放寬靜穩(wěn)定度飛機時間延遲穩(wěn)定邊界

陳曉明，孫紹山，陶呈綱，唐勇

1. 北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100083

2. 中國航空工業(yè)成都飛機設計研究所 殲擊機綜合仿真航空科技重點實驗室，成都 610091

放寬靜穩(wěn)定度設計是通過配置重心與焦點的相對位置以降低配平阻力和改善飛機機動性能的一種主動控制技術[1]?，F(xiàn)代戰(zhàn)機采用放寬靜穩(wěn)定度設計方案能夠提高其最大可用過載、大迎角機動性及過失速機動能力等關鍵性能[2]。

飛機設計初步階段的操穩(wěn)評估是影響整個布局方案與飛行控制安全的關鍵環(huán)節(jié)[3]，其傳統(tǒng)作法主要是依據(jù)基于飛機本體動力學方程的靜態(tài)評估準則(包括靜穩(wěn)定導數(shù)Cmα、倍幅時間T2、最大低頭力矩等)進行逐項考察[4]。但在工程實踐中，一方面這些準則的邊界往往來自于經(jīng)驗，易致使偏于保守的評估結果；另一方面，對于即便滿足靜態(tài)準則的布局設計，在依據(jù)飛行品質的要求設計控制增穩(wěn)系統(tǒng)后，仍可能出現(xiàn)因電傳飛控系統(tǒng)整體時延帶來的復雜動力學特性[5](如分支與極限環(huán)等)所導致的控制震蕩乃至發(fā)散不可控的情況。因此，一方面，在給定戰(zhàn)機布局條件下，對其閉環(huán)控制最大允許時間延遲邊界的確定，將有助于指導電傳飛控系統(tǒng)的后續(xù)詳細設計；而另一方面，隨著電傳飛控技術的持續(xù)發(fā)展，其固有時間延遲也在逐步減小，這對設計更為先進、本體更為靜不穩(wěn)定的飛機布局是有利的，在給定飛控系統(tǒng)最小可達時延能力時，確定其所能支撐的最大靜不穩(wěn)定布局邊界，亦將有助于初步設計階段布局方案的高效迭代。

針對戰(zhàn)機縱向靜穩(wěn)定度所對應飛控系統(tǒng)時間延遲允許邊界的確定問題，以縱向短周期方程為例，首先分析了靜穩(wěn)定度與短周期方程中各參數(shù)的關系，隨后基于飛行品質要求設計縱向增穩(wěn)控制律，同時引入等效輸入時間延遲建立縱向閉環(huán)特征方程，利用根軌跡趨勢理論并結合數(shù)值計算方法求解了不同靜穩(wěn)定度下系統(tǒng)的時間延遲穩(wěn)定邊界，最后分析了短周期方程中的動導不確定性及舵效不確定性對該邊界的影響。該時間延遲邊界求解方法，同樣適用于對戰(zhàn)機橫航向的最大允許時間延遲的確定，這對于在初步設計階段的飛機布局設計和飛控系統(tǒng)時間延遲指標確定，具有一定的工程指導意義。

1 戰(zhàn)斗機電傳飛控系統(tǒng)的時間延遲

戰(zhàn)斗機電傳飛控系統(tǒng)的主要構成如圖1所示，本節(jié)將描述在工程實踐中各子環(huán)節(jié)具有的時延情況。

1) 傳感器。用于飛行控制系統(tǒng)的信號主要包括大氣數(shù)據(jù)(氣流角、動靜壓等)、慣性運動數(shù)據(jù)(三軸速率、三軸過載等)，當前所采用的嵌入式大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)[6]和光學陀螺慣導方案，相比于原機械風標和機械陀螺，信號采集的穩(wěn)定性和準確性都大幅提升，帶來的信號測量時延極小，一般不超過2個測量周期。

2) 作動器。目前作動器的驅動方式較多，包括傳統(tǒng)的液壓、電動以及日漸成熟的電動靜液作動器(Electro-Hydrostatic Actuator, EHA)[7]等，從目前的工程實踐來看，這一環(huán)節(jié)的時間延遲是顯著的，一般來說在50～100 ms量級。

