三軸陀螺穩定平臺伺服回路全姿態解耦及變增益控制方法*

2020-07-16 09:22:14魏宗康徐白描

飛控與探測 2020年3期

魏宗康,徐白描

(北京航天控制儀器研究所·北京·100854)

0 引言

三軸穩定平臺系統由臺體、內框架、外框架和基座組成，相對于捷聯系統的優點在于通過框架隔離載體的角運動，使平臺臺體相對于慣性空間始終保持穩定，為導航解算用的加速度計提供一個良好的工作環境?，F有的文獻[1-2]認為，臺體相對慣性空間穩定的三軸平臺存在“框架鎖定”現象，即內框架角為90°時平臺臺體軸和外框架軸相重合從而使平臺失去一個自由度。在發生框架鎖定時，如果平臺基座沿垂直于臺體軸和外框架軸的第三個正交軸存在轉動時，則通過平臺外框架軸和內框架軸的軸承約束，將帶動整個臺體繞該第三個正交軸轉動從而使其不能相對慣性空間保持穩定。為此，三軸平臺在工程應用中在內框架軸上增加限位擋釘以避免內框架角工作于大角度，這就使得三軸平臺只能應用于機動姿態有限的載體上。

但隨著飛機、運載火箭和彈道式導彈對機動變軌飛行需求的增加，要求慣性平臺在全姿態、大機動運動時臺體仍能保持穩定。為此，在原來兩框架三軸平臺的基礎上，通過在最外面增加一個隨動框架構成四軸平臺用來避免“框架鎖定”現象的發生。為了使四軸平臺的內框架工作于0°，文獻[3-4]提出了一種全方位四軸平臺隨動回路方案。當外框架角為±90°時，可通過將隨動框架轉動90°的方法使內框架角回零，同時使外框架離開±90°位置，使四軸平臺重新具備閉合隨動回路的工作條件。這就帶來一個新的問題是，既然內框架角始終工作于0°，那么四軸平臺就退化為一個由臺體軸、外框架軸和隨動框架軸構成的三軸平臺了，是不是三軸平臺也能實現全姿態、大機動狀態下的工作？

國內對三軸平臺內框架限幅的主要依據是參考文獻[1]，所建立的三軸平臺運動模型中包含了內框架角的正切函數和正割函數，轉動慣量和力矩變換的計算公式中也包含了內框架角度的正切值或正割值，因此當內框架角度為±90°時，計算的結果趨于無窮大，但該結論不符合物理規律。因此，本文建立了一種新的三軸平臺動力學方程、伺服回路模型，并提出了一種適應全姿態的解耦方法，可對回路中的力矩耦合和轉動慣量耦合進行解耦，實現了三條回路的獨立控制。針對伺服回路系統中的變參數問題，本文提出了變增益控制策略，仿真結果表明該控制方法可保證伺服回路性能不變，具有更好的魯棒性。

1 三軸陀螺穩定平臺的框架系統動力學方程

包含臺體、內框架、外框架和基座的三軸平臺結構如圖1所示，設βzk為內框架相對臺體的轉動角度，βyk為外框架相對內框架的轉動角度，βxk為基座相對外框架的轉動角度。在βzk=0、βyk=0、βxk=0時，臺體坐標系OXpYpZp、內框架坐標系OXp1Yp1Zp1、外框架坐標系OXp2Yp2Zp2和基座坐標系OX1Y1Z1重合。此時，平臺框架可以隔離基座的角運動，臺體相對慣性空間穩定。

圖1 框架歸零時的三軸平臺結構Fig.1 Three axes platform structure when frame angle values are zeros

圖2 三軸平臺4個坐標系之間的關系Fig.2 The relation within four coordinates of three axes platform

在建立平臺系統的動力學方程時，定義ωxp、ωyp、ωzp分別為臺體坐標系相對于慣性坐標系的轉動角速度在Xp、Yp、Zp軸上的投影分量；ωxp1、ωyp1、ωzp1分別為內框架坐標系相對于慣性坐標系的轉動角速度在Xp1、Yp1、Zp1軸上的投影分量；ωxp2、ωyp2、ωzp2分別為外框架坐標系相對于慣性坐標系的轉動角速度在Xp2、Yp2、Zp2軸上的投影分量；ωx1、ωy1、ωz1分別為載體坐標系相對于慣性坐標系的轉動角速度在X1、Y1、Z1軸上的投影分量。

