兩類具有2-等變性的Liénard系統的全局動力學

陳和柏 陽豪 張瑞

(中南大學 數學與統計學院，長沙,410083)

1 背景介紹和主要結果

在1900年,著名數學家Hilbert在世界數學家大會上提出了著名的Hilbert 23個問題[16].直到現在，這些問題還在引領世界數學發展,其中還有多個無法解決.關于Hilbert第16問題的第二部分,講述的是

(1.1)

的最大極限環數,以及它們的相對位置,其中P,Q是次數不高于n次的多項式.當n=1時, 系統(1.1)無極限環.然而,即使是n=2的情形,我們也僅知道其最大極限環數大于等于4.著名數學家Smale在[25]中寫到“I spent much time on the following special case of problem 7, corresponding to Liénard’s equation”,即花費許多時間來解決該猜想,但也毫無頭緒, 并在[25, 26]中建議先解決限制在Liénard系統上的Hilbert第16問題.Lins,Melo和Pugh在[20]中研究了如下的Liénard系統

(1.2)

和

其中F(x)是關于x的五次多項式，ε是充分小的正數，對Lins-Melo-Pugh猜想給出了肯定回答.進一步可以問，對n≥6的情形,系統(1.2)的最大極限環是關于n的一個什么函數關系.關于該猜想的更詳細的結果和發展，可參見[19].

上面講述的均是g(x)=x的結果，還有更多關于多項式Liénard系統的結果，可參見[4, 5, 23].現在介紹g(x)為二次及更高次多項式的結果.當g(x)為二次多項式且f(x)為一次多項式時，1988年Coppel[8]給出了其極限環的唯一性；1992年Perko[24]給出了其完整的分岔圖和全局相圖；2013年Gasull等[14]發展了[15]中的方法給出了Perko對其同宿分岔曲線性質的猜想.當g(x)為三次多項式且f(x)為一次多項式時，1990年Dumortier和Rousseau[13]給出了完整的分岔圖和全局相圖(除了焦點情形中圍繞三個奇點的極限環的唯一性是猜測外)；1996年Dumortier和李承治[11]發展了Coppel方法證明圍繞三個奇點的極限環的唯一性問題，即解決了Dumortier本人和Rousseau的猜想.當g(x)為二次多項式且f(x)為二次多項式時，1997年Dumortier和李承治[12]完整地給出了其分岔圖和全局相圖.到目前為止，只有這幾類多項式Liénard系統被完整研究，而且它們的極限環數目至多為1.

(1.3)

其中(a,b,c)∈2×[0,+∞)，其有限遠奇點以及極限環的個數問題已經在[6]中給出，但是該系統在Poincaré圓盤上的全局相圖還沒有完整給出.在本文中，我們進一步給出完整的分岔圖以及在Poincaré圓盤上的全局相圖.

定理1.1系統(1.3)的分岔圖由以下分岔曲面構成

(a)超臨界Hopf分岔曲面：H1={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a=0,b>0}；

(b)次臨界Hopf分岔曲面：H2={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a=0,b<0}；

(c)二重環分岔曲面：DL={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|b=η(a,c)}；

(d)Bautin分岔曲線：O={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a=b=0},

并且η(a,c)是a的減函數.分岔曲面在c=c0≥0時的切面以及在Poincaré圓盤上的全局相圖如圖1所示，其中

圖1 系統(1.3)的分岔圖的切片c=c0≥0和在Poincaré圓盤上的全局相圖

I={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a>0,b>η(a)},

II={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a>0,b<η(a)},

III={(a,b,c)∈2×[0,+∞)|a<0}.

(1.4)

其中(a,b,c)∈2×+,我們有如下的定理.

定理1.2系統(1.4)的分岔圖由下列分岔曲面構成

(a)廣義超臨界Hopf分岔曲面∶H1={(a,b,c)∈2×+|a=0,b≥0};

(b)廣義次臨界Hopf分岔曲面∶H2={(a,b,c)∈2×+|a=0,b<0};

圖2 系統(1.4)的分岔圖的切片c=c0≥0和在Poincaré圓盤上的全局相圖

I={(a,b,c)∈2×+|a>0,b>φ(a)},

II={(a,b,c)∈2×+|a>0,b<φ(a)},

III={(a,b,c)∈2×+|a<0}.

本文第二部分回顧一些關于Liénard系統唯二性的結果以及多項式Liénard系統(1.3)和(1.4)在Poincaré圓盤上無窮遠處的軌道性質，第三部分給出主要定理結果證明，第四部分給出數值結果.

