多波束測深中聲速剖面的分層EOF自適應重構

劉楊范，王振杰,2，趙 爽

(1.中國石油大學(華東)地球科學與技術學院，山東青島266555；2.海洋國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室，山東青島266071)

0 引 言

海水聲速剖面的深度修正在多波束測深中非常重要。聲速剖面的深度修正是根據聲速剖面，采用常梯度聲線跟蹤法，通過采用分層計算和逐層追加的方法計算分層深度，進而對聲線彎曲進行修正。因此，若海水聲速剖面存在誤差，將會嚴重影響多波束測深精度[1-3]。為了提高多波束測深的精度，需對存在誤差的聲速剖面進行修正，使其接近真實的聲速剖面[4]。聲速剖面重構是一種有效的聲速剖面誤差修正方法。

文獻[5]證明了在最小均方誤差意義下，經驗正交函數(Empirical Orthogonal Functions, EOF)是描述聲速剖面最有效的基函數，通常只需要前2～3階的經驗正交函數就能夠精確地表示測區內任意一條聲速剖面。文獻[6]證明了即使對于與平均聲速剖面存在顯著差異的聲速剖面，通常最多也只需要前5階經驗正交函數就能夠精確地表示聲速剖面。文獻[7-9]探討了在淺海中采用前幾階經驗正交函數表示聲速剖面的可行性。文獻[10]證明了EOF重構的聲速剖面具有較高的內符合精度，能夠較好地描述實際聲速剖面，對聲速改正后得到的水深數據能夠滿足多波束水深測量的要求。文獻[11]證明了采用經驗正交函數表示聲速剖面時，取前6階及以上的經驗正交函數，就可使利用重構聲速剖面進行多波束測深時的有效波束比達到100%。上述研究成果表明，利用前2～7階經驗正交函數可以精確地重構聲速剖面，提高多波束測深精度。

但在多波束測深過程中的聲速剖面誤差修正時，傳統的EOF重構聲速剖面測深的階次選取方法沒有考慮聲速淺水和深水的區別[12-16]，尤其是海水性質變化劇烈地區、時間跨度大的聲速剖面，一般將聲速剖面作為一個整體進行計算，確定出整體聲速剖面的階次[17-19]。該方法的實現過程中，經驗正交函數的階次較多，因此計算量大。聲速受溫度、鹽度和壓力的影響，在淺水海水溫度變化劇烈，使得聲速時空變化顯著，而在深水海水溫度比較穩定時，聲速變化平穩[1-3]。本文考慮到聲速淺水的復雜性和深水的平穩性，給出了利用分層EOF重構聲速剖面測深的階次確定方法。此方法考慮了淺水區和深水區的聲速性質差異，將聲速剖面分為上層和下層，在滿足多波束水深測量限差的要求下，確定出上層和下層合理的階次，減少了計算量，提高了測深精度。

1 聲速剖面分層EOF重構原理

設有N條已知的聲速剖面，由于實際條件的限制，每條聲速剖面的采樣點不可能完全在等深度處采樣，所以采用三次樣條插值[20-21]得到等深度處的聲速。將N條聲速剖面內插到M個等深度處的標準層，并將聲速剖面分為上下兩層，上下兩層的分界點深度為Kh，那么N條聲速剖面表示成矩陣形式C為

式(1)中：Cu、Cd分別表示上層和下層的聲速剖面。右邊項的每一行代表每一條聲速剖面在等深度處的聲速值，每一列表示一條聲速剖面的聲速值。

求取式(1)中每一行的平均值，得到平均聲速，表示成矩陣的形式為

聲速剖面相對于平均聲速剖面的差值為ΔC，表示成矩陣的形式為

式(3)中，ΔCu、ΔCd分別表示上層和下層的聲速剖面與平均聲速剖面的差值。

定義上層和下層的協方差矩陣為

式(4)中，Ru、Rd分別表示上層和下層的協方差矩陣。

Ru中的每一個元素Rij可表示為

Rd中的每一個元素Rij可表示為

對上層和下層的協方差矩陣求解特征向量：

式(7)中，λu和Fu分別為Ru的特征值矩陣和特征向量矩陣。λd和Fd分別為Rd的特征值矩陣和特征向量矩陣。λu=diag[λu1λu2…λuK]，λd=diag[λd1λd2…λd(M-K)]。特征值均按從大到小排列。Fu=[fu1fu2…fuK]，fui為λui所對應的特征向量。Fd=[fd1fd2…fd(M-K)]，fdj為λdj所對應的特征向量。

