另辟蹊徑，讓學(xué)生在畫圖中理解算理

郭小瑋

[摘要]畫圖是解決數(shù)學(xué)問題的重要策略之一。通過(guò)畫圖，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化、具體化，從而幫助學(xué)生理解題意，分析數(shù)量關(guān)系，提高解決問題的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的形成。

[關(guān)鍵詞]蘇教版;小數(shù)除法;畫圖;算理

[中圖分類號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020） 20-0033-02

“整數(shù)除以小數(shù)”是蘇教版教材五年級(jí)上冊(cè)第五單元“小數(shù)乘法和除法”中的內(nèi)容，其中小數(shù)除法部分還包含了小數(shù)除以整數(shù)（個(gè)位夠商1）、整數(shù)除以整數(shù)（商是小數(shù)）、小數(shù)除以整數(shù)（個(gè)位不夠商1）、小數(shù)除以整十整百整千、小數(shù)除以小數(shù)。

我在第一個(gè)班級(jí)教學(xué)“整數(shù)除以小數(shù)”時(shí)，按照教材的編排模式，帶領(lǐng)學(xué)生探究了整數(shù)除以小數(shù)的豎式書寫。

【教學(xué)片段一】

出示媽媽在菜場(chǎng)購(gòu)物的情境圖。

師：媽媽在菜場(chǎng)購(gòu)買了蘿卜和番茄，它們的單價(jià)和總價(jià)如下表所示（表略），你能提一個(gè)數(shù)學(xué)問題嗎？

生1：蘿卜的總價(jià)是1.5元，單價(jià)是0.75元/千克，媽媽買了多少千克蘿卜？

師：對(duì)于這個(gè)問題，你會(huì)列式計(jì)算嗎？請(qǐng)?jiān)诰毩?xí)本上試一試。

生2：列式是1.5÷0.75。我把0.75和1.5同時(shí)擴(kuò)大100倍，0.75就變成了75，1.5就變成了150，150除以75等于2，所以1.5÷0.75=2（千克）。

生3：我用豎式來(lái)計(jì)算。先畫出豎式計(jì)算的除號(hào)“廠”，然后在除號(hào)里面寫上被除數(shù)“1.5”，除號(hào)外左側(cè)寫上除數(shù)“0.75”，再去掉除數(shù)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)（同時(shí)擴(kuò)大100倍），即將除數(shù)0.75前面的0劃去變成“75”，被除數(shù)1.5的末尾用0補(bǔ)足變成“150”，這樣就可以用整數(shù)除法計(jì)算了。150÷75=2，在被除數(shù)個(gè)位的上面寫上“2”。

師：無(wú)論是口算還是豎式計(jì)算，都是先把除數(shù)和被除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同倍數(shù)，也就是轉(zhuǎn)化為整數(shù)的除法，然后通過(guò)整數(shù)除以整數(shù)計(jì)算出商。

在之后的課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生只會(huì)計(jì)算，但并不知道為什么要這樣算。因此，在第二個(gè)班級(jí)教學(xué)同一內(nèi)容時(shí)，我吸取教訓(xùn)，通過(guò)畫圖的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)除以一個(gè)數(shù)（0除外）等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

【教學(xué)片段二】

出示算式6÷0.5。

師：計(jì)算6除以0.5，你會(huì)怎么算？

生1：6除以0.5，把除數(shù)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)同時(shí)向右移動(dòng)一位，也就是把0.5和6同時(shí)擴(kuò)大10倍，算式變成60除以5等于12，所以6÷0.5=12。

生2：也可以用豎式來(lái)計(jì)算。先畫出豎式計(jì)算的除號(hào)“廠”，然后在除號(hào)里面寫上被除數(shù)“6”，除號(hào)外左側(cè)寫上除數(shù)“0.5”，再移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，即除數(shù)0.5的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位變成“5”，同時(shí)被除數(shù)6的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)一位變成“60”，這時(shí)原來(lái)的算式就變成了60除以5等于12，所以6二0.5=12。

師：生1和生2都是通過(guò)計(jì)算得出了整數(shù)除以小數(shù)的商。再想一想，如果不計(jì)算，還可以怎么知道6除以0.5的答案？（板書：6÷0.5=6x

）

生3：可以用畫圖的方法。先畫一個(gè)正方形，再平均分成2份，我們知道1里面有2個(gè)0.5。再像這樣畫6個(gè)同樣的正方形，可以看出有6個(gè)2份，所以是6÷0.5=6x2。

師：大家聽明白了嗎？（板書：6÷0.5=6x2）我們?cè)賮?lái)回顧一下生3畫的圖是什么意思。（先個(gè)別學(xué)生說(shuō)，再全班學(xué)生說(shuō)）

