從實驗操作之“橋”到推理論證之“根”

段曉霞

【摘要】? 數學是一門操作性、邏輯性很強的學科，對于初學幾何證明的學生而言，需要在思維的形象性與數學知識的抽象性之間架起一座橋梁，而實驗操作正是這樣一座從具體到抽象之間的橋梁。通過實驗操作尋求獲得定理推理認證的思路，可以有效地發展學生的數學抽象與邏輯推理能力，落實數學核心素養。

【關鍵詞】? 定理 操作 證明

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 【文獻標識碼】? A 【文章編號】? 1992-7711（2020）18-074-02

傳統的數學課堂中，對于幾何定理的教學往往存在重結果而輕過程的現象，但是數學是思維的體操，數學課堂不僅要傳授知識，幫助學生積累數學活動經驗、發展數學思維能力也是數學教學的重要目標.數學活動經驗需要在“操作”和“思考”的過程中積累，本文以北師大版八年級上冊《三角形內角和定理》為例，談談如何通過實驗操作，由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，進行幾何定理證明的教學。

數學知識的教學，要注重知識的生長點與延伸點。三角形內角和定理是三角形中最為基礎的知識，其內容是學生小學時即非常熟悉的，但也是學生第一次正式進行幾何定理的證明。因此這個內容看似簡單，但如果處理不好，會導致學生產生厭煩的心理。本節課可以通過折紙與剪紙等操作出發，讓學生獲得直接經驗，然后從直接經驗逐步轉到符號化處理，最后達到推理論證的目的。由此引導學生感受數學的整體性，體會對于同一數學知識可以從不同的層次進行理解。

一、實踐操作，猜測結論

小學時，學生已經知道了三角形的內角和是180°，七年級又通過活動再次驗證了這一結論，但測量也好，剪拼實踐操作也罷，都不可避免地存在一定的誤差，要說明這個結論的正確性，測量也好，實踐剪拼也罷，都會不可避免地存在一定的誤差。嚴格地說，三角形的內角和是180°目前還只是我們的一個猜想，要說明這個猜想的正確性，還需要嚴格的證明，即不僅要知其然，還要知其所以然，要從“是什么”，升級到“為什么”。

首先讓學生回憶，在我們學習過的知識中，還有哪些地方出現過180°？

學生會想到：平角、兩直線平行同旁內角互補。但是三角形的三個角是彼此分散的，怎樣才能把它們“湊”成一個平角或者是平行線被截所形成的同旁內角呢？《課程標準》指出：“教師應激發學生的積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能.”因此，教師可以讓學生運用撕紙的方法，引導學生從拼圖中尋找靈感。

對于這個定理，小學的時候教師就讓學生進行了拼接，到了初中還是拼接，其中有什么不同嗎？其實，這個區別是根本性的：小學的拼接僅限于發現定理的結論，而初中還要發現定理證明的思路。而實際上，如果僅用一個三角形紙片進行拼圖，學生是無法獲取證明的思路的。因此，在本節課前，我讓學生提前準備兩個重合的三角形紙片，撕下其中一個三角形的內角，把三角形的三個角拼成180°，小組交流不同的拼法，然后以小組為單位，展示拼圖作品。在學生操作的過程中，教師巡視，選取有代表性的拼法貼在黑板上。這樣，多數學生會拼成如圖所示的圖形1、2、3，也有個別會動腦筋的同學會拼成圖4.

