層狀材料不同幾何表面間隔破裂的數值研究

朱 旭, 馬天輝

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室， 遼寧 大連 116024)

間隔破裂現象是地殼巖層、巖土工程及材料工程等結構中十分常見的一種破裂現象，當材料受到應力直接作用或溫縮、干縮等導致的應力間接作用時均可能發生。根據以往的實地觀察及實驗總結，可以按其分布形態的不同，將其分為三種破裂模式：條狀間隔破裂、網狀間隔破裂和環狀間隔破裂(分區破裂化)[1]，其中條狀間隔破裂和網狀間隔破裂主要發生在層狀材料結構中。層狀材料表面的條狀間隔破裂表現為二維的相互平行的近似等間距的裂紋，這種裂紋在混凝土路面極為常見(見圖1(a))；網狀間隔破裂表現為三維網狀的近似等空間裂紋，按形態還可以更具體地分為梯狀裂紋(見圖1(b))，常見的如樹皮，和網狀龜裂紋，包括土地龜裂，瀝青混凝土路面[2]，立柱油漆涂層干裂產生的網狀裂紋(見圖1(c))以及陶瓷表面因冷縮產生的龜裂(見圖1(d))等。可以發現，間隔破裂現象在不同材料及不同幾何表面上表現出相似的形態，具有某種規律性。

圖1 間隔破裂現象示例

由于間隔破裂現象涉及的領域廣泛，這一問題受到了各大領域科學家以及學者們的廣泛關注。在過去的幾十年里，已有很多學者圍繞理解層狀材料間隔破裂現象的形成機制及演化規律展開了理論[3-4]、試驗[5]及數值[6]等多方面的研究。例如Thouless等[7-8]分析了基于彈性均勻系統的表面脆性薄膜在拉伸作用下形成的一系列相互平行的等間距裂紋，并提出裂縫間距與薄膜厚度的平方根成正比；Rives等[9]通過在基層上的脆性涂層中產生邊緣裂縫來模擬層狀巖石中的裂縫形成；Wu等[10]描述并比較了兩種測量裂縫間距的方法，并對層面上的兩種斷裂模式進行了比較，他提出了一個重要的概念，即裂紋飽和現象，這是一種當施加的應變達到一定值時，隨著應變的繼續增加，裂紋間距不再增加而是趨于恒定的現象，他提出達到飽和的裂縫間距是層厚度的函數，與應變無關；2000年，Bai等[11-12]建立了帶有預置裂紋的雙層及三層層狀材料數值模型，首次從兩條相鄰裂紋的應力場分布角度對間隔破裂現象形成及飽和機制進行了系統的探討。

盡管間隔破裂現象的研究已經進行了數十年，但大多數的理論和數值分析僅考慮了二維平面模型或三維平板模型，難以揭示在不同的幾何表面上形成這種相似的裂紋形態是否遵循著相同的規律。此外，現有的對于間隔破裂現象的數值分析多是基于應力分析方法進行的，很少能通過數值手段對間隔破裂過程和裂縫形態進行再現。Tang等[13]采用RFPA3D對帶有非均質夾層的三層平板模型的間隔破裂過程進行數值試驗取得了良好的效果。

本文旨在通過模擬不同幾何表面在不同加載比及不同層厚比控制下的間隔破裂現象，進而理解其裂縫形態及控制因素的規律性，為進一步探究巖層或工程中這種規則的間隔破裂現象的形成機制提供參考。

1 數值方法和模型描述

本文采用了有限元分析系統RFPA3D[14]對不同幾何面三維模型進行數值研究。RFPA3D是三維的真實破裂過程分析系統(Realistic Failure Process Analysis，RFPA)，它可以基于應力分析方法(有限元方法)和彈性損傷理論對準脆性材料(例如巖石、混凝土、陶瓷等材料)的漸進破壞過程進行模擬[15-16]。它首先將材料模型離散化成由細觀單元組成的數值模型，通過韋伯分布規律對離散化后的計算模型細觀單元的材料力學參數進行賦值，以描述材料的非均質性。韋伯分布的基本方程如公式(1)所示，它主要由兩個參數控制：u0為單元材料力學性質參數的平均值，例如強度，楊氏模量和泊松比等；m為材料均質度指標，m越大，表示材料越均勻，反之亦然。