2 預備知識

為了證明主要結果，在本節中，我們引入一些已有的結果.考慮如下的廣義Liénard系統

(2.1)

定理2.1[6, Theorem 1.1] 針對系統(2.1)，假設下列條件成立:

(C1)F(x)在某區間(-d,d)內Lipschitz連續，且F(-x)=-F(x);

(C2)當x=β1,β2時,F(x)=0;當x∈(β1,β2)時,F(x)<0;當x∈(0,β1)∪(β2,d)時,F(x)>0，且當x∈(β1,α1)∪(α1，d)時,F(x)∈C1,當x∈(β1,α1)時，F′(x)≤0，其中0<β1<α1<β2

(C3)g(x)∶=g0(x)+csgn(x),其中c≥0,g0在(-d,d)內Lipschitz連續且對任意x≠0,xg0(x)>0;

2.5.3 包封率和載藥量 精密量取白藜蘆醇DPPC脂質體粉霧劑10 mg，純化水復溶，加入預先溶脹的葡聚糖凝膠G-25色譜柱中分離，頂部加純化水洗脫，收集洗脫液，每管2 mL，分別加入無水乙醇定容至10 mL，參考“2.1.2”項色譜條件測定。計算包封率、載藥量。

(C4)f(x)或者(F(x)-F(α1))f(x)g(x)在x∈(α1,d)上單調不減.

則系統(2.1)至多有兩個極限環，且當極限環存在時，或者有一個穩定極限環和一個不穩定極限環，或者僅有一個半穩定極限環.

定理2.3[10] 考慮多項式Liénard系統

(2.2)

其中m

圖3 系統(2.2)在m為奇數，n為偶數，ε=1時的無窮遠處的性質

3 主要結果的證明

3.1 定理1.1的證明

我們只需確定系統(1.3)在無窮遠處的軌線性態即可.為此，對系統(1.3)做如下變換

x′=51/3x,y′=52/3(y-51/3bx3-5x5),t′=5-1/3t.

為了敘述方便，仍用(x,y,t)代替(x′,y′,t′).此時系統(1.3)可改寫成

(3.1)

系統(3.1)滿足定理2.3的條件，它與系統(2.2)在無窮遠處的軌道性質是拓撲等價的.實際上，系統(3.1)在x軸上的無窮遠奇點為結點，在y軸上的無窮遠奇點為鞍點.由于在區域I∪H1內，系統(3.1)沒有極限環，唯一奇點是穩定的，無窮遠處軌線是發散的，故連接無窮遠處的所有軌線的ω極限集為唯一奇點O，因此連接無窮遠處的所有軌線也連接O；在區域II內，系統(3.1)有唯一奇點O，O是穩定的，且有一個不穩定極限環Γ1和一個穩定極限環Γ2，Γ2環繞Γ1，因此連接無窮遠點的所有軌線的ω極限集為Γ2；在區域III∪H2內，系統(3.1)有唯一穩定的極限環，顯然連接無窮遠點的所有軌線的ω極限集為此唯一極限環；在DL上，系統(3.1)有一半穩定的極限環，同樣地，連接無窮遠點的所有軌線的ω極限集是這一半穩定極限環.由于系統(3.1)無窮遠奇點無分岔發生，分岔圖直接可由[6]直接得到，定理得證.

3.2 定理1.2的證明

為了證明定理1.2，首先給出如下幾個引理.

引理3.1當a>0或者a=0且b≥0時，系統(1.4)的原點O是一個匯;當a<0或者a=0且b<0時，O是一個源.系統(1.4)在無窮遠處的軌線性質如圖3所示.

證明顯然

Σ={(x,y)∈2|x=0}

是系統(1.4)的不連續線.此外，Σ將x-y平面劃分成了3個子區域Σ-,Σ,Σ+,其中

Σ-={(x,y)∈2|x<0}, Σ+={(x,y)∈2|x>0}.

因此系統(1.4)可以改寫成

(3.2)

運用Filippov方法[1, 18]，考慮在區域Σ-和Σ+上的標準解以及不連續線Σ上的滑移解.記

σ(x,y)=<(Hx,Hy),(y-F(x),-x+c)>|x→0-·<(Hx,Hy),(y-F(x),-x-c)>|x→0+,

這里<·,·>代表內積，H(x,y)=x.顯然有σ(x,y)=y2,且穿越集Σc和滑移集Σs分別為

Σc={(x,y)2|x=0,y≠0}, Σs={(x,y)2|x=0,y=0}.

同時，在(0,0)處，內積

<(Hx,Hy),(y-F(x),-x+c)-(y-F(x),-x-c)>=0，

也就是說(0,0)是系統(1.4)的奇異滑點.