3) 總線傳輸。飛控系統(tǒng)總線傳輸?shù)臅r間延遲與飛行控制周期相關。參照MIL-STD-1553標準[8]，以15 ms周期為例，其對應的時延最大約22.5 ms，隨著未來飛控系統(tǒng)總線傳輸技術向光傳方案方向的發(fā)展[9]，這部分時延將進一步降低。

4) 飛行員操縱時延。飛行員從接收到狀態(tài)信息反饋到做出操縱的時間延遲主要來自飛行員的反應時間，一般在200 ms左右[10]，加之飛行員指令輸入單元(Pilot Input Unit, PIU)的40 ms左右時延，總時延約在240 ms量級。盡管飛行員操縱時延較大，但其輸入是控制增穩(wěn)系統(tǒng)(Control Augmentation System, CAS)的外部執(zhí)行指令，因此在考慮CAS穩(wěn)定性的時候，并不將該時延納入系統(tǒng)時延。這一部分操縱時延主要涉及的問題是飛行員誘發(fā)震蕩(Pilot Induced Oscillations, PIO)[11]現(xiàn)象。

圖1 飛行控制系統(tǒng)的主要構成

總體來說，主要考慮飛控系統(tǒng)中傳感器、作動器及總線傳輸中存在的時間延遲，當前飛控系統(tǒng)總體時延大約在120 ms，將統(tǒng)一考慮為等效輸入時延來探討對閉環(huán)系統(tǒng)的影響。

2 靜穩(wěn)定度與短周期方程關系

以縱向短周期模態(tài)為例，分析靜穩(wěn)定度與短周期方程參數(shù)間的關系。靜穩(wěn)定度定義為

Kn=hn-h

(1)

式中：hn為中性點位置；h為重心位置。在低中速飛行的常規(guī)迎角區(qū)域，hn基本不變[12]。式(1)表明，靜穩(wěn)定度與重心位置基本線性相關，在飛機構型不變的情況下，通過配置重心位置即可實現(xiàn)對其靜穩(wěn)定度的設計?？v向靜穩(wěn)定系數(shù)為

Cmα=CLα(h-hn)=-CLαKn

(2)

式中：CLα為升力迎角系數(shù)?？v向短周期方程可以表達為[13]

(3)

式中:各參數(shù)具體表達式為

(4)

以上各項系數(shù)中，配平阻力系數(shù)隨著靜穩(wěn)定度的放寬而減?。欢婷娓┭隽叵禂?shù)因靜穩(wěn)定度放寬時導致舵面力臂縮短而減??；其余參數(shù)隨靜穩(wěn)定度放寬時無明顯變化。至此，分析了短周期方程中各參數(shù)隨靜穩(wěn)定度Kn的變化關系。

以F-16飛機為對象[14]，通過迎角α、油門位置cτ及升降舵偏度δe對飛機進行配平，在狀態(tài)點H=100 m,Ma=0.46處，得到飛機配平迎角及油門位置隨靜穩(wěn)定度變化曲線如圖2所示?？梢钥闯?，隨著靜穩(wěn)定度的放寬，飛機所需的配平迎角將減小，配平阻力將減小，相應的油門位置cτ將減小。

短周期方程A、B矩陣中各參數(shù)隨靜穩(wěn)定度變化曲線如圖3所示，A11代表A矩陣中第一行第一列元素，其他類似?？梢钥吹剑S著靜穩(wěn)定度的放寬，A21項將產(chǎn)生較大的變化，該變化主要來自于Cmα隨靜穩(wěn)定度的變化；控制矩陣B中的B21項也有明顯變化，該變化主要來自于重心后移導致的舵面力臂減小從而引起舵面俯仰力矩系數(shù)Cmδe的降低。A、B陣中其他參數(shù)隨靜穩(wěn)定度的變化不明顯。

圖2 配平迎角及油門位置隨靜穩(wěn)定度變化曲線

圖3 短周期方程系數(shù)隨靜穩(wěn)定度變化曲線

短周期方程開環(huán)根軌跡隨靜穩(wěn)定度的變化曲線如圖4所示。可以看出，隨著靜穩(wěn)定度的放寬，飛機在該處的開環(huán)根軌跡朝著右半平面的方向移動，其自然模態(tài)的頻率和阻尼比逐步降低，即飛機的穩(wěn)定性逐步降低。

