抓住學科內在本質，培養學生數學素養

蘇遺華

[摘要]以“植樹問題”的教學為例，依據課程標準的要求和教材內容的安排，提出教學應從知識的內在聯系、數學的規律、思想方法和模型建構等方面入手培養學生的數學素養，為廣大小學數學教師的課堂教學探明了方向。

[關鍵詞]學科本質;數學素養;植樹問題

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 20-0074-02

“植樹問題”是人教版教材五年級上冊第106頁至第108頁的內容。在公開課中，很多教師喜歡上“植樹問題”，但在教學中又很糾結需不需要把教材例1中的“100米”像教材上那樣從“20米可以栽幾棵”人手來研究，需不需要構建“兩端都栽”“只栽一端”和“兩端都不栽”三種模型，需不需要在植樹問題中設置更加真實的問題情境……這些問題，引發了筆者的思考。

一、研讀課標教材，明確目標要求

關于“植樹問題”，從人教版教材的編排體系上看，它與“搭配”“推理”“集合”“簡單的排列組合”“優化——燒水問題”“雞兔同籠”“抽屜原理”“找次品”“重疊問題”“烙餅問題”等內容一樣，皆屬于人教版教材中的“數學廣角”;從課程內容劃分上看，它屬于“綜合與實踐”領域。對這部分知識，課程標準指出“是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動”，即學生綜合運用所學的“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等知識和思想方法去解決的生活中的實際問題。“植樹問題”屬第二學段，課程標準對第二學段的具體要求是：學生要有目的、有計劃、有步驟、有合作地實踐;要結合問題情境，發現問題、提出問題、分析問題和解決問題;要進一步理解和運用所學的知識和方法，獲得和積累必要的數學活動經驗;經歷問題解決的一般過程，進一步感受和運用問題解決的基本策略，進一步體會數學的價值作用。

經過以上的分析和認識，“植樹問題”的四個學習目標就很清楚了。一是利用學生熟悉的問題情境——植樹，讓學生感知數學知識在解決生活問題中的應用價值;二是通過小組合作、交流，并借助圖形理解間隔數與植樹棵數之間的關系;三是經歷和體驗復雜問題簡單化的解題策略和方法;四是經歷建模的過程，并自覺運用模型解決問題。

二、抓住學科本質，培養學生素養

張奠宙教授對數學本質做了如下界定：數學知識的內在聯系，數學規律的形成過程，數學思想方法的提煉，數學理性精神的體驗。除此之外，數學的求真、求簡之美，也是其本質內涵之一。

1.打通數學知識的內在聯系，培養學生的認知素養

哲學上說，一切事物都處在普遍聯系之中，整個世界就是一個普遍聯系的有機整體。數學知識也不是孤立的，彼此之間是有聯系的。那么，植樹問題和什么數學知識存在聯系呢？

【例1】在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

小路可以看成一條線段，在100米長的線段上每隔5米栽一棵，就是把100米長的線段平均每5米分一段，能分成多少段？（如圖1）列式“100÷5=20（段）”，這實質上就是平均分，植樹問題和除法產生了內在聯系。

把握數學知識的內在聯系，有利于學生把數學知識內化為自己的認識結構，發展思維并促進科學世界觀的形成。

2.探索數學知識的本質規律，培養學生的抽象素養

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在小學階段提出了探索規律的要求，對第二學段的數與代數領域明確提出“探索給定情境中隱含的規律或變化趨勢”。在探索規律的過程中，學生通過問題情境，經歷“觀察一比較一猜想一驗證一總結”，培養了從變化中發現不變、發現規律的能力，這是創新的過程，也是培養學生抽象能力的重要途徑。

【例2】在全長20米的小路一邊植樹，每隔（）米栽一棵（兩端要栽），一共要栽（ ）棵樹？

學生自主探索，完成下表：

在整個探索活動中，學生經歷了觀察、比較、猜測、計算、推理、驗證、歸納的過程。學生通過對多組材料的觀察和體驗，歸納總結出“總長÷間距=段數”“段數+1=棵數”的結論。

3.提煉數學知識的思想方法，發展學生的思維素養

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法”。植樹問題蘊涵了“數形結合”“化繁為簡”和“合情推理”等數學思想方法。

首先是“數形結合”思想。100米的小路，每隔5米栽一棵，畫成線段圖（如圖2）。這樣就“直觀”地把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于找出“100米中有多少個5米”這個數量關系，有助于探索出解決問題的思路、方法。正如我國著名數學家華羅庚所說：“數缺形時少直觀，形少數時難人微;數形結合百般好，隔離分家萬事非！”

其次是“化繁為簡”思想。100米的小路，每隔5米栽一裸，一共要栽多少棵？“100米的小路，每隔5米栽一棵”跟“20米的小路，每隔5米栽一棵”的實質是一樣的，而從20米的小路人手研究栽樹問題相對簡單，更便于研究。研究出來的規律（數量關系）“總長÷間距=段數”“段數+1=棵數”可應用到100米、1000米、10000米……的植樹問題中，應用到“路燈問題”“鋸木頭問題”“橋墩問題”等問題中。

第三是合情推理思想。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。根據小學生的認識基礎，小學數學教學主要是發展學生的合情推理能力。植樹問題以“20米的小路”為例，每隔l米、2米、4米、5米、10米栽一棵樹，通過歸納推理得出“段數+l=棵數”。

日本著名教育學家米山國藏說：“不管他們（指學生）從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點，在隨時隨地發生作用，使他們終身受益。”米山國藏的話明確了數學精神、思想方法才是數學教學所要追求的。

4.經歷數學模型的建構過程，提升學生的建模素養

模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。

建模的過程應該是這樣的：“觀察情境——提出問題——抽象模型——應用模型——修正模型——可用結果”，如圖3所示。

植樹問題是一個較典型的數學模型，它的教學體現了數學建模的全過程：（1）觀察情境：100米的小路，每隔5米植一棵;（2）提出問題：兩端都栽，一共栽多少棵？（3）抽象模型：把植樹問題抽象成一條線段平均分成幾段的問題;（4）修正得出模型：“總長÷間距=段數”“段數+1=棵數”;（5）應用模型：“路燈問題”“橋墩問題”……

這樣的教學有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。

三、問題與反思

植樹問題對培養小學生數學建模素養有極其重要的作用，然而教師仍心存疑慮：小學數學的建模需不需“真實的情境”？需不需構建“只栽一端”和“兩端都不栽”的數學模型？

對于第一個問題，筆者的觀點是不一定要創設“真實的情境”，因為任何教學設計都要遵循學生的認知基礎和教學的實際情況，教材本身也只是虛擬了一個“植樹情境”。當然，如果植樹問題不是放在課堂上來解決，又另當別論了。

再來談第二個問題，筆者的觀點是不需要構建“只栽一端”和“兩端都不栽”的數學模型，因為“只栽一端”和“兩端都不栽”只是“兩端都栽”的特殊情況，而植樹問題的教學重點是培養學生用模型的思想方法解決生活中的實際問題。任何一種數學模型都不可能解盡所有數學問題，數學的精神、理性的思維和解決問題的思想方法才是數學教學永恒的追求。

（責編 羅艷）