拼圖活動不是為了一時熱鬧，其目的是讓學生通過操作活動獲取證明的思路。怎么找到定理的證明方法呢？以上圖形中，除圖3外，其余三圖中不僅具有定理結論的發現情景——平角或同旁內角，又具有結論證明的發現情境——相等的同位角或內錯角、互補的同旁內角，把這些情況都弄清了，定理的多種證法及其聯系也就清楚了。因此，拼圖活動的開展是本節課成功的基礎。

二、操作轉化，證明定理

拼圖可以直觀地感受、猜想三角形的內角和是180°，七年級時學生運用撕紙和簡單說理說明了這一結論，而本節課是要對其進行規范的證明，并讓學生初步感受當問題的條件不夠時，添加輔助線，構造新圖形，形成新關系，建立已知與未知間的橋梁，把問題轉化為自己已經會解決的情況，體會轉化思想是數學學習的重要思想。

輔助線的作法是學生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統一的規律，所以添加輔助線找到多種證明方法是本節課的難點。如果老師直接給出輔助線的作法，那么前面的活動也就失去了其意義。這里老師可以結合圖1，引導學生把實物圖抽象成幾何圖形，并提出問題串：這里的∠1的邊AD和BC有什么位置關系？AE和BC呢？AD和AE在同一條直線上嗎？為什么？你能從上面的結論中得到啟發，直接作一條線，把∠B、∠C同時移到點A處嗎？

回顧剛才的活動，學生容易發現我們是通過撕紙把∠B、∠C分別移到∠1、∠2的位置，即∠1、∠2分別等于∠B、∠C，那么AD、AE都平行于BC.根據平行線的存在性與唯一性，可知AD和AE在同一條直線上，我們只需過點A作BC的平行線，就可以構造出∠B、∠C的內錯角，相當于把它們移上來;這條線是題目中沒有的，是我們為了證明的需要找的一個搬運工，從而介紹輔助線的名稱及畫法，這樣輔助線的添法就順理成章，自然地突破了難點。

三、操作探究，訓練思維

在順利得到定理的證明方法之后，教師可以趁熱打鐵：觀察其他拼圖，還有哪些拼圖中能出現我們所需要的平行線？有了前面的基礎，學生不難發現圖2和圖4中的相等的內錯角、同位角等，從而通過添加平行線來證明定理。教師可以讓不同的學生上來展示，通過操作探究，也就是一題多解，讓學生初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發展。讓學生體會數學輔助線的橋梁作用，在潛移默化中，達到滲透數學的轉化思想及訓練學生思維多樣性的目的。

四、操作體驗，初見成效

初中生思維活躍、求知欲強，有了一定的數學學習能力，用教師引導下的自主探索的教學方式，給他們充分的實踐與思考的時間、空間，可以讓他們體會思維的多向性，獲得更高層次的成功感。

有這樣一道課后練習題：如圖，已知∠1、∠2、∠3是△ABC的三個外角，那么∠1、∠2、∠3的和是多少度？

這個題相信大家都很熟悉，在解答時一般是兩種方法：運用平角或者運用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，結合三角形的內角和定理求解。但是這一次，有好幾個同學提出：上節課我們在學習三角形的內角和定理時，不是通過作平行線，把三個角移到了一起、構成平角嗎？同樣的，這里要說明這三個角的和是360°，所以我們可以把它們三個角湊成一個周角。

法1：如圖5，過點A作EF∥BC，則∠EAB=∠ABC，∠DAE=∠ACB，所以∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠2+∠ACB+∠3=180°+180°=360°.

法2：如圖6，過點A作AF∥BC，則∠2=∠BAF，∠3=∠DAF所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠BAF+∠DAF=360°.

教學這么多年，不要說從來沒有學生提出過用這種方法來說明三角形的外角和為360°，就連我自己我從來也沒有想到過。如果這次不是因為讓學生真正經歷動手操作、觀察圖形、找到證明方法的過程，我想學生也不會有這么多的想法。反思我的教學：平時是不是太過于注重知識的傳授，而忽略了學生的操作、探究的過程呢？

“學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。”“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”數學是思維的體操，而有了學生積極參與和高效交互的活動，讓幾何定理的教學不再枯燥乏味，使教學不僅僅只是體現一個認知、探究、交流、決策的過程，同時能有效地發展學生的數學思維與邏輯推理的能力。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]教育部《數學課程標準》[M].北京師范大學出版社，2011.

[2]董江垂.“沒有結束語”的潛臺詞《中學數學教學參考》[J].西安：中學數學教學參考雜志社，2000.05.