采用歐拉法分別列寫出臺體、內框架和外框架的動力學方程。

(1) 臺體的動力學方程：

(1)

式中，Jxp、Jyp、Jzp為臺體(包括陀螺儀殼體)對Xp、Yp、Zp軸的轉動慣量；Mxp、Myp、Mzp為臺體Xp、Yp、Zp軸上的外力矩；MDzp為臺體軸力矩電機的反饋力矩。

(2) 內框架的動力學方程：

(2)

式中，Jxp1、Jyp1、Jzp1為內框架對Xp1、Yp1、Zp1軸的轉動慣量；Mxp1、Myp1、Mzp1分別為內框架軸上的外力矩，不包括電機力矩的反饋力矩；MDy1為內框架軸力矩電機反饋力矩。

(3) 外框架的動力學方程為：

(3)

式中，Jxp2、Jyp2、Jzp2為內框架對Xp2、Yp2、Zp2軸的轉動慣量；Mxp2、Myp2、Mzp2分別為外框架軸上的外力矩，不包括電機力矩的反饋力矩；MDx2外框架軸力矩電機反饋力矩。

(4) 基座隨著載體運動時對外框架施加的力矩為

(4)

式中，Mx1、My1、Mz1為基座受到載體的作用力矩。

2 存在奇異值的三軸平臺臺體合成動力學方程

式(1)～(4)是分析平臺系統運動規律的基礎，對其求解可得三軸平臺的臺體三軸動力學方程。在具體求解過程中，忽略二階慣性干擾力矩，可以列寫出各框架力矩作用到臺體三個軸Xp、Yp、Zp的動力學方程。根據參考文獻[1]的推導思路，依據內框架動力學方程，有

(5)

(6)

以及外框架OXp2軸動力學方程

Mxp1=

(7)

需要注意，當βyk=90°時，上式中的1/cosβyk將趨于無窮大，βyk為奇異值。把式(6)代入式(7)，再把式(7)代入式(5)，并把式(5)代入式(1)，即可求得三軸穩定慣性平臺系統的臺體合成動力學方程為

(8)

其中，

Jzp1cos2βzktan2βyk+Jxp2cos2βzksec2βyk；

Jzp1sin2βzktan2βyk+Jxp2sin2βzksec2βyk；

Jxp2sec2βyk)sin2βzk。

根據該動力學方程，三軸平臺伺服回路如圖3所示。圖中，由框架至臺體的干擾力矩的耦合矩陣為

(9)

在現有平臺系統中只采用了平面坐標分解器進行力矩解耦，平面分解器的表達式為

(10)

但上述結果存在以下問題：

(1) 當βyk趨于±90°時，如果外框架Xp2、臺體Zp軸上存在有限力矩Mxp2和Mzp，臺體Xp和Yp軸將接收到趨于無限大的被動力矩。從物理意義上來說，在框架軸輸入有限能量時將在臺體產生無限能量，顯然不符合客觀規律。

分析錯誤的原因，根源在于兩個方面，其一是式(6)中把內框架Mzp1用臺體軸力矩Mzp-MDzp表示，即該方法認為內框架的干擾力矩是由臺體的運動造成的；其二是式(7)，在求解Mxp1時只用到外框架OXp2軸的動力學方程，而沒有用到OZp2軸的動力學方程。

圖3 基于平面坐標分解器的三軸平臺伺服回路Fig.3 Three axes platform servo based on plane coordinate resolver

3 適應全姿態的三軸平臺系統臺體合成動力學方程

通過把內框架力矩Mzp1用外框架力矩Mxp2和Mzp2的合成來表示，采用表達式

Mzp1=[M7-(Mxp2-MDx2)]sinβyk- (M9-Mzp2)cosβyk

(11)

把上式代入式(7)，有

Mxp1=-[M7-(Mxp2-MDx2)]cosβyk-

(M9-Mzp2)sinβyk

(12)

