關于不定積分的計算方法的教學研究*

秦春艷

(宿州學院 數學與統計學院 安徽 宿州 234000)

引言

眾所周知，高等數學是大學的一門基礎課程，關于它的教學研究非常重要。不定積分的計算是高等數學的主要內容，在理工類專業中的應用十分廣泛。在教學過程中發現學生在學習不定積分的計算時，覺得非常抽象、難以理解，尤其是用換元法來計算不定積分。針對這一現象，本文通過給出幾個典例來說明不定積分的幾種計算方法，希望能夠增加學生對高數學習的興趣，提高他們的積極性。

1.換元積分法

注：第一類換元法在積分學中經常使用，方法中的φ(x)隱含在被積函數表達式中。 然而如何適當選擇變量代換u=φ(x)，把積分中φ′(x)dx“湊”成du的形式并沒有一般規律可循，所以關鍵是要多做練習，熟練掌握各種形式的“湊微分”方法。而“湊微分”法是復合函數求導的逆運算，任何一個微分運算公式都可以作為湊微分的途徑，這要求熟練掌握微分運算。

第二類換元積分法：

于是根式化成了三角式，所求積分化為

注：第二類換元法的關鍵是適當地選擇變量代換x=Ψ(t)，使公式中f(Ψ(t))Ψ′(t)的原函數易求。當被積函數中含有根式而又不能用湊微分法時可考慮用第二類換元積分法，根據被積函數的具體情況，選取盡可能簡捷的代換將被積函數有理化。

兩組患者接受藥物治療后，血脂水平均處于不斷改善的狀態中。其中第4、8周時，試驗組TC、TG、LDL-C水平低于對照組，HDL-C水平高于對照組，差異均有統計學意義（P＜0.05），見表1。

2.分部積分法

注：(1)被積函數中如果含有對數函數、三角函數、反三角函數、指數函數和冪函數兩兩相乘的形式時，可以考慮用分部積分法。恰當地選取u和dv是分部積分法的關鍵，選擇u和v′ 時可按“反對冪三指”的順序，排列在前的函數取為u，排列在后的函數取為v′(其中三角函數與指數函數位置是可以交換的)。

(2)被積函數的表達式若只含有反三角函數或對數函數,也可以考慮用分部積分法。并且把反三角函數或對數函數取為u,dx就是dv的表達式。

3.有理函數的積分

解：被積函數的分母分解成(x+5)(x-2), 故可設

其中A、B為待定系數.上式兩端去分母后，得2x+3=A(x-2)+B(x+5), 即2x+3=(A+B)x-2A+5B,

比較上式兩端同次冪的系數，即有

對應Q(x)的因子則P(x)Q(x)分解成最簡單分式代數和含有(x-a)kA1x-a+A2(x-a)2+…+Ak(x-a)k(x2+px+q)kA1x+B1x2+px+q+A2x+B2(x2+px+q)2+…+Ak+Bk(x2+px+q)k

第一步：將Q(x)分解成一次因式與二次因式之和；

第三步: 對每個簡單部分分式逐項積分。