基于骨料形態的細觀混凝土建模與裂縫研究

周瑜亮，金 浩

（1.同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804；2.上海市軌道交通結構耐久與系統安全重點實驗室，上海201804）

目前，大多數針對混凝土工程結構的力學研究中，將混凝土材料看作均質連續介質，假設為各項同性材料[1-2]。然而，真實的混凝土由骨料、砂漿、細砂等材料組成，宏觀模型不能解釋混凝土材料內部結構的相互作用以及宏觀裂縫的擴展規律。 細觀數值仿真的提出解決了宏觀層面材料均質化而難以表述其隨機性的難題，同時避免了微觀層面的海量計算，對混凝土材料破壞的影響及細觀裂縫發展與宏觀力學性能之間的關系提供了新思路。

作為混凝土細觀模型的核心問題，骨料形狀的模擬直接影響著混凝土的強度、裂縫開展等宏觀特性。學者針對骨料形狀的模擬做了不同的嘗試。 早期的骨料模型普遍采用規則幾何模擬，如采用圓形[3-5]或者橢圓[6-7]模擬卵石骨料，對于形狀較為復雜的碎石骨料，高政國等[8-10]利用簡單平面幾何和立體幾何，將邊或面延向其法向方向向外隨機延拓，形成多邊形（多面體）的混凝土骨料；Zhang 等[11]、徐樂等[12]基于維諾泰森多邊形方法，在空間中生成任意隨機點，通過隨機點間距離中垂線將空間切割成多面體形成骨料顆粒；宋來忠等[13-14]基于參數曲面的自由變形技術，定義伸縮因子，用確定的、形式統一的參數方程將骨料予以表示。隨著CT 掃描、X 射線等先進技術的引入，部分學者從實際試件中獲取真實骨料的參數信息。 于慶磊等[15-18]利用CT 掃描和數字圖像處理技術獲得了真實試件截面上骨料的形狀、位置、孔洞等信息，重構了與試件截面相一致的細觀模型；Ren 等[19-20]通過CT 掃描得到一系列二維圖像，利用體數據場重建了三維混凝土細觀模型試件。

上述骨料模擬的方法中，前一類規則幾何骨料與真實骨料形貌上差異較大，后一類骨料受采樣試件的級配限制，模擬不規則結構時有所困難。為解決上述問題，通過對碎石骨料的圖像處理獲得單個骨料的輪廓形狀，并將輪廓點進行隨機移動，形成真實骨料的隨機生長。針對碎石骨料復雜的幾何邊界，提出“先投放多邊形-后投放外接圓”的侵入判別準則，實現骨料的快速投放。 通過建立混凝土梁三點彎曲數值模擬分析骨料形狀對裂縫擴展的影響。

1 細觀混凝土建模

1.1 基于圖像處理的骨料幾何生成

骨料形態的模擬是混凝土細觀模型的基礎。 基于單個真實骨料圖像處理及輪廓控制點處理對骨料形態進行建模。 首先，利用激光掃描儀對單個骨料進行掃描，得到骨料的三維圖像，在此基礎上對骨料進行隨機旋轉得到不同視角的骨料截面。 將骨料圖像導入MATLAB 中， 采用內置的二值化函數im2bw 和膨脹函數imdilate 對圖像進行處理。最后，利用bwperim 和bwboundaries 函數提取骨料的有序輪廓控制點坐標。 隨后，為優化控制點數量，采用曲率及兩點間最小距離控制來減少輪廓控制點。 其中，曲率控制采用“三點法”，控制條件為相鄰3 個幾何點構成的三角形外接圓曲率半徑小于某一給定值；兩點間最小距離控制時，首先計算骨料的平均粒徑，并假定輪廓上任一點為起始點，計算相鄰2 個控制點之間的距離滿足

式中：Rave為骨料平均粒徑；Ri為輪廓控制點至幾何中心的距離；N 為輪廓控制點個數；α 為距離控制系數。簡化后的骨料形狀可以由幾何控制點及直線生成，如圖1 所示。

圖1 真實骨料圖像處理Fig.1 Actual aggregate image processing

圖2 控制點隨機移動生成新骨料Fig.2 Random movement of control points

1.2 骨料投放及侵入判斷

骨料的投放采用“先投放多邊形-后投放外接圓”侵入判斷的骨料投放算法。新骨料投放時，只要將其外接圓投放至指定區域內即可完成該個骨料的投放，在投放時需判斷既有骨料邊界輪廓與新骨料外接圓是否重疊，即可理解為多邊形與圓的侵入關系，此外，骨料是按照從大到小進行投放的，避免了由于外接圓與骨料之間存在空隙導致的骨料含量偏低的問題。 在判斷圓與多邊形的位置關系時，可分為控制點在圓內部、控制點連線與圓相交和圓在多邊形內部3 種情況，如圖3 所示。 對于第1 種情況，直接判斷骨料控制點是否在外接圓內部即可；對于第2 種情況，判斷外接圓圓心與相鄰控制點直線方程的距離是否小于半徑且垂點是否落在控制點形成的線段上；對于第3 種情況，判斷通過外接圓圓心與各輪廓控制點的夾角之和是否等于360°。該算法中，3 種判斷是按順序進行的，一旦前者條件不滿足，后續條件無需計算直接進入下一個骨料的判斷。