上層取前i階，下層取前j階的分層EOF函數重構系數矩陣Aij為

式(8)中，Aui為上層取前i階的分層EOF函數重構系數，Adj為下層取前j階的分層EOF函數重構系數。Fui為Fu前i列，Fdj為Fd前j列。

測區內任意一條聲速剖面可以用上層前i階和下層前j階分層EOF函數表示為

式(9)中，Cl為第l條聲速剖面，l=1,2,…,N。

2 分層EOF重構聲速剖面測深的階次確定步驟

本文給出了分層EOF重構聲速剖面測深的階次確定方法。算法流程見圖1，方法詳細步驟如下：

(1) 從中國Argo實時資料中心獲取溫度、鹽度、壓力數據[19]，進行預處理，采用WD Wilson聲速經驗公式[1]，根據剖面的溫度、鹽度和壓力計算聲速剖面，利用三次樣條插值將聲速剖面內插到垂直標準層。

(2) 確定聲速剖面上下層的深度界限。計算每一深度聲速剖面的均方根誤差，將每一深度與其相鄰深度的均方根誤差的平均值作為其均方根誤差均值，設置閾值。深度由深到淺，判斷每一深度的均方根誤差均值與閾值的大小，當均方根誤差均值大于等于閾值時，所對應的深度即為聲速剖面上下層的深度界限。

(3) 設置初始上層、下層的階次和水深值H，根據分層EOF重構聲速剖面。

(4) 預設初始入射角，讀取實測聲速剖面，根據常梯度聲線跟蹤法(以層內聲速變化為常梯度，并采用分層計算和逐層追加的方法對聲線彎曲進行補償)[2]計算聲波的傳播時間T，并作為重構聲速剖面的參考時間，結合重構聲速剖面，計算利用重構聲速剖面的波束水深值H′[10]，傳播時間T為

式(10)中：N表示實測聲速剖面的層數；θi和θi+1分別表示實測聲速剖面第i層和第i+1層的入射角；gi表示實測聲速剖面第i層的梯度；Ci和Ci+1分別表示實測聲速剖面第i層和第i+1層的聲速；Δzi表示第i層的深度差。重構聲速剖面第i層的聲波傳播時間ti為

圖1 確定聲速剖面EOF重構的分層階次的算法流程圖Fig.1 Flow chart of determining the orders of layered EOF reconstruction of sound velocity profile

式(12)中，M表示使等式成立的ti的個數。

深度誤差σ為

(5) 統計符合0.25%水深限差要求的波束數，判斷全部聲速剖面的有效波束比是否達到100%。如果是，則確定出合理的上層和下層階次，實驗結束。反之，則繼續以下步驟。

(6) 利用常梯度聲線跟蹤法計算實際聲速剖面上層和下層的聲波傳播時間T1和T2，結合重構分層聲速剖面，計算各個波束上層和下層的水深值H1和H2。T1、T2、H1和H2的計算公式與步驟(4)中類似。

(7) 自適應階次選取。利用實際聲速剖面上層的水深值減去步驟(6)中所計算的各個波束上層的水深值，取絕對值，對它們求平均即可求得波束上層的平均水深誤差，同樣可得波束下層的平均水深誤差。判斷波束上層的平均水深誤差乘以上層深度是否大于波束下層的平均水深誤差乘以下層深度。如果是，則上層的EOF階次加1，反之，則下層的EOF階次加1。然后重復步驟(4)～(7)，直到確定出合理的上層和下層階次。

3 算例分析

選用中國Argo資料實時中心發布的《全球Argo浮標剖面觀測資料質量再控制數據集》[22]，選取出136°E～139°E、32°N～35°N區域、2009年的91條剖面數據，深度為10～150 m，層厚為1 m。分層EOF可能會使重構的聲速剖面在分層處存在聲速不連續的問題，因此本文使上層和下層的聲速剖面有10 m深度的重疊，上下層聲速剖面重構后在重疊處取平均值。

