巧用“平行線之間的三角形面積相等”解題

楊翠蘇

中圖分類號：G633.6

一.平行線之間的三角形面積相等????

1.構建基本圖形

已知直線m∥n，

• B為直線m上的兩點，C、D為直線n上的兩點;

連接任意兩點間的線段。

（1）請你找出圖中面積相等的各對三角形;

（2）△ABC與△ABD的面積為什么相等？（等底同高）

（3）為什么等高？（平行線間的距離處處相等）

證明：（1）S_△ABC=S_△ABD;S_△AOC=S_△B0D

（2）因為等底同高，所以S_△ABC=S_△ABD

（3）因為平行線間的距離處處相等，所以等高。

2.基本圖形圖形特征

兩個三角形的公共邊在一條平行線上，兩個三角形的第三個點在依托數學應用，指導學生掌握“問題解決”的策略。

二.構造平行線，利用“ 平行線之間的三角形面積相等”解題舉例

解數學題時，構造平行線，利用“平行線之間的三角形面積相等”，往往能化繁為簡，那么題目中的條件具備什么樣的特點時，能構造平行線，利用“平行線之間的三角形面積相等”呢？

1. 題目條件中含有平行線 ，直接利用平行線之間的三角形

已知：如圖，面積為6的正△ABC，P是BC邊上一點，以PB為一邊向外作正△PBD。

提出問題：

（1）如圖2若點P是BC邊的中點，則△ADC的面積為多少？

（2）如圖3若點P是BC邊的三等分點，則△ADC的面積為多少？

（3）如圖4若點P是BC邊的四等分點，則△ADC的面積為多少？

（4）如圖5已知任意△ABC的面積，你能否構造出基本圖形？你能找到面積相等的三角形嗎？

解析：∵△ABC與△PBD均為正三角形，

∴∠CAB=∠PBD=60°，∴AC∥BD

∴S_△ACB=S_△ACD =6

點評：巧用兩個等邊三角形中的平行線，問題的關鍵是怎么發現平行線。

2. 題目條件中無平行線 ，根據題意連接點作出的平行線，形成平行線之間的三角形

（1）兩個正方形如圖6擺放，邊長分別為2和5，則△AFC的面積為多少？

（2）兩個正方形如圖7擺放，邊長分別為4和6，則△GEB的面積為多少？

（3）兩個菱形形如圖8擺放，兩菱形的面積分別為3和9，則△BDF的面積為多少？

（4）兩個正5邊形如圖9擺放，陰影部分的面積等于△ABC的面積？

（5）兩個正6邊形如圖10擺放……..

解析：（1）連接FD，∠FDE=∠ACD=45°，∴AC∥FD

∴S_△ACF=S_△ACD = S_{正方形ABCD}=

同理：（2）（3）（4）（5）……的問題解決都是構造平行線

3.根據題目條件創造平行線，再利用利用“ 平行線之間的三角形面積相等”解決實際問題

如圖11，四邊形ABCD中，AD與BC不平行，S_△ABC>S_△DBC，過點A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？

解析：1.連接AC，

2.過D作AC的平行線交BC的延長線于點E

3.則△ADC與△ACE同底等高，S_△ACE=S_△ACD

4.所以四邊形ABCD的面積就等于△AEB的面積

5.取EB邊的中點F， 需連接AF 所以S_△ACB=S_△ACD。

6.即AF為四邊形ABCD的面積等分線。

三.小結

以上幾個實例，都有一個共同點，看似無平行線，卻有平行線，在解題時，要認真審題，捕捉條件，慧眼識圖，靈活構造，實踐證明，通過平行線，巧用“平行線之間的三角形面積相等”解題，的確簡潔而新穎，是一種行之有效的解題思路。