忽略二階小量，具體推導過程見圖4。

圖4 三軸平臺動力學方程推導流程Fig.4 Derivation flow of kinematic equation of three axes platform

(13)

其中，

4 三軸平臺系統伺服回路全姿態解耦設計

在慣性穩定平臺伺服系統工作時，作為伺服回路執行機構的三個力矩電機分別裝在臺體軸、內框架軸和外框架軸上，在不同框架角時伺服回路會存在著力矩耦合。框架系統的轉動慣量最終通過慣性干擾力矩對臺體的作用體現出來，包括轉動慣量間的耦合、慣量積的耦合等，但最關鍵的是框架轉動慣量在臺體上的耦合。為此，在設計三軸慣性穩定平臺系統的伺服回路控制器時，需要進行解耦。

目前的三軸平臺的內框架角工作范圍較小，一般不會超過±40°的范圍，所以對伺服回路進行解耦時只考慮了力矩解耦，即所謂的坐標分解器。隨著內框架角工作范圍達到±180°時，轉動慣量耦合對伺服回路的影響不可忽略，主要表現為兩個方面：(1)三個回路交鏈的耦合作用會直接影響靜態精度和動態精度；(2)三個回路增益大小的變化會影響相位裕度。這些都會影響平臺臺體相對慣性空間的穩定性和精度。為此，本文提出了一種新的三軸穩定平臺系統伺服回路解耦方法，如圖5所示。圖中，由框架至臺體的干擾力矩的耦合矩陣為

(14)

(15)

(16)

圖5 基于轉動慣量和力矩解耦的三軸平臺伺服回路Fig.5 Three axes platform servo based on moment of inertia and moment decoupling

圖6 解耦后的X軸平臺伺服回路Fig.6 Decoupled servo loop of X-axis platform

5 三軸平臺系統伺服回路變增益控制設計

圖在不同框架角時的值Fig.7 The value of according to different frame angle

本文提出一種三軸慣性穩定平臺系統伺服回路變增益控制方法，實現步驟如下：

(1)根據臺體上安裝的陀螺儀輸出的角速度，得到臺體在Xp軸、Yp軸和Zp軸上的角速度分量ωxp、ωyp、ωzp；

(2)經過解耦后，得到臺體Zp軸的合成轉動角速度βz、內框架Yp1軸的合成轉動角速度βy；外框架Xp2軸的合成轉動角速度βx；

性能指標要求包括靜態精度指標、動態精度指標和對象不確定性指標：(1)靜態精度指標為伺服回路為一個II型系統，因此，需增加一個積分環節；(2)動態精度主要考慮在低頻段盡量增加伺服回路的力矩剛度；(3)對象不確定性主要考慮高頻未建模特性。由于精度指標和對象不確定性指標是一對矛盾量，因此，在設計控制器時需要在上述兩個指標之間取折中[7-8]。

在具體設計時，以X軸伺服回路為例，采用H∞控制設計的βyk=0°、βzk=0°時的控制器為[11-12]

Cx,0(s)=

(19)

伺服回路開環傳遞函數如圖8所示，可以看出，在帶寬范圍內的低頻段，開環傳遞函數幅值大于性能界函數的值，而在帶寬范圍外的高頻段，開環傳遞函數幅值小于對象不確定性的值；伺服回路的帶寬為163.2(rad/s)，相位裕度為53.9°，滿足設計要求。

圖8 X軸伺服回路開環伯德圖Fig.8 The magnitude versus phase plot of X-axes servo loop

圖9 X軸伺服回路開環幅值伯德圖Fig.9 The magnitude plot of X-axes servo loop

為比較變增益的效果，不考慮系統中的飽和特性，設框架角βyk=90°、βzk=0°，外框架受到一個常值干擾力矩Mx1=1(N·m)的作用，電機力矩MDx2的響應過程見圖10中的上圖，控制器輸出ux的電流見圖10中的下圖。無增益補償時的伺服回路單位階躍響應如圖10中紅線所示，黑線為采用變增益控制的伺服回路單位階躍響應，可以看出，變增益控制具有響應時間快、超調量小、精度高的優點。