3.1 聲速剖面上下層深度界限的選取

聲速剖面上下層的深度界限直接影響重構聲速剖面上下層的EOF階次?？紤]到聲速剖面淺水復雜性和深水平穩性的特征，采用聲速剖面的均方根誤差均值確定聲速剖面上、下層的深度界限。聲速剖面的均方根誤差如圖2所示，閾值為13 m·s-1。

圖2 聲速剖面的均方根誤差Fig.2 Root mean square error of sound velocity profile

由圖2可知，深度為10～67 m左右時，聲速剖面的均方根誤差均值起伏較大，變化范圍為13.770～39.908 m·s-1；深度為67～150 m時，聲速剖面的均方根誤差均值變化平穩，范圍為10.923～12.786 m·s-1。根據閾值判斷出聲速剖面上下層的深度界限為67 m。

3.2 EOF各階次的方差貢獻率

方差貢獻率[23]指每一階經驗正交函數包含聲速場信息的百分比。其計算公式為

式(16)中，σi表示第i階方差的貢獻率，λi表示協方差矩陣的特征值(經過從大到小排列的第i個特征值)，n表示協方差矩陣的行號。

累計方差貢獻率指前幾階經驗正交函數方差貢獻率的和。表1、表2、表3分別為上、下層以及不分層EOF重構的前7個階次的方差貢獻率。

從表1～3可以得出前6階的累計方差貢獻率都超過了95%，可見前幾階的EOF函數包含了測區內聲速場的主要信息，而剩余階次的EOF函數反映了測區內聲速場的細微變化。

對比表1和表2可以得出，對于前7個階次的EOF函數，分層EOF下層各階次的累計方差貢獻率高于分層EOF上層相對應階次的累計方差貢獻率。驗證了上層聲速的復雜性和下層聲速的平穩性，也說明了下層的聲速剖面可以用更少的階次有效地表示。將表1和表2與表3進行對比可以得出，分層EOF各階次的累計方差貢獻率高于EOF相對應階次的累計方差貢獻率。這是由于分層EOF函數考慮了淺水和深水的區別，對不同的層采用不同的階次，使得淺水聲速的復雜性與深水聲速的平穩性不會相互影響。因此從累計方差貢獻率考慮，使用相同階次的分層EOF重構聲速剖面的精度高于EOF重構聲速剖面的精度，或者重構聲速剖面精度相當時，分層EOF的運算量小于EOF的運算量。

表1 上層EOF重構的前7個階次的方差貢獻率Table 1 Variance contribution rate of the first 7 orders for the upper layer of EOF reconstruction

表2 下層EOF重構的前7個階次的方差貢獻率Table 2 Variance contribution rate of the first 7 orders for the lower layer of EOF reconstruction

表3 不分層EOF重構的前7個階次的方差貢獻率Table 3 Variance contribution rate of the first 7 orders of unlayerd EOF reconstruction

3.3 分層EOF重構聲速剖面的誤差分析

采用每個樣本序列的聲速均方根誤差以及不同深度的聲速均方根誤差進行誤差分析，結果如圖3所示。圖3中分層EOF的上層階次為前5階，下層階次為前2階，EOF使用的階次為前5階。

從圖3(a)中可以看出，對于所有的樣本序列，分層EOF的聲速均方根誤差總體小于EOF的聲速均方根誤差。分層EOF的聲速均方根誤差平均值為0.909 m·s-1。EOF的聲速均方根誤差平均值為1.940 m·s-1。從圖3(b)中可以看出，對于不同的水深，分層EOF的聲速均方根誤差總體小于EOF的聲速均方根誤差。分層EOF上層的聲速均方根誤差平均值為0.617 m·s-1；分層EOF下層的聲速均方根誤差平均值為1.182 m·s-1。EOF上層的聲速均方根誤差平均值為1.367 m·s-1；EOF下層的聲速均方根誤差平均值為2.092 m·s-1。這說明分層EOF相較于EOF，提高了聲速剖面的重構精度。分層EOF的下層階次少于EOF的階次，表明分層EOF降低了聲速剖面重構的運算量。

