基于MATLAB的油罐罐底板應力分析*

邱水才，張玲艷，李 云

(1 常州大學懷德學院，江蘇 靖江 214500； 2 中國石油化工股份有限公司金陵分公司，江蘇 南京 210033)

基于油罐安全運行的重要性和目前研究技術的不足，對油罐開展應力分析迫在眉睫。油罐主要有兩處位置最易發生失效，即罐頂和罐壁相連焊縫處，罐壁與罐底相連焊縫處；其中，最理想的失效位置是在罐頂與罐壁相連處，此處失效可避免油罐內介質流出帶來危害[1]；但在實際工作過程中，由于內部載荷作用，罐底板易發生部分翹離現象，當內部載荷達到一定值時，底板連接焊縫因承受過大彎曲載荷會發生撕裂，給油罐的正常運行帶來安全隱患，甚至事故。

為了安全運行，油罐在投入使用前必須進行靜水壓試驗，即要對油罐罐底板和罐壁板強度、嚴密性以及基礎沉降情況進行檢驗。因油罐罐底板受力復雜，為方便研究其受力，根據油罐整體結構和受力的特點，可選二維軸對稱結構作為油罐的理論分析模型。

對罐底的應力分析方法，目前主要有四種，第一種是1995年吳天云等提出了一種大型油罐彈性地基與剛性地基耦合計算罐底應力的新型方法；第二種是1978年中科院力學所李國琛等提出了一種計算罐底板應力的理論計算模型，但該模型未考慮罐底板伸出壁板外的長度影響，其計算值與實測值誤差相差很大；第三種是1968年J B Denham等[2]提出了API剛性地基梁方法計算大型油罐罐底應力，但此理論方法計算的應力值與實測值相差較大；第四種是彈性地基梁法。2011年曲曉建等[3]對油罐罐底及邊緣板的應力計算方法進行了研究，并通過有限元模擬進行了驗證，結果表明彈性地基與剛性地基耦合的理論計算方法與實驗測得的值更吻合，應力值與實測應力值更接近。

基于彈性地基與剛性地基耦合的方法，在靜水壓和自重作用下，構建油罐罐底與罐壁二維軸對稱結構模型，并對油罐罐底板應力進行分析，推導出其理論解；再借助MATLAB軟件算出罐底板上徑向應力分布情況，這對油罐的設計、建造、運行及維護具有重要意義。

1 理論模型

油罐主要有罐底、罐壁和罐頂三部分構成，罐底作為支撐整個罐體的主要受力部件，罐底板是由中幅板和邊緣板兩部分組成；中幅板位于罐底中間部分，相對較??；邊緣板位于罐底最邊緣一圈，相對較厚；圖1為罐底板結構示意圖。

圖1 罐底板結構示意圖

油罐均要在罐底下面做剛性地基和彈性地基，其中，剛性地基是由鋼筋混凝土澆筑的環墻基礎，環墻基礎的作用是使罐體載荷傳遞給地基，防止油罐產生過大的不均勻沉降。油罐與地基結構如圖2所示，環墻基礎頂面為堅實的水平面，鋼筋混凝土環墻基礎里面是由回填砂組成的彈性地基。

圖2 油罐與地基結構

靜水壓試驗結果表明，油罐罐底在靜水壓作用下邊緣板產生翹離，并且罐底最外側總落于剛性地基的某點上[4]；罐壁在靜水壓作用下向半徑方向膨脹變形。油罐罐底及罐壁在靜水壓作用下產生的變形如圖3所示。

圖3 油罐罐底及罐壁的變形圖

使用彈性地基與剛性地基耦合方法對油罐力學模型進行分析，考慮油罐的靜水壓和自重作用，得到罐底板與罐壁板的受力情況如圖4所示。視為半無限長的罐底板與彈性地基接觸部分稱作第I 部分；將罐底翹起部分稱作第Ⅱ部分，罐底板翹起長為L，罐底板伸出罐壁中心線的長度為l；罐壁板的底圈稱作第Ⅲ部分。

圖4 罐底板與罐壁板受力模型

環形邊緣板處在第Ⅱ部分，第Ⅱ部分受力有：罐壁單位長度上的重力G，單位長度上液體靜水壓強P，邊緣板最外側受單位長度上的簡支力R1，彈性地基與剛性地基交接處邊緣板截面上單位長度上的剪力R2和彎矩M2，罐壁與罐底相連處罐壁在圓周單位長度上的彎矩M0和約束剪力Q0，地面摩擦f以及第I部分對第Ⅱ部分的拉力F作用。

2 公式推導

根據第Ⅱ部分受力，由靜平衡方程式∑y=0，可得出：

R1+R2=G+P(L-l)

(1)

對0點取矩：

R2L=0.5P(L-l)2+Gl+M0+M2

(2)

