全方向長期伴飛衛(wèi)星集群軌道設計與仿真*

韓耀昆，陳琪鋒

(中南大學 航空航天學院·長沙·410083)

0 引 言

集群飛行是近年來空間技術的一個新興概念，即用多個小微衛(wèi)星代替單一衛(wèi)星實現(xiàn)系統(tǒng)的功能[1]，每個衛(wèi)星在空間上相互獨立，通過無線組網(wǎng)進行交互。與傳統(tǒng)單一衛(wèi)星相比，集群的優(yōu)勢在于一旦某個衛(wèi)星發(fā)生故障，對系統(tǒng)功能的影響較小，可以增強空間生存能力和快速反應能力，而單一衛(wèi)星一旦故障，會喪失部分功能甚至完全無法工作[2-5]。除此之外，隨著微小衛(wèi)星和皮納衛(wèi)星等技術的不斷發(fā)展成熟，集群任務已經(jīng)成為可能，相較于普通衛(wèi)星，可以大大降低成本[6-7]。但是集群也有一定的劣勢，衛(wèi)星集群實質(zhì)上是將單一衛(wèi)星實現(xiàn)的功能變?yōu)槎囝w小微衛(wèi)星協(xié)同完成[6-10]，所以會增大協(xié)同管理和協(xié)同控制的難度，并且隨著集群數(shù)量的增多，復雜性也會大大增加[10-12]。

集群任務不同于精確編隊，不要求長期保持嚴格的構(gòu)型和精確的相對位置保持，僅需要保持航天器松散地長期伴飛，不需要巨大的燃料消耗，主要依靠自身攝動保持構(gòu)型[2-11]。而在航天動力學中，航天器要受到J2攝動、大氣阻力、太陽光壓等多種攝動因素的作用[12-15]，由于集群航天器中各航天器的初始軌道根數(shù)和面質(zhì)比等參數(shù)都可能有一定的差異，因此每一個航天器之間的漂移(面內(nèi)和面外)是不可避免的[2,12]，也就導致航天器的整體構(gòu)型會發(fā)生變化。為使集群構(gòu)型保持長期穩(wěn)定，需要建立相對運動動力學模型，計算長期穩(wěn)定的相對運動軌跡，Sedwick等[16]將J2攝動以力函數(shù)的形式引入到C-W方程中，Schweighart等[17]則給出了包含J2攝動的線性微分方程。參考軌道為橢圓軌道的情況則是被Lawden等[18]和 Tshauner等[19]解決，他們兩人分別獨自于1963年和1965年寫出了線性化的相對運動方程并求出其解析解，因此該方程叫T-H方程。Carter等[20]則解決了T-H方程初始值奇異的問題。此外，也可以用數(shù)值積分法進行相對運動的研究，此方法最為直接，且由于計算過程不需要進行簡化或線性化，故而精度較高，只是無法給出解析解，常用來進行驗證。Schaub[6]等人通過對航天器平均軌道根數(shù)長期漂移速率的分析研究，提出以平均軌道要素的差異來抵消J2攝動的影響，并得到了J2攝動條件下相對運動軌道的初始條件。Gurfil[7]等人基于能量匹配建立了開普勒軌道下橢圓運動動力學模型，進而得出了相對有界周期運動的條件，并利用單沖量控制方法來維持相對有界。黨朝輝[2]求解了LVLH坐標系下各坐標分量的距離上下界及星間距離的上下邊界，并據(jù)此提出包絡球和包絡盒的模型。

本文提出了一種在J2攝動的影響下，在中心衛(wèi)星周圍任意給定初始方向上部署長期穩(wěn)定伴飛衛(wèi)星的軌道設計方法。通過在中心衛(wèi)星周圍不同方向上部署，實現(xiàn)衛(wèi)星集群對中心衛(wèi)星的全方向伴飛，并進行大規(guī)模集群的仿真驗證。本文星群構(gòu)型設計的目標是使星群分布于中心衛(wèi)星的不同方向上形成全向包圍分布并能夠長期穩(wěn)定運行的構(gòu)型。主要技術難點在于求解在任意給定時刻處于中心衛(wèi)星任意給定方向上，并且能夠穩(wěn)定伴隨飛行的伴飛衛(wèi)星軌道根數(shù)。

1 全方向長期伴飛衛(wèi)星軌道設計方法

1.1 坐標系

如圖1所示，分別定義兩個坐標系。

地球為中心的慣性坐標系，簡稱地心慣性坐標系(Earth Centered Inertial, ECI)，用來描述衛(wèi)星軌道運動。ECI坐標系原點在地心Oe，基本平面為J2000地球平赤道面，X軸由地心指向J2000春分點，Z軸沿地球自轉(zhuǎn)軸從地心指向北極，Y軸與X，Z軸垂直且由右手規(guī)則確定。向量r=[X,Y,Z]T表示在地心慣性坐標系中的空間位置。

