中考路徑長問題之直線型路徑

□福建省安溪銘選中學 劉菲芬

一、目標點到定點的連線與定直線所夾角為定值（定夾角得直線）

【題型剖析】目標點在運動過程中始終到某個定點的連線與某條定直線的夾角保持不變，而這個定點經常就是目標點的起點，這時目標點的運動軌跡就是該目標點與起點所在的直線，即為直線型路徑。此時只要找到目標點的起點和終點，路徑長為以這兩點為端點的線段長。

【范例點睛】例1：在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，點E從點B出發，沿BC邊運動到點C，連接DE，過點E作DE的垂線交AB于點F。在點E的運動過程中，以EF為邊，在EF上方作等邊△EFG，求邊EG的中點H所經過的路徑長。

【典例解析】通過B，E，F，H四點共圓可得∠HBE=30°，即目標點H到定點B所在定直線BC的夾角為定值，而矩形ABCD中AB=3，AD=3得∠DBC=30°，因而點H的運動軌跡為BD所在的直線。

【方法總結】①夾角法：1。找定點(一般為目標點的起點或中點或某個臨界位置)；2。找目標點的過程點(可鎖定題目所給圖形的位置點)，然后連接過程點和定點，證明此連線與某條定直線夾角為定值；第三步：找目標點的起點和終點，求這兩點間的線段長度即可。另附②解析法：題目中出現了正方形、矩形、直角三角形、等邊三角形等為建立直角坐標系奠定了天然條件時可用解析法來證明目標點作直線運動，并用兩點間的距離公式求路徑長。第一步：以直角頂點B為坐標原點建直角坐標系；第二步：設動點坐標(x，y)，求解析式為一次函數，從而得到點H的運動軌跡為直線。第三步：求起點、終點坐標，用兩點間距離公式求路徑長。

二、目標點的運動軌跡為三角形（或梯形）中位線

（一）定距離得平行線

【題型剖析】此類題型中，過程點均為線段的中點，過程點在運動過程中到定線段的距離始終保持不變，根據平行線間的距離處處相等，可得過程點的運動軌跡與定線段平行，再加上中點即可證運動路徑長為三角形（或梯形）的中位線。另：此類題也可通過四點共圓的幾何證法，得角相等，再根據同位角（內錯角）相等，兩直線平行得中位線。

【范例點睛】例2：已知：如 圖 ，△ ABC∽ △ ADE，∠BAC＝ ∠DAE＝90°AB＝6，AC＝8，點D在線段BC上運動。當點D從點B運動到點C時，設P為線段DE的中點，求在點D的運動過程中，點P經過的路徑長。

【方法總結】第一步：求出過程點到定線段的距離（或以過程點為頂點的角與某定角）相等，根據平行線的判定得出過程點的運動軌跡與定直線平行。第二步：找出過程點的起點和終點，根據中位線的定義，判斷其運動路徑為三角形（或梯形）的中位線。第三步：利用中位線的性質求出路徑長。

（二）到兩定點距離為定值得垂直平分線

【題型剖析】此類題的目標點常為某定線段的中點，而目標點在運動過程中始終與另一定線段的兩個端點距離相等，即目標點的運動軌跡在該線段的垂直平分線上，從而可知該目標點的運動路徑為直線型路徑，并且起點和終點都為定線段的中點，得目標點的運動路徑為這兩線段所構成的三角形(或梯形)的中位線。

【范例點睛】例3：在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1。將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF。探究：將直尺從圖中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止。在這個過程中，請你觀察、猜想，并直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經過的路徑長。

【典例解析】解：如圖設線段EF的中點為O，連接OP，OB，∵在Rt△EPF中OP=EF，在Rt△EBF中OB=

【方法總結】第一步：證目標點到某定線段的兩個端點距離相等（目標點常為兩個直角三角形公共斜邊上的中點），得出目標點的運動軌跡在該線段的垂直平分線上，從而印證直線型路徑；第二步：找出目標點的起點和終點為三角形（或梯形）兩邊上的中點，得出目標點的運動路徑為三角形（或梯形）的中位線；第三步：利用中位線定理求出路徑長。