圖4 開環(huán)根軌跡隨靜穩(wěn)定度變化曲線

以上研究分析了縱向短周期方程的開環(huán)特性隨靜穩(wěn)定度的變化關系。為研究閉環(huán)系統(tǒng)的延遲穩(wěn)定邊界問題，依據(jù)飛行品質的要求，采用極點配置方法設計增穩(wěn)反饋控制律[15]，控制律設計為u=Kx，則得到其閉環(huán)系統(tǒng)方程為

(5)

第1節(jié)中指出，現(xiàn)有飛控系統(tǒng)架構下，閉環(huán)系統(tǒng)的延遲主要考慮為等效輸入延遲，引入輸入時延τ后對式(5)作Laplace變換，閉環(huán)控制系統(tǒng)變?yōu)?/p>

sx=Ax+BKxexp(-τs)

(6)

det(sI-A-BKexp(-τs))=0

(7)

3 時間延遲穩(wěn)定邊界

針對式(7)所代表的特征方程，研究的思路為：通過求解出其特征根穿越虛軸時對應的時間延遲和穿越虛軸的方向，來研究閉環(huán)特征方程隨時間延遲變化所引起的穩(wěn)定性變化趨勢。代入短周期方程式(3)展開后可以得到特征方程為

s2-tr(A)s-tr(BK)sexp(-τs)+

ηexp(-τs)+det(A)=0

(8)

式中：tr(·)代表矩陣的跡；det(A)為A的行列式；η=A11BK22+A22BK11-A12BK21-A21BK12。將閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程重新表達為

(9)

做完放療，醫(yī)生確定可以正常去上班，可單位的領導卻讓他在家多休息一段時間。因為周啟明所在辦公室里有個孕婦，擔心周啟明身上的輻射。

(10)

其中，

(11)

相應地，可以得到

(12)

將式(9)乘以(1+jTck)n，并代入式(12)可得

h(s,Tck)=(1+jTck)nCE(s,τck)=

(13)

由于虛軸上，Pl(sγ)僅與穿越頻率ωck相關，則式(13)的解僅與ωck、Tck相關，按照虛部和實部分別整理，得到

h(s,Tck)|s=jωck=hR(ωck,Tck)+jhI(ωck,Tck)

(14)

當式(14)為零成立時，其虛部和實部均為零，即

(15)

根據(jù)文獻[18]，式(15)成立的必要條件為其對應的sylvester矩陣的行列式為零，即式(20)成立。當式(20)成立時，以下條件中至少有一項成立：① 存在相應的(ωck,Tck)，使得式(15)成立；②hR、hI的最高次系數(shù)an(ω)=bn(ω)=0；③hR的系數(shù)ai(ωck)=0；④hI的系數(shù)bi(ωck)=0。

若式(20)無解，則說明在所有的時間延遲條件下，時延閉環(huán)系統(tǒng)均不存在穩(wěn)定性的變化，即保持穩(wěn)定或不穩(wěn)定的狀態(tài)。若式(20)存在解，通過排除與檢查條件②③④則可以在條件①成立的前提下，求出所有的ωck及與其相對應的Tck的值，且ωck與Tck為一一對應關系，對應的時間延遲量通過式(11)給出。

至此，得到所有虛軸穿越處的頻率ωck及其對應的Tck，但此處對應的時間延遲τck為周期解，即其個數(shù)為無限個。判斷τck對應的虛軸穿越引起的系統(tǒng)穩(wěn)定性變化，將是求取時延穩(wěn)定邊界需要解決的問題。

方程特征根在虛軸穿越處對時延τ的導數(shù)定義為

(16)

根據(jù)隱函數(shù)的求導原則，并結合特征方程式(9)可以得到

(17)

對穩(wěn)定性的分析，關心的是根軌跡穿越是從C+→C-，即從右半平面到左半平面的穩(wěn)定穿越；或從C-→C+的不穩(wěn)定穿越。因此研究τck變化時，方程特征根s的實部的變化趨勢，定義根軌跡趨勢(Root Tendency, RT)為[19]

(18)

結合式(17)得到

(19)

(20)