當?shù)厮疆數(shù)卮怪弊鴺讼?Local-Vertical-Local-Horizontal，LVLH)用來描述軌道上兩顆近距離飛行的航天器之間的相對運動，為方便，一般將其中一個航天器稱為中心衛(wèi)星(Center Satellite)，另一個航天器稱為伴飛衛(wèi)星(Deputy Satellite)[6]。在下文中，下標(·)c和(·)d分別代表中心衛(wèi)星C和伴飛衛(wèi)星D。LVLH坐標系原點為中心衛(wèi)星質(zhì)心，x軸由地心指向中心衛(wèi)星質(zhì)心，z軸垂直于軌道平面且指向軌道角動量方向，y軸與x、z軸垂直且由右手規(guī)則確定。向量ρ=[x,y,z]T表示在LVLH坐標系中的空間位置。

軌道根數(shù)以向量形式描述為：

L=[a,e,i,ω,Ω,M]

(1)

其中a表示半長軸，e表示偏心率，i表示軌道傾角，ω表示近地點角距，Ω表示升交點赤經(jīng)，M表示平近點角。

1.2 衛(wèi)星長期伴飛的J2不變條件

將J2攝動加到經(jīng)典開普勒軌道運動中會導致密切軌道根數(shù)的三種變化，即短期和長期振蕩以及長期增長。短期項表現(xiàn)為軌道根數(shù)的振蕩，但不會導致軌道漂移[6]。本文研究內(nèi)容主要避免的是長期增長，這種增長用平均軌道根數(shù)來描述比用密切軌道根數(shù)更加簡單[8]，本文以下公式如無說明均為平均軌道根數(shù)。

對于開普勒運動(即不存在攝動)，只有平近點角M是與時間相關的軌道元素。M增長的速率由平均軌道速率n給出，平均軌道速率也叫平均角速度，定義為n=2π/T，其中T為軌道周期。對于有界的兩顆衛(wèi)星之間的相對運動，平近點角變化速率必須相等，即差值為零：

(2)

式中因為平近點角的變化率取決于a，所以公式(2)可近似為一階：

(3)

(4)

根據(jù)平均攝動法[8]，J2攝動下的升交點赤經(jīng)、近地點角距和平近點角變化率為

(5)

(6)

(7)

為了設計長期穩(wěn)定伴飛構(gòu)型，采用J2不變的條件[6]：

(8)

其中θM為平均緯度幅角，公式(8)即表示升交點赤經(jīng)和緯度幅角的漂移率相同，從而兩顆衛(wèi)星相對位置不會漂移。由公式(7)可知二者都是L，η，i的函數(shù)，中心衛(wèi)星與伴飛衛(wèi)星升交點赤經(jīng)和平均緯度幅角變化率的差值為：

(9)

將公式(7)代入公式(9)并線性化和略去高階項之后可以將上式簡化為[6]：

(10)

可以看出，公式(10)是a、e、i三個軌道根數(shù)之間的關系，因而平均軌道根數(shù)Ω、ω和M不會直接導致J2引起的長期增長，所以這三個參數(shù)可以任意選取。

滿足公式(10)條件的伴飛衛(wèi)星在J2攝動的影響下可以實現(xiàn)對中心衛(wèi)星長期伴飛，對于中心衛(wèi)星為圓軌道和橢圓軌道均可用此方法實現(xiàn)。

1.3 全方向部署的軌道設計方法

要實現(xiàn)伴飛衛(wèi)星對中心衛(wèi)星的全方向部署，需要在任意方向都可以部署伴飛衛(wèi)星，本節(jié)給出在任意方向部署的軌道設計方法，基本設計思路為利用軌道根數(shù)的差異在不同方向產(chǎn)生位移。公式(10)中的兩個公式是半長軸、偏心率和軌道傾角三個軌道根數(shù)之間的關系，可以通過改變偏心率在LVLH坐標系中的x方向產(chǎn)生的位移，y方向的位移利用改變近地點角距和平近點角實現(xiàn)，z方向的位移則通過改變升交點赤經(jīng)實現(xiàn)[16-17]。

在地心慣性坐標系中的中心衛(wèi)星平均軌道根數(shù)為Lc=[ac,ec,ic,ωc,Ωc,Mc]，伴飛衛(wèi)星的平均軌道根數(shù)為Ld=[ad,ed,id,ωd,Ωd,Md]。伴飛衛(wèi)星與中心衛(wèi)星軌道根數(shù)之差為δ=[δa,δe,δi,δΩ,δω,δM]。在LVLH坐標系中，定義伴飛衛(wèi)星相對于中心衛(wèi)星的位置為ρ0=[x0,y0,z0]T，