與傳統算法相比，由于其不需要檢測特殊相交情況，即新投放骨料的頂點不在既有骨料內部，但兩者骨料邊相交的情況[9]；因此大幅減少了判斷變量的計算次數。 不同侵入判斷準則的對比如表1 所示，其中n 為單個骨料的邊數。

圖3 外接圓與多邊形侵入判斷Fig.3 Polygons-circumcircle conflict and overlap criteria

表1 侵入判斷準則對比Tab.1 Comparison of intrusion criteria

混凝土的粗骨料按粒徑和分為小石（5～20 mm）、中石（20～40 mm）、大石（40～80 mm）以及特大石（80～150 mm），按包含粒徑范圍分為一、二、三、四級配。采用上述方法分別生成二、三、四級配的混凝土試塊，進行輪廓點隨機移動后，為使骨料之后能夠按照骨料級配進行隨機投放，需對骨料進行“骨料旋轉化”和“粒徑級配化”處理。 “骨料旋轉化”即將選定的骨料繞其外接圓中心進行隨機旋轉

式中：x0，y0為旋轉前的控制點坐標；x1，y1為旋轉后的控制點坐標；ran1，ran2 為0 到1 的隨機數。

“粒徑級配化”是根據骨料投放的級配范圍，在范圍內對骨料進行隨機擴放，生成滿足級配要求的骨料：

式中：x1，y1為擴放后控制點坐標；D1，D2分別為該級配范圍內的最大和最小粒徑，ran3 是0 到1 的隨機數。

投放前，利用瓦爾文公式計算各級配所占區域的面積，瓦爾文公式[22]如下

式中：Pc為粒徑D 小于D0的概率；D0為所計算概率范圍內的最大粒徑值；Dmax為最大粒徑；S 為投放區域面積；Si為第i 級配的面積；Pci1，Pci2分別為第i 級配下粒徑的上下限。 在生成級配粒徑范圍內隨機生成骨料直至達到骨料面積，確定各骨料外接圓后從大到小進行排序。 利用上述算法根據骨料級配從大到小逐級進行骨料投放。生成的試件如圖4所示， 其中二級配骨料模型尺寸為150 mm×150 mm，骨料含量達55.42%；三級配骨料模型尺寸為300 mm×300 mm，骨料含量達62.17%，四級配骨料模型尺寸為450 mm×450 mm， 骨料含量達64.00%。

圖4 隨機骨料投放樣例Fig.4 Random aggregate placement sample

2 三點彎曲梁數值試驗

2.1 模型建立

為研究骨料形狀對裂縫路徑擴展及宏觀力學性能的影響，選取了不同橢圓度的骨料，即骨料等效橢圓長軸與短軸之比， 分別生成3 組試件， 如圖5 所示， 骨料含量均在42%左右， 橢圓度分別為1.63，1.98 和2.42。 在此基礎上進行無缺口三點彎曲梁試驗，以便觀察裂縫的形成過程以及骨料形狀的影響，試件尺寸取400 mm×100 mm，由于裂縫多在梁中部發生，為提高模型的計算效率，將中間100 mm 設置為非均勻模擬區，其余區域設置為均質材料，梁計算簡圖如圖5 所示。

圖5 三點彎曲梁細觀模型Fig.5 Meso-scale model of a three-point curved beam

2.2 混凝土細觀本構

采用ABAQUS 中損傷塑性模型（concrete damage plastic model）描述混凝土各相材料的斷裂行為，該模型可通過各相同性彈性損傷結合各相同性拉伸和壓縮塑性理論來表征混凝土的非彈性行為。 在混凝土試件的數值計算中，若本構模型采用應力-應變關系，計算結果一定程度上受計算網格大小的影響，引起數值結果的網格依賴性[23]。 因此，材料的開裂行為采用Petersson[24]提出的雙線性軟化曲線，裂縫面上傳遞的拉應力大小決定于它的張開度ω，即σ=σ（ω），并通過控制材料的斷裂能以保證裂縫開展時所需的能量是唯一的。只需抗拉強度ft和斷裂能Gf兩個參數即可確定材料的軟化關系，對于參數取值，Petersson 建議采用σs=ft/3，ωs=0.8Gf/ft和ω0=3.6Gf/ft。 材料的壓縮行為采用雙折線損傷變量演化模型[25]，根據文獻中的定義，計算中λ取0.1，ζ 取10，骨料，砂漿和界面的η 分別取5，4 和4，并且參考文獻中對材料參數的取值，并通過數值試驗進行參數反演，得到的各相材料力學參數取值見表2。

