卡普列加數的公式求法

【摘要】用公式法求卡普列加數，既可以快速求出卡普列加數（系列），又可以快速求出它們對應的卡普列加數的分式表達式，以及具有周期變化規律的卡普列加數的分式表達式，并且說明了循環數中存在卡普列加數的條件。

【關鍵詞】循環數符號? 卡普列加數分式表達式? 卡普列加數系列? 卡普列加數同余數

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）14-0235-02

觀察這個等式：945205472=89341338，05179209 （1）（運算結果的前、后半部分用逗號隔開），其循環和：89341338+05179209=94520547。人們把具有這種特征的數叫作卡普列加數。為便于研究：把94520547稱為卡普列加數，89341338， 05179209稱為卡普列加平方數，等式（1）稱為卡普列加數的一般表達式（以下同）。為研究循環數的循環周期現象，卡普列加數的周期變化規律，特給出循環數符號的定義和規定：定義1? 循環數符號（b/a）i=m表示既約真分數b/a（本文分母中的字母a均為不含2及5的素因數） 的1節或多節循環數的前m位數，符號（b/a）i=λ或（b/a）λ（λ表示b/a的循環節長度，以下同） 表示b/a的1節循環數，符號[（b/a）λ][（b/a）i=n]表示[（b/a）λ]×10n+[（b/a）i=n]，符號[（b/a）λ]k表示把數[（b/a）λ]重寫k遍并串聯在一起的k重數，符號[（b2/a2）i=kaλ+nλ+d] 表示[（b2/a2）λ'=aλ]k[[（b2/a2）i=nλ+d][其中10λ'=10aλ≡1（moda2），nλ<λ'，以下同]。

規定循環和的意義：[（（b+a）/a）λ]n=[（b/a）λ]n+（10λ-1）n。

為能快速求出卡普列加數和卡普列加數系列，特證明下面的定理：

定理? 如果10λ≡au+1 （moda2），且bn≡c，cu≡1（moda），那么[（b/a）λ]n是卡普列加數系列，并且它們的分式表達式為：

{[（b/a）λ]n}2=[（b2/a2）i=nλ+d]，[（（ab-b2）/a2）i=nλ+1] （公式2），其中當0

證明：對模a2來說，由于10λ≡au+1，所以102λ≡（au+1）2=a2u2+2au+1≡2au+1，103λ≡（au+1）（2au+1）=2a2u2+3au+1≡3au+1，…，10nλ≡nau+1。設10nλ≡x（moda2）（0

當定理中的b=1時，由bn≡c，cu≡1（moda），可得nu≡1（moda），由此得推論1：

推論1? 如果10λ≡au+1 （moda2），且nu≡1（moda），那么[（1/a）λ]n是一個卡普列加數。

又當10λ'=10aλ≡1（moda2）時，10（ka+n）λ=（10aλ）k×10nλ≡10nλ;而b （ka+n）=bka+bn≡bn（moda），即10（ka+n）λ≡10nλ（moda2），b（ka+n）≡bn（moda）。根據定理的證明可知，定理中多加一個條件10aλ≡1（moda2）時，公式2中的n可以用ka+n替代，由此得推論2：

推論2? 如果10λ≡au+1 ，10λ'=10aλ≡1（moda2），且bn≡c，cu≡1（moda），那么[（b/a）λ]ka+n（k為正整數）也是卡普列加數系列，并且它們的分式表達式為：

{[（b/a）λ]ka+n}2=[（b2/a2）i=（ka+n）λ+d]，[（（ab-b2）/a2）i=k（a+n）λ+1]，即{[（b/a）λ]ka+n}2=[（b2/a2）λ'=aλ]k[（b2/a2）i=nλ+d]，[（（ab-b2）/a2）λ'=aλ]k[（（ab-b2）/a2）i=nλ+1]（公式3），其中當0

總之，用公式就可以快速求出卡普列加數（系列），還可以快速求出它們對應的卡普列加數分式表達式，有利于我們深入研究卡普列加數、研究循環數的周期變化規律，使卡普列加數、廣義卡普列加數的研究進入一個新的時代。讓我們迎接新時代，去探索循環數學中未知的循環現象吧。

作者簡介：

曾俊雄（1959-），男，漢族，福建漳州人，中學高級教師，專科，研究方向：多年來致力于研究卡普列加數和循環數的周期變化規律。