《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)

成小院

一、教學(xué)內(nèi)容分析

函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接紐帶，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有非常重要的地位。

本節(jié)通過(guò)對(duì)二次函數(shù)圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形.它既揭示了初中一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，引出對(duì)函數(shù)知識(shí)的總結(jié)拓展。

本節(jié)課滲透著重要的數(shù)學(xué)思想 “特殊到一般的歸納思想”?“方程與函數(shù)”和“數(shù)形結(jié)合”的思想，因此教好本節(jié)至關(guān)重要。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，因此從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)圖象入手介紹函數(shù)的零點(diǎn)，從認(rèn)知規(guī)律上講，應(yīng)該是容易理解的。一元二次方程是初中的重要內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)該有較好的基礎(chǔ)對(duì)于它根的個(gè)數(shù)以及存在性學(xué)生比較熟悉，這也為我們歸納函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根聯(lián)系提供了知識(shí)基礎(chǔ)。但是學(xué)生對(duì)其他函數(shù)的圖象與性質(zhì)認(rèn)識(shí)不深（比如三次函數(shù)），對(duì)于高次方程還不熟悉，缺乏更多類型的例子，讓學(xué)生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。加之函數(shù)零點(diǎn)的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)師生互動(dòng)，盡多的給學(xué)生動(dòng)手的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)二者的聯(lián)系，并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應(yīng)的一元二次方程讓學(xué)生研討，從而直觀地歸納、總結(jié)、分析出二者的聯(lián)系。

三、設(shè)計(jì)思想

教學(xué)理念：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會(huì)嚴(yán)密思考，并從中找到樂(lè)趣

教學(xué)原則：注重各個(gè)層面的學(xué)生

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)式

四、教學(xué)目標(biāo)

以二次函數(shù)的圖象與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法;學(xué)會(huì)在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法。讓學(xué)生在探究過(guò)程中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從特殊到一般的歸納思想，培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。

五、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系;連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法。

難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系;探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點(diǎn)的方法。

六、教學(xué)程序設(shè)計(jì)

1.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn).

問(wèn)題1：先來(lái)觀察幾個(gè)具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：如圖7-1

1方程與函數(shù)

2方程與函數(shù)

3方程與函數(shù)

[師生互動(dòng)]

師：教師引導(dǎo)學(xué)生解方程、畫(huà)函數(shù)圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，推廣到一般的方程和函數(shù)引出零點(diǎn)概念。

零點(diǎn)概念：對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）（x∈D）的零點(diǎn)。

師：填表格

生：經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，填完表格

師提示：根據(jù)零點(diǎn)概念，提出問(wèn)題，零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？零點(diǎn)與函數(shù)方程的根有何關(guān)系？

生：經(jīng)過(guò)觀察表格，得出第一個(gè)結(jié)論

師再問(wèn)：根據(jù)概念，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)與函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)有什么關(guān)系

生：經(jīng)過(guò)觀察圖像與x軸交點(diǎn)完成解答，得出第二個(gè)結(jié)論

師：概括總結(jié)前兩個(gè)結(jié)論（請(qǐng)學(xué)生總結(jié)）。

1）概念：函數(shù)的零點(diǎn)并不是“點(diǎn)”，它不是以坐標(biāo)的形式出現(xiàn)，而是實(shí)數(shù)。例如函數(shù)的零點(diǎn)為x=-1，3

2）函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3）方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。

師：引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì)上述結(jié)論。

再提出問(wèn)題：如何并根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義求零點(diǎn)？

生：可以解方程而得到（代數(shù)法）;

可以利用函數(shù)的圖象找出零點(diǎn).（幾何法）

第一階段設(shè)計(jì)意圖

本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結(jié)了二次函數(shù)零點(diǎn)情況，給學(xué)生一個(gè)清晰的解題思路。

2.零點(diǎn)存在性的探索

師：要求生用連續(xù)不斷的幾條曲線連接如圖4 ?A、B兩點(diǎn)，觀察所畫(huà)曲線與直線l的相交情況，由兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)板書(shū)：

生：兩個(gè)學(xué)生畫(huà)出連接A、B兩點(diǎn)的幾條曲線后發(fā)現(xiàn)這些曲線必與直線l相交。

師：再用連續(xù)不斷的幾條函數(shù)曲線連接如圖A、B兩點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察所畫(huà)曲線與直線l的相交情況，說(shuō)明連接A、B兩點(diǎn)的函數(shù)曲線交點(diǎn)必在區(qū)間?（a，b） 內(nèi)。

生：觀察下面函數(shù)f（x）=0的圖象（如圖5）并回答

圖5

①區(qū)間[a，b]上______（有/無(wú)）零點(diǎn);f（a）·f（b）_____0（<或>）。

②區(qū)間[b，c]上______（有/無(wú)）零點(diǎn);f（b）·f（c）_____0（<或>）。

③區(qū)間[c，d]上______（有/無(wú)）零點(diǎn);f（c）·f（d）_____0（<或>）。

師：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號(hào)情況，與函數(shù)零點(diǎn)是否存在之間的關(guān)系。

生：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義結(jié)合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，并進(jìn)行交流、評(píng)析總結(jié)概括形成結(jié)論）

一般地，我們有：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c?∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根。

第二階段設(shè)計(jì)意圖：

教師引導(dǎo)學(xué)生探索歸納總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力和邏輯思維

3.例范研究

已知函數(shù)f（x）= -3x⁵-6x+1有如下對(duì)應(yīng)值表：

函數(shù)y=f（x）在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)？為什么？

通過(guò)本例引導(dǎo)探索，師生互動(dòng)

探求1：如果函數(shù)y=?f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）>0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)嗎？

探求2：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但是否只一個(gè)零點(diǎn)？

探求3：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)一定有f（a）·f（b）<0 么？

探求4：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)一定有f（a）·f（b）<0 ？

師：總結(jié)兩個(gè)條件：

1）函數(shù)y=?f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線

2）在區(qū)間[a，b]上有f（a）·f（b）<0

一個(gè)結(jié)論：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)

補(bǔ)充：什么時(shí)候只有一個(gè)零點(diǎn)？

（觀察得出）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)

求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).問(wèn)題：

1）你可以想到什么方法來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)？

2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？