圖3 分層與不分層EOF重構的比較Fig.3 Comparison between layered EOF and unlayered EOF reconstructions

3.4 確定滿足測深改正要求的分層EOF階次

上述實驗分析說明，分層EOF能夠精確地表示實測聲速剖面，但對于使用分層EOF重構的聲速剖面進行聲速修正引起的水深誤差能否滿足測深要求，需要進一步分析。美國國家海洋與大氣局規定[24]：若使用的聲速剖面與實際聲速剖面對測深修正造成的互差超過0.25%水深視為超限。有效波束比為：滿足水深限差的波束占總波束的百分比[25]。統計不同分層EOF階次組合下的各種信息，采用自適應階次選取確定出滿足測深修正要求的分層EOF階次，結果如圖4所示。

為了方便表示，圖4中7/2表示分層EOF上層取前7階、下層取前2階，其余同理。為了從圖4(d)中更好地比較分層EOF和EOF的水深修正最大偏差，將EOF階次與分層EOF的上層階次相對應，如圖4(d)所示。

從圖4(a)和圖4(b)可以看出，當分層EOF上層取前7階、下層取前2階時，平均有效波束比為100%，有效波束比達到100%的聲速剖面條數為91條。雖然第4個階次組合的平均有效波束比、有效波束比達到100%的聲速剖面條數和第5個階次組合的平均有效波束比相比前幾個階次組合有所降低。但從圖4(c)可以看出，平均水深誤差一直減小，說明隨著階次增加，整體水深誤差持續減小，即利用分層EOF重構聲速剖面進行聲速修正后的水深精度越來越高。從圖4(d)可以得出，隨著階次的增加，分層EOF的水深修正最大偏差呈現總體下降趨勢，并且從EOF前3階次開始，分層EOF的水深修正最大偏差小于EOF的水深修正最大偏差，說明分層EOF相較于EOF，提高了多波束測深修正精度。當分層EOF上層取前7階、下層取前2階和EOF整體取前7階時，兩者的水深修正最大偏差都小于0.25%水深改正限差，但分層EOF下層的階次明顯少于EOF的階次，表明分層EOF相較于EOF降低了多波束測深的運算量。

圖4 確定滿足測深修正要求的分層EOF重構階次Fig.4 Determination of the orders of layered EOF reconstruction that satisfies the correction requirement of bathemetric sounding

4 結 論

本文針對海水性質變化劇烈地區的聲速剖面，利用分層EOF重構聲速剖面，根據自適應階次選取方法，在滿足0.25%水深限差的要求下，研究利用分層EOF重構聲速剖面測深的階次選取方法，并與傳統EOF(對水層整體取同一階次)重構聲速剖面測深的階次選取方法進行比較，得出如下結論：

采用前幾階分層EOF重構的聲速剖面能夠精確地描述實際聲速剖面，并且隨階次增加，越來越接近實際聲速剖面。不同于傳統EOF，分層EOF對不同的層采用不同的階次，使淺水的復雜性和深水的平穩性互不影響。分層EOF重構的聲速剖面相比傳統EOF重構的聲速剖面，提高了聲速剖面重構精度，降低了運算量。

在本文選取的聲速剖面中，利用上層前7階、下層前2階分層EOF重構的聲速剖面進行測深修正時，滿足多波束的水深測量要求，合理地確定了分層EOF重構聲速剖面的上層和下層階次。相比傳統EOF重構聲速剖面測深的階次選取方法，考慮了聲速淺水的復雜性和深水的平穩性，分層EOF重構聲速剖面測深的階次選取方法提高了多波束測深修正精度，降低了計算量。由于不同聲速剖面受區域、時間、采樣等因素的影響，因此其它算例中的上下層階次可能會與本算例略有不同，但本文所提方法和所得規律性結論均具有普適性。本文中聲速剖面上下層深度界限的閾值與上下層的重疊深度是根據綜合分析實驗中的聲速剖面，結合經驗人為選取所得。關于閾值和重疊深度的確定方法還需進一步研究。