電阻在電磁感應(yīng)含容電路中的物理意義

邵 卓

(深圳中學(xué)，廣東 深圳 518025)

在單導(dǎo)體棒切割磁場的問題中,含容電路是教學(xué)難點(diǎn)之一.文獻(xiàn)[1-2]從例題出發(fā)推導(dǎo)出解析結(jié)果,文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了一般性的問題,并得到該類問題的通解．但由于解答過程涉及一階微分方程,數(shù)學(xué)結(jié)果抽象,很多教師對(duì)電磁回路中電阻的作用困惑不解．本文以兩個(gè)動(dòng)力學(xué)問題為例,分別從物理意義和數(shù)學(xué)角度對(duì)該問題進(jìn)行討論.

圖1

例1.如圖1所示,光滑的水平平行金屬導(dǎo)軌間距為L,導(dǎo)軌左端接有電容為C的電容器,串聯(lián)電阻為R,整個(gè)裝置處在垂直導(dǎo)軌平面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中,一質(zhì)量為m,電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒ab垂直導(dǎo)軌放置且與導(dǎo)軌接觸良好.開始時(shí),電容器不帶電,現(xiàn)給導(dǎo)體棒一水平向右的初速度v0,試分析導(dǎo)體棒以后的運(yùn)動(dòng)情況并求金屬桿最終的穩(wěn)定速度及整個(gè)過程回路中產(chǎn)生的焦耳熱.

解析:ab棒切割磁感線,回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流,電容器充電電壓逐漸增大．運(yùn)動(dòng)開始后ab棒中感應(yīng)電流使棒受到安培力的作用開始減速,最終電容兩端的電壓與棒切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢相等,回路中電流為0,ab棒將以速度v勻速運(yùn)動(dòng).

當(dāng)ab棒穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí),電容器的電量

q=CU.

(1)

此時(shí),ab棒兩端的電壓

U=BLv.

(2)

從開始運(yùn)動(dòng)到穩(wěn)定,對(duì)ab棒使用動(dòng)量定理

BLq=mv0-mv.

(3)

可得

(4)

終態(tài)時(shí),回路電流為0,ab棒的速度v與電阻R無關(guān),電容器電量q也與電阻無關(guān).令人困惑的是,既然回路中存在電阻,為何終態(tài)的物理量卻與電阻R無關(guān),那么電阻R在回路中的作用是什么?

(1) 物理解釋.

設(shè)任意時(shí)刻,電容器的電量為q,電路中的電流為i,ab棒的速度為v,整個(gè)回路的感應(yīng)電動(dòng)勢以及電容電壓和電阻電壓的關(guān)系為

(5)

電流為電荷隨時(shí)間的變化率

(6)

將(6)式代入(5)式,有

(7)

由歐姆定律可知,電流是電壓和電阻共同作用的結(jié)果.電壓起推動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)的作用,而電阻則阻礙電荷運(yùn)動(dòng).假設(shè)回路中的電阻為線性元件,在初始時(shí)刻,回路的電壓最大,電荷變化率最大.此時(shí)電容電壓增加地最快,同時(shí)導(dǎo)體棒的速度減小地也最快.此后,回路中的電壓開始變小,電阻不變,電量變化率逐漸減小直至回路中電壓為0,最終電量變化率為0.

為了討論轉(zhuǎn)移的電荷量與電阻的關(guān)系,不妨設(shè)任意時(shí)刻電容器的電壓為u,金屬棒兩端電壓為u′,對(duì)金屬棒ab用動(dòng)量定理有

(8)

轉(zhuǎn)移的電量越大,ab棒電壓就越低.由電容器的特點(diǎn)可知

q=Cu.

(9)

電容器兩端的電壓就越大,回路的電壓u-u′就越小,直至u=u′,電荷不再轉(zhuǎn)移.由此可見電阻只影響電荷量變化率,而不影響轉(zhuǎn)移的總電荷量. 電阻越大,電荷量變化率越小,回路達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越長.電容C越大,電容電壓的改變就越難,導(dǎo)體棒的質(zhì)量m越大,其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變也越困難.相應(yīng)的,回路達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間也越長. 這些因素共同影響電磁感應(yīng)過程的快慢即影響馳豫時(shí)間.

(2) 數(shù)學(xué)分析.

從數(shù)學(xué)角度對(duì)例1進(jìn)行分析.

將式(5)對(duì)時(shí)間求微分,可得

(10)

對(duì)ab棒使用牛頓第二定律

(11)

將式(6)和式(11)代入式(10)可得

(12)

令

(13)

則有

(14)

(15)

圖2 I-t圖像

將i-t函數(shù)表示出來,如圖2所示,3條曲線分別為電阻R,0.5R,0.1R時(shí)的函數(shù)圖像.由圖可知,電阻越小,弛豫時(shí)間越短,電流衰減地越快.但無論電阻是多少,電流最終會(huì)趨向于0.而當(dāng)回路中的電阻R→0時(shí),弛豫時(shí)間τ→0,即電流在棒開始運(yùn)動(dòng)的一瞬間達(dá)到無窮大,之后瞬間衰減為0,此種情況違背了基本的物理原理.