(11)

其中ε為ρ在xy平面的投影與x軸夾角，ψ為ρ與z軸的夾角，下標0表示初始時刻，如圖2所示。

圖2 LVLH坐標系中ε和ψ的定義Fig.2 Define ε and ψ in LVLH coordinate system

根據(jù)開普勒方程，得到中心衛(wèi)星的Mc和ec以及偏近點角Ec之間的關系[8]：

Ec=Mc+ecsinEc

(12)

利用牛頓迭代法，即可求出Ec。

定義旋轉(zhuǎn)矩陣Pc,Qc分別為[8]：

(13)

(14)

式中uc為中心衛(wèi)星的緯度幅角，引入真近點角fc，則uc=fc+ωc，真近點角fc可由下式求得[8]，符號與平近點角一致：

(15)

從而得到中心衛(wèi)星在地心慣性坐標系中的空間位置rc：

(16)

同樣，伴飛衛(wèi)星在地心慣性坐標系中的空間位置rd：

(17)

則在地心慣性坐標系中伴飛衛(wèi)星相對于中心衛(wèi)星的空間位置為r0=rd-rc。

r0與ρ0之間的關系為

r0=Tρ0

(18)

其中T為從LVLH坐標系到地心坐標系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，為

(19)

根據(jù)rc和r0即可求得rd=r0+rc，則有

(20)

根據(jù)公式(8)求得δa,δe,δi,之后代入公式(19)，若伴飛衛(wèi)星相對中心衛(wèi)星的距離已知，即可求得指定方向伴飛衛(wèi)星軌道根數(shù)，若未知，可得關于距離的表達式。

需要特別指出的是，中心衛(wèi)星為圓軌道，或者中心衛(wèi)星的偏心率ec<-δe時，直接計算得到ed<0，在航天軌道力學中無意義，因此δe要分情況討論。

(1)δe為正

即伴飛衛(wèi)星初始位置在中心衛(wèi)星上方(相對于地球)，此時可以直接計算伴飛衛(wèi)星的軌道根數(shù)。

(2)δe為負

即伴飛衛(wèi)星初始位置在中心衛(wèi)星下方，此時直接計算會導致伴飛衛(wèi)星的偏心率為負值，不滿足偏心率的定義，計算時也會出現(xiàn)錯誤，為了使伴飛衛(wèi)星可以在參考衛(wèi)星下方，需對伴飛衛(wèi)星軌道根數(shù)進行處理。

上述變換處理如圖3所示，點代表衛(wèi)星，實線為中心衛(wèi)星軌道，虛線為目標伴飛衛(wèi)星軌道，未經(jīng)處理之前的軌道為黑虛線軌道，要將黑虛線軌道變?yōu)榧t虛線軌道，則需要將軌道旋轉(zhuǎn)180°，即近地點角距在原來的基礎上加180°，而衛(wèi)星從原來的遠地點變?yōu)榻攸c，即平近點角在原來的基礎上減去180°，這樣即可實現(xiàn)伴飛衛(wèi)星在中心衛(wèi)星下方。為避免運算錯誤，此時計算時δe需要取絕對值。

圖3 初始位置在中心衛(wèi)星下方軌道變換示意圖Fig.3 Orbital transformation of the initial position below the center satellite

2 仿真試驗及結(jié)果分析

2.1 長期伴飛仿真驗證

給定中心衛(wèi)星C的初始平均軌道根數(shù)Lc(t0)=[7500 km,0,35°,0°,0°,0°]，設在初始時刻，伴飛衛(wèi)星的初始方位角為ε0=50°，高度角為ψ0=60°，且|ρ0|=65km，設計伴飛衛(wèi)星的軌道根數(shù)。采用公式(8)計算得到δe=0.004,δa=-0.713 m,δi=0.0025°，再用公式(18)計算得到δΩ=-0.0058,δω=0.0091，δM=0.000013，最后結(jié)合軌道根數(shù)的定義，得到地心慣性坐標系伴飛衛(wèi)星初始軌道根數(shù)為Ld(t0)=[7499999.287 m,0.004,35.0025°,359.6677°,0.5214°,0.000745°]。

之后將平根數(shù)轉(zhuǎn)換為密切軌道根數(shù)，進行數(shù)值仿真。其中地球非球形引力場攝動僅考慮J2攝動，軌道預報模型選取高精度的HPOP模塊，重力模型采用JGM3，其中n=21，大氣阻力模型采用1976-Standard模型。為驗證長期伴飛的穩(wěn)定性，仿真時間為60天。兩航天器的參數(shù)為：質(zhì)量mc=md=15kg，阻力系數(shù)CDc=CDd=2.2，最大截面積Sc=Sd=0.09 m2，其他參數(shù)皆采用默認參數(shù)，且所有衛(wèi)星一致。60天內(nèi)得相對距離變化情況為圖4。可以看出距離始終在小范圍內(nèi)波動，可以實現(xiàn)長期穩(wěn)定伴飛。