表2 各相材料力學參數[8-9]Tab.2 Material mechanical parameters of each phase

2.3 模型有效性驗證

選取petersson 所做的三點缺口彎曲梁試驗進行對比試驗。 梁的幾何尺寸為2 000 mm×200 mm×50 m，缺口尺寸為40 mm×100 mm。采用上述提出的骨料生成方法生成3 組試件SJ1，SJ2，SJ3，骨料粒徑范圍為5～40 mm。 圖6 所示為模擬的3 組試件試驗的荷載-撓度曲線， 可知模擬結果與試驗結果符合良好。 數值模擬結果的曲線峰值與試驗測試的極限荷載基本一致。 然而，由于殘余應力的積累，可以觀察到軟化曲線末端的模擬和試驗之間的有所差異。 模擬結果和試驗結果的一致性表明，所提出的基于真實骨料的細觀數值模型和所采用的非線性本構模型可以用來模擬非均質混凝土的斷裂。

圖6 荷載-撓度曲線Fig.6 Load-deflection curve

2.3 數值結果與討論

以GL1 試件為例，分析荷載-撓度曲線與裂縫發展過程，如圖7（a）所示，在彈性階段荷載撓度基本按線性比例變化，且各組結果基本重合，在這個過程中試件的應變分布較為均勻；隨后在試件底部附近出現了彌散裂紋，應變分布不再均勻并向中部集中，由于撓度的增長大于荷載的增長，荷載-撓度曲線變凸，非線性特征逐漸明顯；在圖7（a）中峰值點前后f≥0.9 fpeak范圍內，彌散裂紋逐漸轉化為局部集中裂紋，之后隨著撓度的不斷增大，局部化效應更加明顯，裂紋不斷向上擴展貫通，最終形成宏觀裂縫并導致試件失穩破壞。

圖7 無缺口三點彎曲梁模擬結果Fig.7 Simulation results of three-point bending beam without notch

根據數值試驗結果得到荷載-撓度曲線如圖7（b）所示，3 組試件的曲線彈性段基本一致，非線性段各組試件差異逐漸凸顯。 其中，混凝土內部骨料橢圓度越小，曲線的荷載峰值越大，但在軟化段荷載值下降更快，即骨料的橢圓度與極限強度成反相關，與殘余強度成正相關。 選取梁中部的最大主應變大于2×10-6的應變作為可見裂縫，對各組數據進行歸一化處理并進行分析，以便觀察骨料形狀對裂縫走向的影響。 圖8 所示為梁中部撓度分別為0.03，0.04，0.05 mm 和0.06 mm 時3 組試件的最大主應變場。 GL1 試件微裂縫萌生后裂縫較均勻開展，并逐漸向受荷點集中。 這是由于骨料的橢圓度更小，骨料各邊的方向及邊長長度分布概率相近，裂縫能繞過骨料按原路徑發展，最終裂縫路徑的方向指向加載點；GL2 試件和GL3 試件初期微裂紋萌生與GL1 試件類似，但由于骨料的橢圓度更大，裂縫擴展時，骨料幾何較長的邊對裂縫走向有較強的導向和阻裂效應，特別是對于粒徑較大的骨料，長邊效應更為明顯，GL2 試件和GL3 試件的最終裂縫路徑偏離了加載點，進而導致曲線的軟化性段下降速率變慢。 據上述分析可知，在相同荷載條件下，混凝土內部的骨料橢圓度越小，對裂縫的導向和阻裂效應越弱，反之越強。

圖8 梁中部最大主應變場（歸一化）及最終宏觀裂縫Fig.8 Maximum principal strain and ultimate macroscopic crack in the middle of the beam

3 結論

提出一種基于真實骨料形態的二維混凝土細觀建模方法。 利用圖像處理獲取真實骨料的幾何輪廓，通過骨料輪廓點在平面中的隨機移動，形成真實骨料的隨機生長。 建立“先投放多邊形-后投放外接圓”的骨料侵入判別方法。通過三點彎曲梁數值模擬，分析骨料橢圓度對裂縫路徑擴展和宏觀性能的影響，得到如下結論：

1） 本文建模方法相較于傳統的細觀混凝土建模方法，生成的骨料形狀源于真實骨料，形態上更接近真實骨料，能夠更精確模擬裂縫的擴展。

2） 針對骨料形狀的復雜性，提出“先投放多邊形-后投放外接圓”的骨料侵入判別方法，該方法簡化了復雜多邊形侵入判別的過程。

3） 當梁受彎后，在梁跨中底部附近出現了彌散裂紋，隨著撓度的增長，彌散裂紋逐漸轉化為局部集中裂紋，緊接著局部化效應更加明顯，裂紋不斷向上擴展貫通，最終形成宏觀裂縫并導致試件失穩破壞。

4） 試件中骨料形狀不同導致裂縫和宏觀強度也不同。 骨料橢圓度越大，梁的抗彎極限強度越小，殘余強度越大，對裂縫走向的導向和阻裂效應越明顯，大粒徑骨料的長邊效應更顯著。