φ(u)=(m/u0)(u/u0)m-1×exp[-(u/u0)m]

(1)

單軸應力狀態下的彈性損傷本構關系被用于描述細觀單元的變形和破壞，如圖2所示。對于彈脆性材料，起初這些單元都被視為彈性的，并且在達到給定的損傷閾值之前，均保持線彈性變形特征。這里最大拉應力準則和莫爾-庫侖準則分別用來判斷單元拉伸破壞和剪切破壞的損傷閾值。

本文主要是通過對不同幾何表面產生間隔破裂現象的模擬，進而發現其規律性及影響因素。為此建立了三種幾何表面的雙層三維數值模型，包括平面模型、柱面模型和球面模型，以研究不同幾何表面在恒定應變增量Δ的準靜態加載條件下，間隔破裂的演化規律的異同。三種模型的尺寸及邊界條件如圖3所示，平面模型的長寬均為150 mm，柱面模型在軸向上均為200 mm長，球面模型和柱面模型最外層半徑r3均為100 mm。為了研究層厚對間隔破裂形成及裂紋形態的影響，所有模型均保持基層厚度T恒為15 mm，表層厚度t變化為5 mm、10 mm、15 mm和30 mm。以5 mm表層厚度的平面模型為例(見圖3(a))，該模型尺寸為150 mm×150 mm×20 mm，由450 000個(150×150×20)8節點六面體單元組成，即每個細觀單元均為1 mm的小立方體，其余模型以此類推。

圖2 單軸應力狀態下細觀單元的彈性損傷本構關系

三種模型均是在恒定應變增量Δ的準靜態加載條件下產生破壞，邊界條件如圖3所示。根據Tang等[13]采用RFPA3D模擬三層平板模型間隔破裂過程的數值研究經驗，他提出通過改變不同方向的加載比λ，可以實現非均質層的裂紋形態從平行裂紋到梯狀裂紋再到多邊形裂紋的連續轉變。據此，本文主要研究三種不同幾何表面的模型是否都可以實現裂紋形態的轉變。所有模型都選取相同的表層厚度t為5 mm。

模型的材料力學參數如表1所示。由于要控制裂縫只出現在表層，限制基層中產生裂縫，雙層模型中每層材料的力學參數是不同的。在本文的模型中，表層比基層均質度m低，也就是更加不均勻。表層的彈性模量E是基層的幾倍，這樣在同樣的應變下，表層會產生更大的拉應力。此外，基層的強度設定為比表層的強度高出許多倍，這樣表層就會先發生破壞。

圖3 三種模型尺寸及邊界條件描述

表1 模型材料力學參數

2 模擬結果分析

2.1 加載比對不同幾何表面間隔破裂形態的影響

在平板模型中，將λ定義為y方向上的位移增量與x方向上的位移增量的加載比(λ=Δy/Δx)，見圖3(a)。分別取λ為0、1/5、1/2、1進行模擬，模擬結果見圖4。在單軸拉伸的作用下(λ=0)，即模型僅在x方向被拉伸，裂縫幾乎完全垂直于x方向產生，最終形成一組平行的近似等間距的裂縫(見圖4(a))。而后，隨著λ值的增大，逐漸出現y方向的位移增量，起初多數裂縫仍然垂直于x方向發展，但出現少數垂直于y方向的裂縫，λ值越大，垂直于y方向的裂縫越多。可以觀察到，在雙向拉伸作用下，即λ變化范圍為0.2到0.5時，最終裂紋形態是像梯子的梯級一樣分布的梯狀裂縫(見圖4(b)、圖4(c))。當λ值變為1時，模型表面出現近似規則的多邊形網狀裂縫(見圖4(d))。

