對流Cahn-Hilliard方程的全局吸引子和分歧

張 強，李俐玫

（1.中國民用航空飛行學院計算機學院，四川廣漢618307； 2.四川師范大學數學科學學院，四川成都610066）

本文研究如下用于描述晶格氣體［1］和二元合金相分離［2］的帶對流項的Cahn-Hilliard方程

其中，u（x，t）是未知函數，μ∈R是系統參數，a≠0，b≥0是常數.

Leung［1］在系統（1）中參數μ小于某一臨界值的條件下得到了穩態解的表達式，并且發現氣體表面的不穩定性可以解釋相分離，但是并沒有給出相分離的機制.Emmott等［2］用系統（1）研究二元合金泡沫的動力學行為，發現了表面速度依賴于外加驅動場和分離表面的相對尺寸大小，然而精確的亞穩相分離機制并沒有得到.此外，Kwek［3］證明了系統（1）古典解的存在性，Gao等［4］找到了該系統的行波解，Watson等［5］討論了粗糙動力學，Eden等［6］研究了慣性流形，更多模型和研究參見文獻［7-10］.

當系統（1）中b＝0時，得到Kuramoto-Sivashinsky方程，它是物理中用于描述燃燒火焰前陣波傳播［11］、反應擴散［12］等現象的模型，并被學者們廣泛研究（參見文獻［13-14］）.這里需要說明的是文獻［14］分析了Kuramoto-Sivashinsky方程的吸引子分歧（該結果可以看作是本文的一個特例，見注3.1）.

利用文獻［15-16］建立的吸引子分歧理論，分析了系統（1）的動力學行為，得到了吸引子分歧和吸引子穩定性結果，從數學理論上給出相分離的準確機制.關于吸引子分歧的更多工作參見文獻［17-22］，關于分歧的研究可參見文獻［23-26］.

1 預備知識

根據文獻［27-28］，（2）式中定義的算子 A：H1→H是一個扇形算子，是H1在H2中的閉包.系統（1）解的存在性結果可以由標準的Galerkin方法獲得，本文在此省略.這樣系統（4）定義了一個算子半群S（t）：H→H，并且S（t）滿足S（t）u0＝u（·，t）.

2全局吸引子的存在性

下面給出關于系統（1）的全局吸引子存在性定理，該定理也將用于下一節主要結果的證明中.

定理2.1當μ≤1時，系統（1）在H中存在一個全局吸引子.

證明第一步，將系統（1）中第一個方程乘以u，并在（0，2π）上積分得到

3 吸引子分歧和吸引子的穩定性

下面將重點分析帶對流項的Cahn-Hilliard方程的動態分歧和分歧吸引子的穩定性，給出如下主要結果.

定理3.1對于系統（1）有如下結論成立：

1）當μ≤1時，u＝0是全局漸近穩定的；

2）當μ＞1時，穩定性從u＝0轉移到Ωμ，其中Ωμ是從u＝0處分歧出的一個吸引子；

3）Ωμ由系統（1）的穩態解構成并且同胚于S1；

4）Ωμ的表達式為

證明第一步，對系統（1）的線性算子Lμ作特征值和特征函數分析，Lμ對應的特征方程為

容易得到（21）式的特征值和標準正交特征函數為

可以推出對任一 θ∈R，δ（μ）sin（x+θ）+h（x+θ，δ）仍然是系統（1）的穩態解，所以下面的集合

由系統（1）的穩態解構成.從T的表達式可以看出T是H中的一個圓周S1.因為Ωμ與S1同胚，根據文獻［16］中的定理5.10可推出Ωμ＝T，所以Ωμ是由系統（1）的穩態解構成.定理3.1中的結論3）和4）得證.

注3.1定理3.1中的結論對于b＝0的情形同樣成立，即定理3.1對Kuramoto-Sivashinsky方程仍然正確.

致謝本文得到中國民航飛行學院青年基金（Q2014-54）的支持，謹致謝意.