基于歐拉角與微元分析的六自由度機械平臺運動模型

摘要：對六自由度機械平臺的運動進行了研究，引入歐拉角描述平臺的運動姿態(tài)和方向，將抽象的運動用具體的數(shù)值組合進行量化，并結(jié)合旋轉(zhuǎn)矩陣建立動態(tài)歐拉角模型。取ZYX的歐拉角組合進行實例演算，給出了支桿長度隨位移變化和傾角變化的關系圖像。

關鍵詞：機械平臺;動態(tài)歐拉角模型;旋轉(zhuǎn)矩陣

1 問題重述

六自由度機械平臺由6根帶伺服電動缸（或液壓裝置）的支桿、上下2個平臺以及上下各6只萬向節(jié)（或球面副）組成。下平臺固定在基礎設施上，通過6根支桿的伸縮運動，控制上平臺在空間6個自由度運動，即三維空間的X、Y、Z軸方向的運動以及分別繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的運動。

通過驅(qū)動支桿伸縮運動，六自由度機械平臺可以實現(xiàn)上平臺姿態(tài)變化。該機械平臺具有并聯(lián)結(jié)構(gòu)，即6個驅(qū)動器共同作用于一個平臺。這種設計優(yōu)化了系統(tǒng)剛度，承載能力強，且位置誤差不累計，但相較于串聯(lián)設計，其驅(qū)動方式也更為復雜。我們假設上平臺在初始狀態(tài)下與下平臺平行，通過對該機械平臺做適當?shù)暮喕图僭O，建立數(shù)學模型，在保持上平臺初始中心位置不變的情況下，能給出平臺向任意方向傾斜某一角度時6根支桿的長度隨傾角變化情況。

2 問題分析

在上平臺初始中心位置不變的情況下，六自由度機械平臺進行任意角度的傾斜，于是我們以上平臺初始中心位置為原點建立空間直角坐標系。引入歐拉角模型，通過旋轉(zhuǎn)矩陣計算，描述上平臺向任意方向傾斜某一角度時6根支桿的長度隨傾角變化的情況。

3 模型假設

（1）假設上下平面短邊所對的圓心角的度數(shù)相同。

（2）假設上平面中心質(zhì)點在平移時做勻速直線運動。

（3）假設上平臺繞不同軸轉(zhuǎn)動的角速度相同。

4 模型建立

4.1 ? ?六自由度機械平臺的結(jié)構(gòu)及參數(shù)

首先，我們將模型簡化成一個圓臺，運動上平臺的6個萬向節(jié)位于半徑為ra的圓周上，6個萬向節(jié)與上平臺的交點記為Ai（i=1，2，…，6），在圓周上均勻分布;運動下平臺的6個萬向節(jié)位于半徑為rb的圓周上，將其與下平臺的交點記為Bi（i=1，2，…，6），在圓周上均勻分布。選取坐標系OXYZ的坐標原點為上平臺外接圓圓心，并固定在上平臺上。運動平臺的初始高度（上下平臺間的垂直距離）為h。

4.2 ? ?歐拉角的引入

由于歐拉角非常適用于描述物體的姿態(tài)和方向，故在此利用歐拉角討論支桿的長度隨傾角變化的情況。

平臺向任意方向傾斜某一角度可以分解為3個過程：先繞某一軸旋轉(zhuǎn)γ角，再繞某一軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞某一軸旋轉(zhuǎn)α角。因此，我們引入歐拉角動態(tài)模型。

轉(zhuǎn)動的排列順序不同就有不同的歐拉組合。其中，最具代表性的是ZYX與ZYZ，在此我們選用ZYX組合。

5 模型求解

我們代入數(shù)值，得到6根支桿的長度隨傾角的變化情況如圖1所示（下面只展示1根支桿的情況）。

由上述圖形分析可知，當3個傾斜角α、β、γ都增大時，l1長度的變化量Δ1先增大后減小，存在極大值點。

由MATLAB繪圖可知，當3個傾斜角α、β、γ都增大時：

（1）l2長度的變化量Δ2先增大后減小，存在極大值點;

（2）l3長度的變化量Δ3、l6長度的變化量Δ6先減小后增大，存在極小值點;

（3）l4長度的變化量Δ4單調(diào)遞減，l5長度的變化量Δ5單調(diào)遞增。

6 模型評價

6.1 ? ?模型優(yōu)點

（1）引入了動態(tài)歐拉角模型，將上平臺保持初始中心不變的旋轉(zhuǎn)運動分解成先后繞x軸、y軸、z軸旋轉(zhuǎn)的運動，將抽象的運動用具體的數(shù)值組合表現(xiàn)出來，使模型更加清晰。

（2）利用MATLAB編程計算代碼，解算效率更高。

6.2 ? ?模型缺點

計算旋轉(zhuǎn)變換時，需要轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)矩陣，這時候需要計算很多復雜的三角函數(shù)式，計算量較大。

7 結(jié)語

本文在保持六自由度機械上平臺初始中心位置不變的情況下，通過引入歐拉角描述平臺向任意方向傾斜某一角度時的運動姿態(tài)，建立動態(tài)歐拉角模型，最終給出平臺在這一運動中6根支桿的長度隨傾角變化情況。

[參考文獻]

[1] 張尚盈，趙慧，韓俊偉.六自由度運動平臺實時控制的正/反解算法[J].機床與液壓，2003（3）：133-135.

[2] 黃真，李艷文，高峰.空間運動構(gòu)件姿態(tài)的歐拉角表示[J].燕山大學學報，2002（3）：189-192.

[3] 劉國軍.六自由度運動模擬平臺的分析及結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2014.

收稿日期：2020-05-07

作者簡介：胡璠樊（1999—），女，浙江溫州人，研究方向：學科數(shù)學。