2.1 計算l≤x≤L時的撓度和轉角

當l≤x≤L時，罐底在x處的彎矩Mx，在剪力R2、彎矩M2和靜水壓強P的作用下：

Mx=-Dy″=R2(L-x)-0.5P(L-x)2-M2

(3)

(4)

(5)

式中C1，C2為積分常數，D為罐底板抗彎剛度系數，x表示罐底板沿徑向從邊緣板最外側到罐底另一點的距離，如圖4所示；y為撓度，y′為轉角。

根據文獻[2]得第I部分左端點的撓度和轉角為：

(6)

(7)

式中β為罐底板特征系數，K為罐底板彈性系數；

(8)

(9)

當l≤x≤L時，把C1、C2的解代回式(4)、式(5)得轉角y′、撓度y的關系式各為：

(10)

(11)

2.2 計算x≤l時的撓度和轉角

當x≤l時，在剪力R2、彎矩M2、靜水壓強P、重力G和彎矩M0的作用下，可得：

Mx=-Dy″=R2(L-x)-0.5P(L-x)2-G(l-x)+
0.5P(l-x)2-(M2+M0)

(12)

(13)

(14)

式中C3，C4為積分常數，可根據邊界條件求出C3，C4。

當x=l時，式(10)與式(13)的轉角相同，式(11)與式(14)的撓度相同，聯立則可得積分常數C3，C4：

(15a)

(15b)

當x=0時，式(14)的撓度y=0，可得：

(16)

由式(2)、(6)及(16)聯立可得罐底的彎矩M0、M2及支持力R2表達式為：

(17)

(18)

(19)

(20a)

A2=1+βL

(20b)

(20c)

(20d)

2.3 計算x=l時的撓度和轉角

邊緣板x=l處的轉角θb由式可(10)得：

(21)

罐壁板處的轉角θs由文獻[2]得：

(22)

式中H為靜水高度，γ為介質的重度，βs罐壁板特征系數，Ks罐壁板彈性系數，Ds為罐底板抗彎剛度系數;

在x=l處相同的邊緣力系M0作用下，邊緣板的轉角與罐壁板的轉角關系為：θb=-θs，即式(21)與式(22)相加為零。

聯立式(17)、(18)、(19)、(20)、(21)、(22)，可求出邊緣板最外側翹起長度L，彈性地基與剛性地基交接處邊緣板截面單位長度上的彎矩M2和剪力R2。

2.4 計算罐底板徑向、環向彎曲應力

(23a)

(23b)

當x>L時：

R2sin[β(x-L)]}

(23c)

式中x表示罐底板沿徑向從邊緣板最外側到罐底另一點的距離。

并且，有油罐罐底板環向彎曲應力解析式[6]：

σbθ=μσbr

(24)

式中μ表示鋼材泊松比；σbθ、σbr為罐底板的上表面環向、徑向彎曲應力。

3 舉例說明

表1 油罐的計算參數表

由上述公式推導可知，油罐罐底環向彎曲應力小于徑向彎曲應力，在靜水壓試驗下，罐底板上表面徑向彎曲應力最大，對其應力求解，可得罐底板最大應力分布情況。根據表1油罐的計算參數表，利用MATLAB軟件計算，可得罐底板翹離地面的長度L為0.253 m，彎矩M2為3.328 kN·m/m，剪力R2為-18.532 kN/m。

將已解出的罐底翹離地面的長度L，彎矩M2，剪力R2代入表面徑向彎曲應力的解析式中，可得罐底板徑向彎曲應力的具體表達式為：

當x≤0.061m時

σbr=-1406x

(25a)

當0.061m

(25b)

當x>0.253m時

(25c)

圖5 罐底板上表面徑向彎曲應力分布圖

根據罐底板的徑向彎曲應力表達式(25a)，(25b)和(25c)，借助MATLAB軟件計算，可繪制罐底板上表面徑向彎曲應力分布如圖5所示。

顯然，油罐在靜水壓和自重作用下，罐底板上表面徑向彎曲應力沿著邊緣板最外側朝內側的方向上，呈現“谷值-峰值-谷值”狀態分布，其值分別為-85.8 MPa、396.6 MPa和-32.7 MPa；在罐底與罐壁相連的大角焊縫處應力較為復雜，出現了外角焊縫處的最大壓應力逐漸消退的同時，內角焊縫處的拉應力陡增到最大的現象。另外，在邊緣板到中幅板過渡段的應力則由受壓轉變為受拉，在中幅板上罐底徑向應力值保持平衡，其值不大于5 MPa。

4 結 論

在油罐罐底板和罐壁板的焊接處，應力狀態十分復雜，罐底板主要受徑向彎曲應力，罐壁板主要受環向應力，借助MATLAB軟件可有效地計算出罐底板大角焊縫處的應力大小，從而評估油罐的安全性，這對油罐的設計、建造、運行及維護具有重要意義。