結合式(12)及在穿越處特征根為純虛數(shù)的特點，可看出根軌跡趨勢的正負與時延τck無關，即在穿越點處的RT僅與ωck相關[19]。穿越處對應的時延τck可通過式(11)給出，通過分析在每個時延區(qū)間對應的不穩(wěn)定根個數(shù)即可給出閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定時延區(qū)間，具體細節(jié)將在第4節(jié)的算例中給出。值得一提的是，隨著時延的增加，特征方程式(9)的根個數(shù)將增多，其動態(tài)特性將變得更加復雜，這點將在后面的根軌跡圖中得到展現(xiàn)。

4 時間延遲穩(wěn)定邊界算例與應用

現(xiàn)以F-16飛機的短周期方程為例，在不同靜穩(wěn)定度情況下，求解其時間延遲穩(wěn)定邊界，求得的關系也可以用于在飛控系統(tǒng)時間延遲已知的條件下，確定可放寬靜穩(wěn)定度的邊界。

4.1 靜穩(wěn)定度與時延邊界的關系

以前文提到的F-16在馬赫數(shù)Ma=0.46、高度H=100 m、配平迎角α0=2.08°處的狀態(tài)為例，其基本的重心位置為重心在焦點前方0.05c位置，即靜穩(wěn)定度為Kn=0.05，對應的短周期矩陣為

(21)

(22)

相應的式(14)展開為

h(s,Tck)=CE(s,τck)(1+jTck)=

[tr(A)ωck-tr(BK)ωck]·T+

[-tr(A)ωck-tr(BK)ωck]

(23)

其對應的sylvester矩陣為

RT(hR,hI)=

(24)

由式(24)可以得到

說明該閉環(huán)系統(tǒng)僅存在一個穿越頻率，即只存在一個根軌跡趨勢值。

相應的延遲為

τc1=0.280 3+0.398 1pπp=0,1,…,∞

相應的根軌跡趨勢用到的參數(shù)為

(25)

在該處根軌跡趨勢為RT=+1，表明該穿越頻率ωc1對應的穿越為從C-→C+的不穩(wěn)定穿越，根據(jù)時延區(qū)間與根軌跡趨勢關系得到的分段時間延遲區(qū)間的穩(wěn)定性情況如表1所示，從表中可以看出，僅在τ∈[0,0.280 3]s區(qū)間內，該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即該靜穩(wěn)定度條件下，其閉環(huán)時間延遲穩(wěn)定邊界為τ=0.280 3s。

表1 分段時延區(qū)間穩(wěn)定性

改變飛機的靜穩(wěn)定度，按照此方法可以求出Kn在一定范圍內變化時所對應的時間延遲邊界，如圖5所示。圖中標注了兩條邊界，左邊一條為Kn=0時對應的時間延遲邊界值，針對算例中的飛機，其值τ=0.260 3s，該值為保證飛機可控時，放寬飛機到靜不穩(wěn)定條件下，飛控系統(tǒng)可接受的最大時間延遲。值得一提的是，在電傳飛控增穩(wěn)系統(tǒng)出現(xiàn)之前，考慮到飛行員的操縱負擔與數(shù)百毫秒量級的操縱延遲，當時戰(zhàn)斗機是不允許出現(xiàn)靜不穩(wěn)定布局的，該計算結果也對該現(xiàn)象提供了佐證。第二條邊界對應為當前的飛控系統(tǒng)的120 ms延遲，通過該值，可以確定該飛機在此狀態(tài)點處，目前可放寬的最大靜不穩(wěn)定度大約在25%。

圖5 時間延遲邊界隨靜穩(wěn)定度變化曲線

為了從根軌跡上直觀展示特征式(8)在該狀態(tài)點時，其特征根隨時間延遲的變化趨勢，并驗證上述方法計算結果的正確性。這里使用柯西多項式匹配尋根(Quasi-Polynomial mapping based Rootfinder, QPmR)函數(shù)求解特征多項式(9)在該狀態(tài)點處，不同時間延遲分別對應的多項式特征根。該函數(shù)通過在指定區(qū)間搜索迭代以給出式(9) 的數(shù)值結果，具體細節(jié)見文獻[20-21]。需要指出的是，不同于以QPmR為代表的解空間遍歷檢索的數(shù)值計算方法，文中的求解方法是基于理論方法結合數(shù)值計算給出的精確結果，結果更可靠且需要的數(shù)值計算量很小。

