挖掘教材探究題讓數學融入生活

吳敏強

摘 要：數學建模是數學六大核心素養之一，培養學生數學應用的意識是數學教學的目標。本文從教材本身出發，挖掘教材探究題，闡述了教材在數學建模方面的指導作用，并從經濟、空間、建筑、測繪四個方面例析教材在培養學生數學應用意識的重要作用。

關鍵詞：數學建模;教材探究題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2020）09-092-2

數學建模是數學六大核心素養之一。普通高中數學課程標準指出：“數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力?！边@就要求教師在進行數學教學中，主動自覺的引入數學建模的思想，引領學生感悟數學與現實之間的關聯。

筆者通讀普通高中數學教科書（蘇教版）必修系列，發現教材對于數學建模和數學應用非常重視，教材在序言、課題引入、探究思考、例題、習題、閱讀材料和實習作業等方式中從不同角度，不同維度對數學建模與應用進行了編排。筆者從必修1到必修5五本教科書中從經濟、空間、建筑、測繪四個方面中各挑選了一個問題并加以改編設計，以期能引導學生領略數學在生活中的廣泛應用。具體如下：

一、經濟領域，“賺錢”值得我們探討

我們知道，經濟學離不開數學。而在高中的課堂上，和學生探討利用數學“賺錢”的問題，實在是把數學融入生活的絕好題材。

普通高中數學教科書（蘇教版）必修1第99頁的例3介紹了邊際函數在經濟領域中的應用，筆者充分利用本題，與學生充分互動，探討關于“賺錢”的問題，課堂氣氛活躍，讓學生充分體會到數學在日常生產中的應用，具體處理如下：

例1 在經濟學中，函數f（x）的邊際函數Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）。某公司每月最多生產100臺報警系統裝置，生成x臺（x∈N*）的收入函數為R（x）=3000x-20x2（單位：元），其成本函數為C（x）=500x+4000（單位：元），利潤是收入與成本之差。（1）求利潤函數P（x）和邊際利潤函數MP（x）;（2）利潤函數P（x）和邊際利潤函數MP（x）是否具有相同的最大值？

分析：筆者首先讓學生獨立審題，解答教科書給出的兩個問題，學生根據函數的知識，很快就給出了正確解答，具體解答不再贅述。本題的解答并不是處理的重點，為了讓學生體會數學在生成生活中的應用，筆者設計了以下問題和學生探討“賺錢”的問題：（1）思考利潤和邊際利潤的含義;（2）為什么利潤函數與邊際利潤函數的最大值不同;（3）如果你作為該廠的總裁，你會如何安排生產。筆者設計的三個問題是有思維梯度的，學生要搞清楚怎么“賺錢”，首先要理解邊際利潤，這也是問題（1）的初衷，問題（2）是為了讓學生區分開利潤和邊際利潤，加強理解。函數分析是手段，如何利用之前的分析安排生產讓利潤最大化才是最終的目標，所以問題（3）讓本題完全開放，讓數學理論完全融入了生活。

二、空間領域，“轉角”不一定轉得過

數學在空間的應用離不開直觀想象，而直觀想象本就是數學六大核心素養之一。普通高中數學教科書（蘇教版）必修4中就有一個有關“轉角”的探究題，非常適合帶學生感受數學在空間領域的實用價值。

例2 一鐵棒欲通過如圖1所示的直角走廊，試回答下列問題：（1）證明棒長L（θ）=95sinθ+65cosθ;（2）當θ∈（0，π2）時，作出上述函數的圖像（可用計算器或計算機）;（3）由（2）中的圖像求L（θ）的最小值（可用計算器或計算機）;（4）解釋（3）中所求得的L是能夠通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值。

分析：筆者在處理本題的時候設計了以下問題：（1）請你想一下，在生活中哪些場景會遇到本題提出的問題;（2）請解答本題，并簡述本題設置的四個問題的意義;（3）你能對本題進行改編嗎？

設計理念：問題（1）是為了讓學生把問題更徹底的融入生活，學生回答了搬家具，抬樓梯，搬龍骨等場景，使得學生對本題有了更好的理解。問題（2）是則是數學建模必須的核心部分，把實際問題數學化，促使學生找到解決問題的核心所在，為問題解答做準備。問題（3）則是本題的亮點，使本題開放化，把數學問題再次引入生活，實現強化學生數學建模核心素養的教學目標。

筆者與學生探討總結，給出的改編題如下：

改編1：如圖2，一條轉角角度為120°的走廊，寬度為1m，若一根鐵棒AB能水平通過此走廊，則鐵棒的最長長度為 。

改編2：如圖3，一條寬為a的直角走廊，現有一平板車，平板面是一寬為b（0

三、建筑領域，“挖泥”也挺好玩

普通高中數學教科書（蘇教版）必修2中有一個有關建筑的問題，可以讓學生領略數學在大型工程建設中有著無與倫比的作用。

例3 在圖4的網格區域內擬建一座公差，每個網格小正方形的面積為20m×20m，格點處的深度（單位：m）如表所示，在此深度內的土石需要挖走。試估算：（1）應挖走的土方;（2）挖掘機挖土時，泥土因變松而使體積增加15%，如果每輛翻斗車能裝運18m3，那么運走這些土石需要多少車次？

分析：筆者設計了以下問題：（1）請簡述本題所解決的實際問題的目標是什么？（2）請閱讀學習體積的近似計算法——“網格標高法”;（3）請用“網格標高法”解決本題。

設計理念：閱讀審題是數學建模的核心，決定了解決問題的方向。問題（1）的設計是讓學生在閱讀中找到問題的目標與方向。信息題是高考的熱點問題，而問題（2）是其實就是一個信息題，通過閱讀材料“現學”，然后“現賣”來解決問題，可以培養學生的分析問題解決問題的能力。問題（3）則讓學生感受數學在大型工程建設中從不缺席。

四、測繪領域，“距離”再遠也不是問題

測繪從未遠離我們的生活，大到鋪路架橋，小則房屋建造都離不開測繪，數學與測繪的關系源遠流長，可以追溯到遠古，人類最早丈量土地就和數學密不可分。測量學對數學的發展起了積極的推動作用，四千多年前，我們祖先發明的測繪工具規矩（規即圓規，矩即角尺類工具），對數學的反發展產生了重要的影響;同時數學為測繪的發展提供了有力的工具。[1]

普通高中數學教科書（蘇教版）必修5第21頁探究拓展題，就是一個測繪中的基本問題，引導學生運用數學工具解決測繪問題，具體如下：

例5 解三角形在測量上有著廣泛的應用，下面個圖描述了測量找那個的一些基本問題，你能根據圖示說出求解AB的過程嗎？

分析：筆者在處理這個問題的時候采用了開放的教學方式，根據教材提供的6個基本問題學生分組編題，并互相交換解答。這樣的處理方式可以充分調動學生生活經驗，在編題中體驗把數學融入生活，數學源于生活的理念，培養學生數學建模和數學應用的思想。成果如下：

[參考文獻]

[1]陳珂.數學在測繪中的應用和前景分析[J].科技視界，2018（02）.

[2]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學，2006（01）.

（作者單位：蘇州市吳江盛澤中學，江蘇 蘇州215000）