一道聯考題解析結果的物理真實性的討論

廉志斌

(山東省平邑縣第一初級中學，山東 平邑 273399)

2020屆湖北八校高三第一次聯考題中的第21題,是一道構思精巧的創新試題,能很好地考查學生的作圖、分析、推理等多種能力．但是,命題者給出的解析及參考答案值得商榷．本文對命題者給出的解析結果的物理真實性做定量討論,指出了存在的錯誤,并給出一種簡潔的求解方法.

1 題目及原題解析

圖1 題目示意圖

例題.如圖1所示,半徑為R的圓是圓柱形區域的橫截面,c為圓心,∠acb=60°,在圓上a點有一粒子源能以相同的速率向圓面內各個方向發射質量為m、電荷量為q的帶正電粒子,柱形區域內存在平行于圓面的勻強電場,粒子從電場射出的最大動能是初動能的4倍,經過b的粒子在b點的動能是初動能的3倍,已知初動能為Ek,不計粒子重力及粒子間的相互作用,下列選項可能正確的有

(C) 電場強度方向從a到b.

(D) 電場強度方向從a到c.

圖2 解析示意圖

原解析:設電場方向與ab線的夾角為θ,離開電場時動能最大的粒子的射出點和c點的連線一定和電場方向平行,如圖2所示.

在粒子從a運動到b的過程中由動能定理有

qERcosθ=2Ek.

對離開電場時動能最大的粒子在電場中由動能定理有

由以上兩式解得

上述命題者給出的解析,貌似邏輯嚴密,無懈可擊．但是,物理問題的數學解析結果,有時會出現增根,只有對解析結果的物理真實性作進一步討論,才能確定解析結果的物理真實性和正確性.

2 對原解析的兩種結果的物理真實性的討論

(1) 求解從b點出射的粒子的初速度方向.

圖3 電場方向與ab同向時

初速度方向沿ab方向,并做勻加速直線運動到達b,很顯然符合題目情景.

(2) 求解以最大動能出射的粒子的初速度方向.

以最大動能出射的粒子,一定在過圓心c點的電場線與圓的交點P點出射,如圖3所示．以a點為坐標原點,電場線方向為y軸,設粒子的初速度方向與x軸的夾角為α．在x方向有

vcosα·t=Rsin60°.

(1)

在y方向有

(2)

(3)

解得

(4)

由上述分析可見,(A)、(C)選項的物理真實性和正確性毋庸置疑.

圖4 從b點出射的粒子的分析

(1) 求解從b點出射的粒子的初速度方向.

以a點為坐標原點,電場線方向為y軸,設從b點出射的粒子的初速度方向與x軸的夾角為α,如圖4所示．在x方向上有

vcosα·t=Rsinθ.

(5)

在y方向有

(6)

(7)

顯然(7)式中Δ<0,所以tanα無解,說明此條件下粒子不會從b點出射．即(B)選項錯誤.

(2) 求解以最大動能出射的粒子的初速度方向.

以最大動能出射的粒子,一定在過圓心c點的電場線與圓的交點P點出射,如圖5所示．設其初速度方向與x軸的夾角為α．在x方向有

vcosα·t=Rcos(θ-30°).

(8)

在y方向有

(9)

由(8)、(9)式并化簡得

(10)

(10)式中,由于Δ<0,所以tanα也無解,說明此條件下粒子不會從P點出射．即(B)選項錯誤.

圖5 以最大動能出射的粒子的分析

下面筆者給出一種簡潔的分析方法,供參考.

3 作圖找等勢線分析法

圖6 作圖尋找等勢點分析

根據題意,粒子從a運動到b的過程中電場力做的功與粒子從a到運動到P(粒子以最大的能從電場出射的位置)的過程中電場力的功之比是2∶3,因此在ab延長線上找ad=1.5R的點d,過d點做圓的切線,切點P就是與d點等勢的點,dP線就是等勢線,由電場線和等勢面的關系知cP方向就是電場方向,如圖6所示.

顯然,作圖找等勢線分析法,既簡潔又準確,不會出現增根.