該狀態(tài)點上根軌跡隨時延的變化曲線如圖6 所示，圖中將實軸和虛軸進行了壓縮以便于觀察?？梢钥吹?，隨著延遲量的增加，特征方程的根將增多，從-3±3i出發(fā)的特征值首先穿越了虛軸，其穿越時對應的時間延遲與表1中所求的結果一致。

圖6 根軌跡隨時間延遲變化曲線

4.2 時延邊界對舵效的敏感性

考慮4.1節(jié)中的狀態(tài)點和相應的增益，現(xiàn)在將舵效進行±30%的拉偏，分析舵效的變化對時延邊界的影響，得到結果如圖7所示。

圖7 舵效拉偏系數(shù)對時延邊界的影響

舵效偏大時，將導致時延穩(wěn)定邊界減小，且在小范圍內，時延邊界與拉偏系數(shù)成準線性關系，舵效偏小時，時延邊界將增大，且其關系呈現(xiàn)出非線性的特征，即偏大的控制量將對時間延遲更為敏感，這對追求性能的戰(zhàn)斗機控制律而言將更加明顯。數(shù)值上，以原靜穩(wěn)定度為例，30%舵效拉偏將使邊界從0.280 3 s降低到0.231 2 s，變化幅度為-17.5%，-30%舵效拉偏將使邊界提高到0.366 1 s， 變化幅度為30.6%。

4.3 時延邊界對動導數(shù)的敏感性

動導數(shù)主要體現(xiàn)氣動的非定常特性，對飛機過失速區(qū)的運動特性有顯著影響，其數(shù)值雖然可以基于準定常的原則對其進行估計，但在初步設計階段，僅通過經(jīng)驗公式或簡單CFD計算等方式無法獲得足夠精度的動導數(shù)數(shù)據(jù)。因此需要研究時延邊界對動導數(shù)的敏感性問題。

由于動導數(shù)本身為小量，在靜穩(wěn)定度足夠的區(qū)域，其對時延邊界的影響幾乎可以忽略，只有在靜穩(wěn)定度本身很小的區(qū)域，其影響才得以體現(xiàn)，數(shù)值上，30%動導拉偏將使邊界從0.280 3 s提高到0.298 2 s， 變化幅度為6.4%，-30%動導數(shù)拉偏將使邊界降低到0.263 8 s，變化幅度為-5.9%。

4.4 不確定性因素的綜合影響

對靜穩(wěn)定度與時延穩(wěn)定邊界的影響，舵效不確定性相對動導數(shù)不確定性更為明顯。在實際設計中應綜合考慮兩者的影響，以前文所述狀態(tài)點為例，考慮兩者綜合影響的結果如圖9所示。此時，最小時延邊界變?yōu)榱?.181 7 s，變化幅度為-35.2%，因此，綜合不確定性因素分析是有必要的，但可能導致過于保守的結果，這需要設計人員的權衡。

圖8 動導數(shù)拉偏系數(shù)對時延邊界的影響

圖9 舵效及動導不確定性系數(shù)對時延邊界的綜合影響

5 結 論

1) 分析了目前電傳飛控系統(tǒng)中時間延遲的來源，指出在初步設計階段進行可控性評估時可以主要考慮輸入時間延遲，分析了靜穩(wěn)定度與短周期方程參數(shù)間的關系。

2) 根據(jù)時延系統(tǒng)根軌跡穿越虛軸時為純虛數(shù)的特點，并結合根軌跡穿越時其穿越方向僅與穿越頻率相關而與具體時延無關的特點，給出了基于短周期方程的閉環(huán)時延系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界的精確求解方法。

3) 針對短周期方程參數(shù)中的主要不確定性因素，分析了其對時延邊界的影響，研究表明舵效不確定性是影響時間延遲穩(wěn)定邊界主要因素，但在靜穩(wěn)定度較低甚至靜不穩(wěn)定的情況下，也應考慮到動導不確定性對結果的影響，實際設計中，應綜合兩者的影響進行設計。

4) 解決了在飛機設計初步階段，給定靜穩(wěn)定度布局情況下，基于可控性考慮的精確時間延遲穩(wěn)定邊界求解問題，該邊界對飛控系統(tǒng)的設計具有指導意義；另一方面，該求解方法同時提供了一種在飛控系統(tǒng)時間延遲已知情況下，對靜穩(wěn)定度布局邊界的約束指標。