

4 慣性矩簡化計算公式的精度驗證

加勁梁主桁分別選擇單斜腹桿系和雙斜腹桿系兩種工況，下平聯分別選擇K型、M型和X型三種工況，兩兩組合并建立240 m跨度的懸臂梁有限元模型，反推加勁梁的慣性矩并與簡化計算結果比較，計算結果及相對誤差如表1所示。

表1 手算慣性矩值與仿真慣性矩值的比較

由表1可以看出，對于同種形式的下平聯，雙腹桿系主桁比單腹桿系主桁的豎向抗彎剛度高大約5%；對于同種腹桿系不同形式的下平聯來說，K型下平聯和M型下平聯對豎向抗彎的貢獻相同，X型下平聯比K型和M型下平聯的豎向抗彎剛度高大約12%，因此在計算時需要計入X型下平聯的貢獻，這與理論推導相一致；由于公式推導過程中對加勁梁進行了一定程度的簡化，所以手算結果與數值結果存在一些偏差，但是相對誤差小于5%，滿足工程需要。

5 結論

基于應變能互等原理推導得出加勁梁慣性矩和抗彎剛度計算公式，通過仿真說明上述結果與實際加勁梁抗彎剛度誤差不超過5%，說明加勁梁抗彎剛度手算公式的合理性，可滿足工程需要。

對于加勁梁結構，無論是上承式、下承式還是雙層橋面結構，橋面板對豎向抗彎剛度的影響不可忽略。

不同形式的主桁形式和下平聯形式對加勁梁抵抗彎曲變形的能力不同，雙腹桿系主桁比單腹桿系主桁的豎向抗彎剛度高大約5%，X型下平聯比K型和M型下平聯的豎向抗彎剛度高大約12%。

本文僅僅研究了加勁梁豎向撓曲下的連續化情況，而橫向彎曲和扭轉變形并沒有考慮，今后應考慮同時發生豎向撓曲、橫向撓曲以及扭轉三者的組合變形。