具有平方反比勢的非齊次非線性Schr?dinger方程駐波的強不穩定性

李玉林，黃 娟，周 凡

（四川師范大學數學科學學院，四川成都610066）

本文研究如下具有平方反比勢的非齊次非線性 Schr?dinger方程

當a＝0時，方程（1）是三次非齊次非線性Schr?dinger方程.Guzmán［1］根據 Strichartz 估計的收縮映射原理［2］在空間H1（RN）中，得到該方程解的局部適定性.在2016年，Farah［3］利用Weinstein［4］相似的方法得到該方程的一個整體解，并且獲得了方程的最佳Gagliardo-Nirenberg不等式.隨后，Dinh［5］得到了徑向初始值的爆破解.

當b＝0時，方程（1）是三次具有平方反比勢的非線性 Schr?dinger方程，Killip 等［6］同時在空間H1（R3）中得到其解的局部適定性，通過文獻［7-8］相似的方法，建立了方程（1）的一個解在有限時間爆破和解散射的門檻條件.Killip等［9］在空間H1（Ω）中，得到該方程具有Dirichlet邊界條件的整體解和散射解.最近，Bensouilah等［10］得到了徑向基態駐波的強不穩定性.

綜上，可以看到對于a＝0或者b＝0的非線性Schr?dinger方程駐波解的穩定性的研究已有一些結果，但對于a≠0且b≠0時，現有文獻并未發現有對其駐波解穩定性的研究.因此，本文致力于研究這類帶平方反比勢的非齊次非線性Schr?dinger方程駐波的強不穩定性.同時，方程（1）把非線性項推廣到更加一般的情況，這是吸引我們研究該問題的又一原因.

1 預備知識

2 爆破解的存在性

注2.1當a＝0時，在文獻［13］中，得到方程（1）關于初值u0的解u在有限時間內爆破，這正好與定理2.1的結論吻合.

注2.2事實上，當b＝0時，定理2.1也成立，這也正是文獻［14］中的結論.

3 駐波的強不穩定性

下面討論方程（1）駐波解的強不穩定性.從（9）式的變分問題和最佳Gagliardo-Nirenberg不等式得到方程（1）駐波解u（t，x）＝eitQ（x）的存在性，其中Q（x）是方程（4）的一個基態解.

定義3.1如果對任意δ＞0，存在u0∈H1（R3），使得‖u0-Q‖H1＜δ，并且方程（1）關于初值u0的解u必須在有限時間內爆破，即對于T＞0，使得，則稱駐波解u（t，x）＝eitQ（x）在空間H1（R3）中是強不穩定的.

定理3.1對于，0≤b＜1，方程（1）的駐波解u（t，x）＝eitQ（x）是強不穩定的.

證明從文獻［15］和命題2.1的證明知，當u∈H1（R3）＼｛0｝，有S（u）＝0或R（u）＝0.那么對于任意μ＞1，得到S（μu）＜0，R（μu）＜0.一方面，對任意δ＞0，存在μ＞1，使得‖μQ-Q‖H1＜δ.另一方面，對任意μ＞1，有I（μQ）＜I（Q），S（μQ）＜S（Q）＝0和R（μQ）＜R（Q）＝0.因此，μQ∈K.因為Q是方程（4）的解，并在無窮遠處呈指數衰減，取u0＝μQ.因此，駐波解u（t，x）＝eitQ（x）在空間H1（R3）中是強不穩定的.

注3.1當a＝0時，由定理3.1知，方程（1）的駐波解u（t，x）＝eitQ（x）在空間H1（R3）中是強不穩定的，這與文獻［13］結論一致.

注3.2事實上，當b＝0時，也可以得到同樣的結論：方程（1）的駐波解u（t，x）＝eitQ（x）在空間H1（R3）中是強不穩定的，這與定理3.1的結論保持一致.

4 附錄