把握面積計算的本質

胡利群

[摘要]當前小學數學課堂在核心素養理念的引領下，正從以往更多關注學生對知識的理解與掌握，轉向如今關注于學生的數學學習能力、數學技能與思想等方面。對一次全國性觀摩活動中“長方形和正方形面積的計算”教學出現的問題進行剖析，并依托網絡教室，抓住面積的本質，引領學生進行了“擺、量、估、議”四個層次的活動教學。

[關鍵詞]長方形和正方形;面積計算;本質;案例

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 20-0019-03

【案例】

在一次全國性觀摩活動中，一位教師執教“長方形和正方形面積的計算”時，以“實驗一猜想一驗證一概括”為探究主線，以期讓學生掌握這兩種圖形的面積計算方法的同時能獲得一種科學的研究問題的方法。

實驗中，學生用12個邊長為1分米的正方形擺長方形，三種擺法得出三組數據“4分米、3分米、12平方分米;6分米、2分米、12平方分米;12分米、1分米、12平方分米”，教師（將長方形擱置一邊）引導學生分析這幾組數據，發現長與寬相乘的積與長方形的面積正好是相等的，由此得到一個猜想（公式），繼而舉例驗證：先用公式計算，再用面積單位測量，發現兩種方法得到的答案是完全一樣的，最終概括得出長方形面積計算的公式。接著給出3道練習題，都是根據圖形上標出的長與寬直接口答出圖形的面積，其中有一個是邊長為6厘米的正方形（標出了兩條鄰邊），學生出于慣性的回答沒有出現任何問題，然而由此提升總結正方形面積公式時，學生卻“呼之不出”：有的說是“邊長x4”，有的說是“邊長x6”，無法實現由長方形面積公式到正方形面積公式的遷移。

【剖析】

誠然，個別學生誤將正方形的周長公式用于此也無可厚非，因為周長和面積畢竟是兩個非常容易混淆的概念，但全班學生“萬馬齊喑”就不對勁了。

仔細揣摩整個公式的探究過程，教師是在引導學生從純數據的角度找規律，即長乘寬恰好等于面積（而面積是用面積單位測量出來的）。我以為，僅從數據分析的角度來探索長方形面積的計算公式有點不妥，在“猜想、驗證”的背后是否還差一個“溝通、解釋”？因為學生心中可能會有一個大大的問號——為什么長乘寬正好等于面積呢？教師在長方形面積計算公式推導的過程中一直浮于數據相等的表面，沒有引導學生體會長方形面積計算的本質，在擺、量的過程中體會長方形的長、寬與面積單位個數之間的對應關系，所以學生沒有形成一定的方法，無法遷移可能是因為無“法”可移。

實際上，用面積單位測量面積的方法是探究面積計算公式的基礎。一個圖形面積的大小本質上是它所含相同面積單位的多少（這是在認識面積單位時學生就已經掌握的），所以計算圖形的面積實際上就是在計算面積單位的個數，即每排的個數乘排數（這是二年級“認識乘法”的內容），可以說這兩點對于學生來說都不是難點，難點在哪里呢？在于引導學生意識到長方形的長、寬或正方形的邊長與每排個數、排數之間的關系，即每排的個數和排數是由長方形或正方形的兩條鄰邊決定的，這一點是得出長方形面積計算公式的關鍵所在，也是溝通長方形和正方形面積計算公式的橋梁，在教學中應重點引導學生打通這一“關節”。