圖4 不同加載比作用下平面模型表面間隔破裂形態

類似地，在圓柱模型中，也將λ定義為兩個不同方向加載增量的值-軸向上的位移增量與徑向上的位移增量的加載比(λ=Δz/Δr)，見圖3(b)。這里取λ為0、1、2、5進行模擬，模擬結果見圖5。在加載比λ=0時，也就是此時僅有徑向位移，得到的均為近似平行于軸向的等間距裂縫(見圖5(a))。隨著λ值逐漸從0變大，開始出現軸向的位移增量，當加載比λ=1時，得到近似規則的多邊形裂縫(見圖5(b))。隨著λ值的繼續增大，更多平行于周向的裂縫出現(見圖5(c)、圖5(d))。也就是說隨著λ值從0到大于1的值的變化，最終裂紋形態可以實現從完全平行于軸向的平行裂縫到完全平行于周向的平行裂縫的連續過渡。

圖5 不同加載比作用下柱面模型表面間隔破裂形態

然而，在球殼模型中，由于球殼表面是一個封閉的曲面，只有內外表面兩個自由表面，因此它只能實現內部向外的徑向擴張一種加載方式，見圖3(c)，不存在不同方向加載比的變化。模擬結果見圖6，球殼模型表面只能形成近似規則的多邊形網狀裂縫，相應地，在平面模型加載比λ=1，也就是雙軸同增量拉伸時會產生多邊形網狀裂縫(見圖4(d))。而同樣僅在徑向載荷作用下，圓柱模型表面則是出現平行裂縫(見圖5(a))，相應地，在平面模型加載比λ=0，即單軸拉伸的情況下會產生平行裂縫(見圖4(a))。因此，與平面模型的數值結果對照下，可以推測出，在球殼模型中，徑向載荷導致沿著層面的雙軸同增量拉伸應力，而在圓柱模型中，徑向載荷則是導致沿圓周方向的單軸拉伸應力。

圖6 徑向載荷作用下球殼模型表面間隔破裂形態

2.2 層厚比對不同幾何表面間隔破裂形態的影響

以往已有研究表明破裂層厚度是裂紋密度的影響因素，其多是對于裂紋數量不大的二維裂紋，通過人工計量的方式對裂紋數量及裂紋間距等進行統計，但對于裂紋數量較大的二維裂紋，或形態較為復雜的三維網狀裂紋，就很難通過人工計量的方式進行統計。為了能夠更為直觀和定量地研究層厚對三種不同幾何表面裂縫密度的影響，進一步探索不同幾何表面上間隔破裂規律的異同，本文將借助裂隙圖像分析系統(CIAS)[17-18]對達到裂縫飽和的最終裂縫形態圖像進行量化統計，其示意圖如圖7所示。該系統可以對得到的裂縫圖像(見圖7(a))進行二值化處理(見圖7(b))，從而對裂塊進行識別(見圖7(c))，并對一系列統計參數進行統計計算，我們可以根據需求選取所需的統計參數。

圖7 通過CIAS系統[17]進行裂隙圖像處理示意圖

由于要進行三種幾何表面的對比，主要統計三種幾何表面均可產生的多邊形網狀裂隙的多邊形裂塊的塊數N，和每個裂塊的平均面積S，如圖7(c)所示。并采取不同的下標進行區分，平面模型(Flat)、柱面模型(Cylinder)、球殼模型(Sphere)分別采用f、c、s作為下標。為了使分析更具實際意義，對統計的數據進行基于總和標準化的無量綱處理，即將得到的平均多邊形裂塊面積都除以相應的表面積，所得到的標準化平均多邊形裂塊面積是一個0到1的參數，故也稱作歸一化參數。對于表面破壞層厚度，也對其進行無量綱處理，由于表面破壞層的薄厚都是相對于基層而言的，故分析破壞層厚度對間隔破裂的影響實際上就是分析表面破壞層厚度t與基層厚度T的比值(η=t/T)對間隔破裂的影響，故以下分析中就取η為自變量，以達到無量綱分析的效果，t為5、10、15、30對應的η為0.33、0.67、1.00、2.00。

