二次函數解析式求解方法初探

張榮富

【摘要】數學是一門非常有助于培養學生理性思維及邏輯思維能力的課程，初中數學又是學生承上轉下的關鍵時期，數學掌握的好壞對學生以后學習具有重要影響。以各地中考試題為例，分析、研究其中的奧秘和思路，這對我們學好二次函數，正確掌握應對方法，提高解題能力等都有著積極的意義。求二次函數解析式這類題不僅涉及面廣，而且靈活性大，技巧性強。

【關鍵詞】二次函數解析式? 求解方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）13-0163-02

說到中考數學，就不得不提函數這一重要知識內容。

毫不夸張地說，函數知識是整個初中數學的核心內容之一，是中考數學必考的知識范疇，一直以來在中考數學中占有相當大的比重，更是中考數學命題的熱點。

因此，每年各省中考數學試題的命題方向，都放在了二次函數上。

以各地中考試題為例，分析、研究其中的奧秘和思路，這對我們學好二次函數，正確掌握應對方法，提高解題能力等都有著積極的意義。

求二次函數解析式這類題不僅涉及面廣，而且靈活性大，技巧性強。

本文通過對經典案例的分析，結合多年教學經驗，現總結出二次函數解析式的幾種常見求法，為教師的數學思想方法的教學提供參考，和大家共勉，不足之處，請批評指正。

一、一般形式：y=ax2+bx+c（a不為0）型，其中a，b，c為待定系數。

例1.已知：一個二次函數圖像經過（-1，10），（2，7），（1，4）三點，求這個二次函數解析式。

分析：已知拋物線過三點，一般情況下都可以設其解析式為一般式y=ax2+bx+c，將三點坐標代入，即得一個含有a，b，c的三元一次方程組，解出方程組即可，從而求解。

二、頂點形式：y=a（x-h）2+k型，（h，k）為拋物線的頂點坐標。

例2.已知：拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（-1，4），并且過點（1，2），求其解析式。

分析：不要被題目中的一般形式所“迷惑”。直接設解析式為頂點形式：y=a（x+l）2+4，再把（1，2）代入，求出待定系數a即可，從而求出拋物線解析式。

也可以這樣，利用拋物線的頂點坐標公式，列出兩個方程，再把（-1，4）代入y=ax2+bx+c中，得到關于a，b，c的三元一次方程組，解出方程組，從而得解。

三、交點形式：y=a（x-x1）（x-x2）型，其中（x1，0），（x2，0）為拋物線與x軸的交點坐標。

例3.已知：拋物線y=-2x2+8x-9的頂點為A，若另一二次函數的圖像經過A點，并且與x軸的交點為B（0，0），C（3，0），求這個二次函數的解析式。

分析：先用頂點坐標公式，求出A點坐標為（2，-1），這樣，函數圖像經過A，B，C三點，可用一般形式求解，但是要解三元一次方程組。

這里用“交點式”。設其解析式為y=a（x-0）（x-3），將A（2，-1）代入求出a即可，從而求解。

四、平移型：平移前后拋物線的形狀不變，系數a一樣。

y=ax2怎么平移，才能得到y=a（x-h）2+k（h，k都為正數）呢？答案只能是將拋物線y=ax2先向右沿x軸方向平移h個單位，再沿y軸方向向上平移k個單位，才能得拋物線y=a（x-h）2+k。

例4.將拋物線y=2x2+8x+11先沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸方向向下平移5個單位，求平移后的拋物線解析式。

分析：先將y=2x2+8x+11寫成頂點形式y=2（x+2）2+3，知其頂點坐標為（-2，3）。再將它向左平移2個單位，向下平移5個單位后，頂點坐標變為（-4，-2），根據頂點形式，它的解析式為y=2（x+4）2-2。

初中數學函數知識主要覆蓋到這三種函數：一次函數（包括正比例函數）、反比例函數、二次函數。而其中最為重要的就是二次函數。

縱觀全國各地很多中考試卷，我們都會發現絕大部分壓軸題都和二次函數密切相關，要么就是與二次函數相關的函數綜合問題，或是函數與幾何結合綜合性問題等等。

如何確定二次函數的解析式是歷年來中考的重要考點，一般都出現在二次函數壓軸題的第一問。

求解二次函數解析式方法多種多樣，大家在平時的學習過程中，一定要多加注意求二次函數解析式時出現的問題，及時掌握相關題型和對應知識內容。

在中學數學教學中，中學生缺少問題意識，自主探究及創新能力等。因此，數學教師應該發揮主導作用，把握中學生階段的心理及需求特點，有針對性的采取多種措施，方式、方法，幫助學生們建立起問題思維。

參考文獻：

[1]張寧.二次函數最值問題的常用求解策略[J].數理化學習（初中版），2018（03）：23-27.

[2]徐薇.淺談初中數學二次函數最值問題的求解[J].數理化解題研究，2015（13）：26.