圖4 2顆衛(wèi)星60天內(nèi)距離變化Fig.4 Distance change of 2 satellite within 60 days

2.2 衛(wèi)星集群仿真驗證

本節(jié)對大規(guī)模(100顆)衛(wèi)星集群全方向伴飛構(gòu)型的設計進行仿真驗證。中心衛(wèi)星軌道根數(shù)及其他參數(shù)同上例，隨機生成100顆伴飛衛(wèi)星相對中心衛(wèi)星的位置向量，方位角隨機選取保證初始全方位覆蓋，初始距離在100km以內(nèi)隨機選取。

60天內(nèi)相對距離變化如圖5。在LVLH坐標系下表示的60天內(nèi)不同階段構(gòu)型如圖6，中間標注點代表中心衛(wèi)星，周圍其他點表示伴飛衛(wèi)星。

圖5 100顆衛(wèi)星60天內(nèi)距離變化Fig.5 Distance change of 100 satellites within 60 days

(a) 初始構(gòu)型

(b) 20天構(gòu)型

(c) 40天構(gòu)型

(d) 60天構(gòu)型圖6 100顆衛(wèi)星60天內(nèi)構(gòu)型變化Fig.6 Formation configuration of 100 satellites within 60 days

由圖5和圖6可以看出，60天內(nèi)集群一直都可以保持環(huán)繞中心衛(wèi)星的松散伴飛構(gòu)型，距離尺度沒有顯著變化。

考慮到伴飛衛(wèi)星之間可能發(fā)生碰撞，統(tǒng)計了所有伴飛衛(wèi)星兩兩之間在運行過程中的最小距離，考慮到本文所研究的大規(guī)模衛(wèi)星集群主要為微納衛(wèi)星或皮衛(wèi)星，體積尺度在厘米級或分米級，設置衛(wèi)星之間安全距離為100 m，統(tǒng)計結(jié)果如圖7，為方便觀看及統(tǒng)計，作二維圖，圖中橫坐標表示伴飛衛(wèi)星的個數(shù)，縱坐標表示伴飛衛(wèi)星兩兩之間在運行過程中的最小距離，對于碰撞問題需要特別關注的是距離下界，故對縱坐標做對數(shù)化處理，所有橫坐標為i(i=1,2，…，100)的點表示第i顆衛(wèi)星與其它伴飛衛(wèi)星在運行過程中的最小距離，為避免重復統(tǒng)計，對于第i顆衛(wèi)星，只統(tǒng)計其與序號大于i的伴飛衛(wèi)星之間運行過程中的最小距離。由圖7可以看出伴飛衛(wèi)星運行過程中共有10次在安全距離以下，從總運行時長看，運行總?cè)?shù)約為800圈，碰撞概率為0.0125次/圈，碰撞概率很低。

圖7 伴飛衛(wèi)星60天內(nèi)兩兩之間最小距離Fig.7 The minimum distance between deputy satellites within 60 days

本文的初步設計沒有考慮星群衛(wèi)星構(gòu)型設計中碰撞避免的問題，因為所考慮的星群構(gòu)型中衛(wèi)星間的碰撞概率很低，這一方面是衛(wèi)星間距離尺度較大，在100 km量級；另一方面是因為星群各衛(wèi)星較均勻地部署在參考星的周期各方向上，并且利用J2不變軌道的特點，星群運行中各環(huán)繞星的相對運動關系比較穩(wěn)定。在低碰撞概率情況下，在運行中根據(jù)狀態(tài)進行碰撞預測，并提前采取規(guī)避可以作為一種處理方式。關于星群無碰撞構(gòu)型設計問題，還需要依據(jù)軌道動力學規(guī)律進一步深入研究。

3 結(jié) 論

本文提出了在指定初始方向部署衛(wèi)星并且可以實現(xiàn)長期穩(wěn)定伴飛的一種伴飛衛(wèi)星軌道設計方法，并將其應用于全向伴飛衛(wèi)星集群的構(gòu)型設計。通過對平均軌道根數(shù)的分析，利用J2不變的概念，保證了衛(wèi)星在J2攝動的條件下相對漂移為零或很小；從幾何關系上對軌道進行分析，得到相對位置與軌道根數(shù)之間的關系，進而找出在指定方向部署衛(wèi)星的方法；用上述方法開展全向伴飛衛(wèi)星集群構(gòu)型設計，通過仿真驗證了其有效性。