一類時間分數階耦合Boussinesq-Burger方程在不變子空間中的精確解

李林芳，舒 級，文慧霞

（四川師范大學數學科學學院，四川成都610066）

1 前言

近年來，非線性分數階偏微分方程（FPDE）的研究引起了人們廣泛的關注.分數階導數的思想起源于萊布尼茨和洛必達討論的半階導數，后來由文獻［1-3］把它推廣到任意階導數，產生了分數階導數的多種定義.在現實中，一種自然現象可能不僅取決于時間，也取決于先前一段時間的歷史，這些可以通過分數階導數和積分來闡述.分數階微積分也是描述具有長期記憶和長期空間交互作用的物理系統的有力工具，不僅用于分析分數布朗驅動的隨機過程，也包括非隨機的分數物理現象，如多孔系統的研究、量子力學和非Newton流體力學等.然而，由于方法的限制，FPDE的研究受到了阻礙，導致具有多種特征（如周期解、混沌、奇異吸引子、分形等）的FPDE在一般情況下不能完全獲得精確解.因此，研究分數階偏微分方程的精確解是一個非常重要的課題.

本文研究如下時間分數階Boussinesq-Burger方程組

其中，u（x，t）是速度場，v（x，t）是高度，α是時間分數階導數，0＜α≤1.Boussinesq-Burger方程［4］是一個重要的偏微分方程組，產生于動態系統的研究.Kuma等［4］利用剩余冪級數法研究了該方程組的解，發現修正的同倫分析法獲取的結果更為準確.Wang等［5］應用多參數達布變換獲得該方程組的一些顯示解，包括2N孤子解與周期解.Mostafa等［6］利用廣義Kudryashov方法獲得該方程組的精確解.

目前構建非線性分數階偏微分方程精確解的方法主要包括：首次積分法［7-9］、同倫分析法［10-11］、指數函數展開法［12-14］和（G′/G）-展開法［15-17］等.近年來，一種基于不變子空間的解析方法為構建FPDE的精確解提供了一種有效工具.不變子空間方法最初由Galaktionov等［18］提出，后來經Gazizov等［19］推廣到非線性時間分數階標量偏微分方程.最近，Sahadevan等［20］將不變子空間方法擴展到非線性時間分數階耦合偏微分方程.通過該方法已經獲得 Hunter-Saxton方程［20］、Whitman-Broer-Kaup 方程組［20］和可壓縮歐拉方程［21］等的精確解.不變子空間方法的優勢在于：它是一種與對稱群相關的方法，通過這種方法，非線性演化方程可以被約化為有限維動力系統；同時它也是一個算法，可以為FPDE構造簡單的孤子解和相似解.

下面給出分數階導數的定義及性質［1，22］.

2 預備知識

不變子空間方法是與廣義條件對稱密切相關的構造非線性偏微分方程（組）廣義分離變量解的有效方法之一.下面介紹不變子空間方法及相關定義，分別對標量PDE、耦合PDE、時間分數階標量PDE和時間分數階耦合PDE進行闡述［20］.

3 Boussinesq-Burger方程組的精確解

下面應用不變子空間方法求解時間分數階Boussinesq-Burger方程組（2）.

按照第二節的方法，方程組（2）容許1個不變子空間：

4 結束語

應用不變子空間方法求解時間分數階耦合非線性PDE，并得到時間分數階Boussinesq-Burger方程組的精確解.不變子空間方法對于某些方程還可以允許多個不變子空間，從而得到多個不同的精確解.從結果來看，不僅獲取了該方程在分數階情形下的精確解，整數階情形下也一并獲得，這是其它方法所不能完成的.同時，相比其它方法，獲得的精確解的表達式也更為簡潔.因此，對于構建非線性分數階方程（組）的精確解，不變子空間方法是一種新的行之有效的方法，以后將用于更多非線性偏微分方程（組）的研究中.