基于以上思考，我對本課進行了一次教學（蘇教版教材三年級下冊第82、83頁），并將課堂“搬”到了電腦教室。

【實踐】

活動一：擺

師：請在電腦上用若干個1平方厘米的正方形擺一個長方形或正方形。

展示第一個作品：

師：對于這樣一個長方形，你能獲得它的哪些信息呢？

生1：它的長是4厘米，寬是3厘米。

師：怎么看出來的？

生1：因為一排擺了4個正方形，每個正方形的邊長是1厘米，所以長是4厘米.擺了3排，所以寬是3厘米。

生2：它的面積是12平方厘米。

師：怎么知道的？

生2：因為用了12個1平方厘米的正方形。

師：“12個”是你一個一個數出來的嗎？

生2：不是，是算出來的。每排4個，有3排，就是4x3等于12。

師：這是一道簡單的乘法算式，對嗎？瞧，我們在二年級學習的幾個幾是多少在這里又用上了。

師：還有誰想展示？在展示之前想一想，怎樣介紹讓別人還沒看到就已經能想到它的樣子。

生3：我擺了三排，每排擺3個小正方形。

師：能想象她擺的圖形是什么樣的嗎？

生4：她擺的是一個正方形，邊長是3厘米。

展示生，作品：

師：看來擺正方形時有個特點。

生5：邊長都是一樣的。

生6：排數和每排的個數是一樣的。

師：那這個正方形的面積是多少呢？

生7：9平方厘米，3x3=9。

師：又是一道乘法算式，兩個“3”的意義一樣嗎？

（展示第三個作品;略）

師：通過剛才的擺，我們發現看一個圖形的面積是多少其實就是看什么？（板書：面積單位的個數）小正方形的個數是一個一個數出來的嗎？怎樣算？（板書：每排個數×排數）

活動二：量

師：用一些1平方厘米的正方形量出長方形的面積。（學生在電腦上操作，完成后交流）

展示第一種方法：

師：面積量出來了嗎？說說你的想法。

生1：每排5個，擺了4排，共有20個1平方厘米的小正方形，面積是20平方厘米。

師：其實他不僅量出了長方形的面積，他還量出了長方形的——

生2：長是5厘米，寬是4厘米。

展示第二種方法：

師：這樣擺可以嗎？他都沒擺滿，為什么也可以？

生3：因為這樣能看出一排有幾個且有幾排。

師：這樣就可以用一道乘法算式得到一共要多少個正方形。能看出長與寬嗎？比較一下，兩種量法你更欣賞哪一種？

活動三：估

師（出示一個長方形）：這里有一個長方形，估計一下它的面積是多少，說說你是怎樣估計的，怎樣知道估得準不準呢？

生1：用1平方厘米的小正方形去量。

師：只能用小正方形去量嗎？還可以用什么量？

師（出示：長6厘米）：你能想到什么？

生2：一排能擺6個小正方形。

師：如果長是5厘米呢？7厘米呢？16厘米呢？也就是說——

生3：長是幾厘米，一排就能擺幾個小正方形。

師：看來長方形的長決定了一排能擺幾個面積單位。只知道這一個條件就行了嗎？

生4：還要知道擺幾排。

師（出示：寬3厘米）：現在知道能擺幾排了嗎？（演示課件驗證）能用一道乘法算式表示它的面積嗎？

師：這里有一個正方形，估一估它的面積是多少。這回你需要幾個條件？為什么？

活動四：議

師：學到這里，大家可能已經知道了這節課我們學習的內容是什么了。（板書課題）那長方形的面積和什么有關呢？怎樣求長方形的面積？正方形呢？在小組內交流自己的看法。

（教師板書兩個公式。兩個公式的得出非常輕松，一方面可能是前面的鋪墊比較到位，另一方面，即使沒學今天的課，不少學生也已經知道這兩個公式了，所以下面這個環節很重要）

師：能具體地解釋一下這個公式嗎？長指的是

生1：每排能擺幾個。

師：寬呢？

生2：能擺幾排。

師：這個“邊長”指的是……那另一個“邊長”呢？這兩個公式有什么相同的地方嗎？

生3：它們都是在求有多少個小正方形（面積單位）。

生4：它們都是鄰邊相乘。（這位學生的發言可謂是石破天驚）

師（將兩個公式合為一體，板書：鄰邊相乘）：可見長方形和正方形面積的計算并不神秘，就是我們在二年級學習的“幾個幾是多少”的應用而已。

【反思】

一、依托網絡教室，提高教學效率

本節課在網絡教室進行絕非為了嘩眾取寵。之所以不放在教室，是因為學生的擺、量都不便于在全班展示;之所以不放在報告廳，是因為圖形投影到大屏幕上之后，面積放大了若干倍，不利于學生建立面積大小的正確表象，尤其是估計長方形面積環節，直接影響著學生估計的結果。實踐證明，學生在操作電腦時用鼠標拖動小正方形來擺、量都非常方便，速度遠遠高于實物操作，并且在局域網中能任意展示學生的作品，這樣不僅極大提高了教學的效率，同時這種新穎的教學方式也激發了學生的參與熱情。

二、抓住一個重點，推進四次活動

這節課的重中之重是讓學生認識到長方形、正方形的鄰邊與排數、每排個數之間的關系，圍繞這一點，我引領學生進行了“擺、量、估、議”四個層次的活動。

“擺”，學生最容易關注到的往往是用了多少個正方形以及每排擺幾個、擺了幾排。我通過一句“對于這樣一個長方形，你能獲得它的哪些信息呢？”將學生的目光從單個的正方形吸引到長方形上來，學生自然也就能夠關注到長方形的長、寬與面積了。

“量”，學生最關心的是量的結果，即它的面積是多少，因為操作的要求就是測量圖形的面積。算式中的兩個乘數，學生僅僅把它看作“個數”與“排數”而已。“其實他不僅量出了長方形的面積，還量出了長方形的——”一句啟發性的話讓學生將“個數、排數”與“長、寬”聯系起來。

“估”，一方面，通過學生有沒有用估的方法可以檢驗出“每排個數×排數”是否已深入學生的大腦，另一方面，前兩個環節是由“個數”想到“長、寬”，而這時出示“長”，問學生“能想到什么”，則是引導學生由“長”聯想到“個數”，這一恰好相反的心理活動讓學生進一步深入認識了它們之間的關系。

“議”，重點同樣是放在了對公式的理解上。這一活動是對前面幾個環節的總結與提升，如果說前三個活動是在挖渠，那么這個活動則是渠成之后的涓涓清流。

三、淡化圖形區別，把握計算本質

從本質上來說，長方形和正方形的面積計算方法是完全一樣的，所以在以往的教學中，一般都是先推導長方形面積的計算公式，再將其遷移到正方形面積的計算公式。而我在教學中有意淡化兩種圖形的區別，不分彼此，同步進行它們面積公式的推導，以期能夠引導學生真正體會面積計算的本質所在。在第一個環節，主要讓學生感覺到正方形擺的時候有點特殊，卻和長方形一樣都可以用一道簡單的乘法算式得到面積單位的個數，并且讓學生注意到乘法算式中的兩個數雖然相同，但意義不一樣。在估正方形的面積時讓學生說一說需要幾個條件，再次讓學生注意到正方形與長方形的面積計算是相同的，兩個乘數的意義是不一樣的。最后的“議”著重引導學生關注兩個計算公式有什么相同的地方，學生的那句“它們都是鄰邊相乘”可謂是字字千金，這也正是教師苦心經營所期望實現的目標。

綜上，同樣的教學內容之所以有不同的教學設計，絕非為了標新立異刻意為之，而是不同的教學思考在教學形式上的具體體現。形式是為內容服務的，教什么比怎么教更重要！

（責編金鈴）