圖8(a)—圖8(c)分別表示了不同表層基層層厚比η與在加載比λ=Δy/Δx=1的雙向拉伸作用下的平面模型、在加載比λ=Δz/Δr=1的雙向載荷作用下的柱面模型和僅在徑向載荷作用下的球殼模型表面多邊形網狀裂塊數N和相應的平均裂塊面積S之間的關系，每種層厚比對應的裂縫形態也在圖中有所展示。結果表明，無論哪種幾何表面，當層厚比η為0.33時的裂塊數量都比層厚比η為2時多達10倍以上，而相應的平均裂塊面積要小得多，且隨著層厚比η的增大，多邊形數量逐漸減少，尤其η從0.33增大到0.67的區間，減小的幅度明顯，而相應的平均裂塊面積越來越大。

然而，根據以上統計得到的曲線圖8可以看出，雖然大體上的增減趨勢相同，但還是存在一些差異，為了更為直觀的觀察三種幾何面在不同層厚比下的裂縫統計曲線趨勢的差異，將三種幾何面網狀裂縫統計曲線繪制在同一坐標系下，如圖9所示。三條實線表示破裂層厚度對多邊形裂塊數的影響，由于三種幾何面具有不同的尺寸，我們不對具體數值做比較，僅觀察趨勢發現，三條實線具有相同的趨勢，隨著層厚比η的增大，多邊形裂塊數量單調減少并逐漸趨于1。這表示隨著表面破壞層相對于基層厚度達到一定值時，破壞層幾乎不產生裂縫。

三條虛線表示破裂層厚度對歸一化的平均多邊形裂塊面積的影響，可以觀察到代表柱面和球面的兩條虛線是近乎重合的，而板面則表現出不同的趨勢，即平面模型表面的裂塊面積表現為隨層厚比η增大而先大幅增加，再逐漸變緩表現出收斂的趨勢，而球面和圓柱面的裂塊面積表現為起初緩慢增長逐漸增速變快。這種趨勢的差異有可能是受平面模型有限邊界的影響，相對于柱面和球面分別屬于半閉合和閉合曲面，平面的邊界很大程度的限制著裂塊的大小。此外，可以觀察到，在相同的層厚比η條件下，平面表面的歸一化平均裂塊面積較球面和柱面的大。可以推測在相同的層厚比η條件下，曲面比平面產生的裂縫更密，裂塊更小。但這一初步的推測還存在一些不確定因素，如三種不同的幾何表面的尺寸差異，尤其對于平面的有限邊界來說，尺寸的大小很大程度上限制著破裂的發展。有限邊界對破裂的限制及曲面的曲率對于裂紋密度的影響還需進一步探索。

圖8 層厚比分別與三種幾何表面多邊形裂塊數和歸一化平均裂塊面積的關系及相應的破裂形態

圖9 層厚比與三種幾何表面多邊形裂塊數和歸一化平均裂塊面積的關系對比

3 結 論

(1) 裂縫形態的轉變取決于不同加載條件。在平面和柱面模型表面都可以通過改變不同方向的加載比實現三種裂縫形態(平行裂縫、梯狀裂縫、網狀裂縫)的連續轉變，而在球殼模型表面，只能形成網狀裂縫。在球殼模型中，徑向載荷導致沿著層面的雙軸同增量拉伸應力，而在圓柱模型中，徑向載荷則是導致沿圓周方向的單軸拉伸應力。

(2) 表層與基層厚度比與表面裂縫密度的關系不受模型表面的幾何形狀的影響。即無論哪種幾何表面，隨著厚度比η從0.33增大到2，表面裂塊數量均減少10倍以上，并逐漸趨近于1。這表示隨著表面破壞層的厚度相對于基層厚度達到一定值時，破壞層幾乎不產生裂縫。

(3) 推測在相同的層厚比條件下，曲面比平面產生的裂縫相對更密，形成的網狀裂塊相對更小。