（板書：4÷1/3=4× ，4÷0.4=4× ，4÷0.5=4× ）

師：請(qǐng)你用畫圖的方法來(lái)解釋整數(shù)除以小數(shù)的結(jié)果。

生。：對(duì)于4÷1/3=4× ，我先畫4個(gè)正方形，因?yàn)?里面有3個(gè)1/3，所以涂色的有4個(gè)3，即4÷1/3 =4x3。對(duì)于4÷0.4=4x ，我也畫4個(gè)正方形，因?yàn)?里面有2.5個(gè)0.4，所以涂色的有4個(gè)2.5，即4÷0.4=4x2.5。對(duì)于4÷0.5=4x ，還是畫4個(gè)正方形，因?yàn)?里面有2個(gè)0.5，所以涂色的有4個(gè)2，即4÷0.5=4x2。

師：請(qǐng)你觀察每個(gè)等式中除號(hào)后面和乘號(hào)后面的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生5：每個(gè)等式中，除號(hào)后面的數(shù)和乘號(hào)后面的數(shù)相乘等于1。

師：這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。因此，除以一個(gè)數(shù)（0除外）等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

【教學(xué)反思】

同是教學(xué)“整數(shù)除以小數(shù)”，由于教學(xué)目標(biāo)定位不同，出現(xiàn)了兩個(gè)完全不同的教學(xué)設(shè)計(jì)。片段一的教學(xué)設(shè)計(jì)按部就班，幫助學(xué)生扎實(shí)地掌握除法豎式的書寫格式和步驟;片段二的教學(xué)設(shè)計(jì)除了讓學(xué)生掌握除法豎式，還讓學(xué)生結(jié)合畫圖解釋“1里面有幾個(gè)幾”，直觀地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“除以一個(gè)數(shù)（0除外）等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。

1.教學(xué)既要利用已知，也要搭建橋梁

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)螺旋上升的過(guò)程。教師在教授新知時(shí)不僅要利用學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，還要為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。如教學(xué)“整數(shù)除以小數(shù)”時(shí)，由于在前面的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了大量小數(shù)除以小數(shù)的豎式計(jì)算，因此用豎式計(jì)算整數(shù)除以小數(shù)屬于知識(shí)的正向遷移，對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)并沒有難度，但是當(dāng)被問到為什么要這樣計(jì)算時(shí)，他們就說(shuō)不出原因了。可見片段一的教學(xué)只注重知識(shí)方法的傳授，讓學(xué)生掌握整數(shù)除以小數(shù)的計(jì)算方法，卻沒有讓學(xué)生明白整數(shù)除以小數(shù)的計(jì)算算理。

因此，我在設(shè)計(jì)片段二時(shí)留給列豎式計(jì)算的時(shí)間較少，而是騰出時(shí)間，讓學(xué)生用畫圖的方法把整數(shù)除以小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，再通過(guò)幾道同樣的例題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)等式中除號(hào)后面的數(shù)與乘號(hào)后面的數(shù)相乘等于1，這也為六年級(jí)教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘法”和“倒數(shù)”做了鋪墊。

相比兩種不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)片段一時(shí)毫無(wú)壓力。而在學(xué)習(xí)片段二時(shí)，剛開始學(xué)生一頭霧水、不知所措，但是當(dāng)他們?cè)诋媹D中慢慢發(fā)現(xiàn)了整數(shù)除以小數(shù)的計(jì)算方法和算理后，計(jì)算整數(shù)除以小數(shù)就十分得心應(yīng)手了。

2.教學(xué)既要傳授知識(shí)，還要滲透思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，數(shù)學(xué)課既要傳授基本知識(shí)和基本技能，也要傳授基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在片段二的教學(xué)中，我先出示了整數(shù)除以小數(shù)的算式，此時(shí)學(xué)生頭腦中首先跳出的是用等式的性質(zhì)來(lái)計(jì)算。接著，我引導(dǎo)學(xué)生不計(jì)算，想辦法把這道除法算式變成乘法算式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以利用畫圖直觀地呈現(xiàn)除法算式的意義，并結(jié)合圖形用最基礎(chǔ)的“1里面有幾個(gè)幾”來(lái)解釋，幫助他們順利得出了整數(shù)除以小數(shù)的答案。最后，我引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的關(guān)系——每個(gè)等式中除號(hào)后面的數(shù)乘上乘號(hào)后面的數(shù)等于1。雖然這時(shí)學(xué)生還不知道什么是倒數(shù)，但是他們非常巧妙地把除法轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)計(jì)算，體會(huì)到了除法與乘法之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，感悟了轉(zhuǎn)化的思想。

總之，學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)除以小數(shù)的知識(shí)，既要熟練掌握怎么計(jì)算，還要知道為什么這么計(jì)算。相比用抽象的豎式計(jì)算，其實(shí)直觀的畫圖更好地解釋了計(jì)算過(guò)程，建立了除法與乘法的聯(lián)系。

（責(zé)編李琪琦）