類似的,可以得到電容器所帶電量的微分方程.由動(dòng)量定理可得

BqL=mv0-mv.

(16)

將式(16)代入式(7)中可得

(17)

該微分方程的解為

(18)

圖3 q-t圖像

圖4

例2.如圖所示,兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ,間距為L.導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器,電容為C.導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于導(dǎo)軌平面.在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒,棒可沿導(dǎo)軌下滑,且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸.已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,重力加速度大小為g.忽略所有電阻.讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑,求:

(1) 電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系;

(2) 金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系.

解析:設(shè)任意時(shí)刻,電容器的電量

q=CU.

(19)

對(duì)于金屬棒

U=BLv.

(20)

聯(lián)立式(19)和式(20),可得

q=CBLv.

(21)

將式(21)對(duì)時(shí)間求微分可得

i=CBLa.

(22)

又由牛頓第二定律

mgsinθ-μmgcosθ-BiL=ma.

(23)

則有

(24)

(1) 物理解釋.

相比于例1,例2中R為0,那么有

(25)

即電容器的電壓始終等于導(dǎo)體棒的電壓.將該式對(duì)時(shí)間微分,可得

(26)

由式(26)可以看出,電量變化率正比于棒的加速度．導(dǎo)體棒受到有限值大小的作用力,運(yùn)動(dòng)的加速度總是有限值,那么電量變化率也必為有限值,符合物理原理.

與例1相比,例2中棒的初速度為0,增加了外力.若在此回路中加入電阻,電阻的作用是否與例1相同?

若回路中電阻R不為0,電流同時(shí)受限于回路中電勢差和電阻.當(dāng)導(dǎo)體棒剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí),加速度最大,兩端的電壓變化最快,但由于回路中的電阻會(huì)阻礙電荷的轉(zhuǎn)移,此時(shí)電容兩端的電壓的變化會(huì)小于導(dǎo)體棒.只要導(dǎo)體棒的電壓變化率大于電容電壓變化率,回路中的電勢差就會(huì)進(jìn)一步拉大,電流就會(huì)持續(xù)增大.電量變化率增大.一方面會(huì)提高電容電壓的變化率,另一方面也會(huì)減小導(dǎo)體棒電壓變化率,直至二者電壓變化率相等,電流達(dá)到穩(wěn)定.由上述分析可知,最終電流的大小由導(dǎo)體棒和電容的電壓變化率共同決定,即最終電流受限于初始時(shí)棒的加速度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、導(dǎo)體棒長度以及電容.電阻不會(huì)影響最終電流的大小,也不會(huì)影響總電量,只會(huì)影響達(dá)到穩(wěn)定所需要的時(shí)間.電阻越大,弛豫時(shí)間越長.此外,電容C越大,導(dǎo)體棒質(zhì)量m越大,相應(yīng)的電壓變化就越困難,所需的穩(wěn)定時(shí)間也越長.

(2) 數(shù)學(xué)分析.

下面從數(shù)學(xué)角度對(duì)回路存在電阻的情況進(jìn)行分析.由牛頓第二定律可得

mgsinθ-μmgcosθ-BiL=ma.

(27)

(28)

該微分方程的解為

(29)

由該解可見,回路中出現(xiàn)電阻之后,電流會(huì)逐漸增大到某一值,而電阻越小,弛豫時(shí)間越短,電流增加地越快.若沒有電阻,電流則會(huì)從0突變?yōu)橥恢?

將式(29)對(duì)時(shí)間積分,可以得到電容器所帶電荷量,代入初始條件t=0,v=0,q=0，可得

(30)

圖5 q-t圖像

數(shù)學(xué)結(jié)果與物理解釋相吻合.只要初始狀態(tài)中電容的電壓與導(dǎo)體棒兩端的電壓相等,無論回路中是否存在電阻,在物理上均是合理的.但加入電阻后,需要解微分方程,因此在高中階段,一般會(huì)將電阻R設(shè)為0.

綜上所述,在含容的單棒電路中,電阻不影響終態(tài)的物理量,但會(huì)影響相應(yīng)物理量的弛豫時(shí)間,電阻越大,弛豫時(shí)間越長.當(dāng)電容器的電壓與金屬棒兩端電壓在初始狀態(tài)不等時(shí),回路須含有電阻,否則,就會(huì)出現(xiàn)電荷瞬間轉(zhuǎn)移這種違背物理規(guī)律的現(xiàn)象.這一點(diǎn)需要引起出題教師們的注意,避免出現(xiàn)知識(shí)性錯(cuò)誤.相反的,若電容器的電壓與金屬棒兩端電壓在初始狀態(tài)就相等,那么電荷轉(zhuǎn)移速度的極限由棒加速度決定,此時(shí)電阻可以為0.