由于O∈Σ,則在O處的Jacobi矩陣不存在.設

(3.2)

則很清楚地得到

(3.3)

當|x|充分小時，dE/dt的符號完全由a,b的符號決定，即

現在，我們有以下斷言：系統(1.4)的從點(0,y0)出發的流φ(t;0,(0,y0))(這里y0>0且充分小)經過有限時間t0會再次回到y軸正半軸，即φ(t0;0,(0,y0))=(0,y1)(這里y1>0且充分小)，或者直接連接O.

事實上，考慮Hamilton系統

(3.4)

設系統(3.4)過(0,y0)的解為ψ(t).顯然ψ(t)為閉軌，周期為T.根據解對參數的連續依賴性，斷言顯然成立.此外，關于y1與y0的大小關系，我們有

因此，當a>0或者a=0且b≥0時，y1y0,引理第一部分得證.第二部分同定理1.1的證明，根據定理2.3的條件易證.

假設系統(1.4)過初始點(0,y0)(y0>0)的軌線為φ(t;0,(0,y0)),經過時間t0,軌線返回y軸正半軸且交于點(0,y1)，則

即軌線朝著靠近O(0,0)的方向偏移，因此系統(1.4)在此參數條件下不存在閉軌線.

引理3.3若a<0，b∈或者a=0，b<0,則系統(1.4)有唯一的極限環，且是穩定的.

證明先證極限環的存在性.由引理3.1可知，原點在此參數情況下是不穩定的.由無窮遠奇點是發散的和Poincare-Bendixson環域定理可知，此時系統(1.4)必存在穩定極限環.我們記最靠近原點O的極限環為Γ1.

再考慮唯一性.當a<0，b∈或者a=0，b<0時，F(x)=ax+bx3+x5僅有一個正實根當x∈(0,β2)時，由引理3.1可知

因此極限環Γ1不可能位于帶狀區域|x|≤β2的內部，從而它一定會環繞包圍(-β2,0)，(β2,0).

假設除Γ1以外，系統(1.4)還存在其它極限環Γ2,則必有Γ2環繞Γ1.如圖4所示，其中A1，D1是Γ1與x=-β2的交點，A2，D2是Γ2與x=-β2的交點，B1，C1是Γ1與x=β2的交點，B2，C2是Γ2與x=β2的交點,E2，F2，G2，H2分別是與A1，B1，C1，D1有著相同縱坐標且位于Γ2上的點.

圖4 當a<0，b∈或者a=0，b<0時，系統(1.4)的極限環

顯然

從而

因此

(3.4)

同理可得

(3.5)

令yB1=yF2=y1,yC1=yG2=y2,則當y1≥y≥y2時，x2(y)>x1(y).由F(x)的性質，在x∈(-∞,-β2)∪(β2,∞),F(x)是單調遞增的，故F(x1(y))

即

(3.6)

同理可得

(3.7)

又因為x>|β2|時，g(x)F(x)>0, 故我們有

(3.8)

由式(3.4)-(3.8)可得

證明此時，F(x)=ax+bx3+x5,g0(x)=x,定理2.1中條件(C1)和條件(C3)成立.在這種條件下，F(x)存在兩個正實根β1,β2,其中

同時，f(x)=F′(x)=a+3bx2+5x4也存在兩個正實根

另一方面，當x≥α1=x2時，

(a)系統(1.4)恰有一個極限環且是半穩定的當且僅當b=φ(a,c);

(b)系統(1.4)有兩個極限環且外環是穩定的，內環是不穩定的當且僅當b<φ(a,c);

(c)系統(1.4)沒有極限環當且僅當b>φ(a,c).

結合上述引理，定理1.2得證.

4 數值仿真與討論

當(a,b,c)=(1,-4,1)∈II時，由定理1.1和1.2，系統(1.3)和(1.4)皆有兩個極限環.通過數值仿真，系統(1.3)和(1.4)的確恰有兩個極限環，如圖5所示.這驗證了我們的理論結果.此外，在相同的參數條件下，我們發現光滑系統(1.3)穩定極限環的振幅大于非光滑系統(1.4)穩定極限環的振幅，光滑系統(1.3)不穩定極限環的振幅確小于非光滑系統(1.4)不穩定極限環的振幅.

圖5 系統(1.3)和系統(1.4)在II上的數值相圖

當a=c=1,b≈-2.0868時,通過數值仿真，系統(1.3)恰有一個半穩定極限環；當a=c=1,b≈-2.144545時，通過數值仿真，系統(1.4)恰有一個半穩定極限環.由此可知，系統(1.3)和(1.4)的半穩定分岔曲面的函數表達式不一樣，這也說明了分岔圖是不一樣的.

通過數值仿真，我們可以進一步得到φ(a,c)<η(a,c),即系統(1.4)的二重環分岔曲面位于系統(1.3)的二重環分岔曲面的下方.

圖6 系統(1.3)和系統(1.4)在各自半穩定分岔曲面上的數值相圖