淺析三角換元法在高中數學解題中的巧用

黃蓉蓉

在高中數學教學中，很多教師還采用過去單一的教學模式而忽略對學生數學思維能力的培養。在新課程改革背景下，對學生數學思維能力的培養是當代數學核心素養的基本內容。教師應當改善以往傳統單一的教學模式，不僅要讓學生掌握最基本的數學知識，還應該在教學中提高學生的數學素養。我通過對三角換元法在高中數學解題中的巧用研究教學，從中滲透提升學生的數學思維能力。

一、三角換元法在教學中的意義

三角換元法是高中數學解題中常用的一種換元方法。換元法的實質是根據等量代換，通過構造元和設元來變換變量，最后將問題進行轉化，使得問題簡單化，易于處理。而三角換元法主要是將題目中的代數式與三角函數恒等式聯系起來進行換元，代數式和三角進行轉化后，題目就變得簡單多了，學生的解題思路也變得清晰了。我通過三角換元法巧用在高中數學中一些經典題目進行分析，在教學中我特別重視學生的數學邏輯思維分析能力，使學生能在分析過程中形成數學解題能力和技巧。

二、三角換元法在高中數學解題中的巧用

1.三角換元法巧解函數值域與最值問題

例如，求函數y=x+1-x的值域。這一類題學生常規的解題思路是利用導數知識，求函數極值點和定義域兩個端點對應的函數值，比較大小，最后得出函數值域。但這道題目的函數表達式有兩個根號，學生會發現求導后形式比較復雜，解題比較繁瑣，而且也容易出錯，甚至有的學生直接放棄。所以我們可以引導學生考慮利用三角換元法去簡化題目，化繁為簡。通過觀察函數表達式，可知“”里的值之和：x+（1-x）=1，與x無關，引導學生可將三角恒等式sin2θ+cos2θ=1聯系起來。設x=sin2θ，θ∈0，π2，這樣換元的依據就是函數本身要去根號還有兩者值域的聯系，所以要注意換元后θ的取值范圍。最后將新元代入原函數容易求得。這樣問題就轉化為學生熟悉的求三角函數值域問題。

例1：求函數f（x）=3x+6+8-x的值域。

分析：函數定義域為x∈[-2，8]，觀察函數表達式可改寫為：f（x）=3·x+2+8-x， 發現“”里的值之和：（x+2）+（8-x）=10，與x無關，結合三角恒等式：sin2θ+cos2θ=1（ 10sin2θ+10cos2θ=10）進行三角換元。可設x+2=10sin2θ8-x=10cos2θ，即x+2=10sinθ8-x=10cosθ，θ∈0，π2。因為原函數定義域為x∈-2，8，可知x+2，8-x∈0，10，所以這里等效變換時要令θ∈0，π2。此時將替換后的新元代入原函數可得f（x）=30sinθ+10cosθ=210sin（θ+π6）， 因為θ+π6∈π6，2π3，所以sin（θ+π6）∈12，32這樣也就能得到原函數值域為[10，30]。

2.三角換元法巧證不等式

對于高中學生來說，對于給定條件的不等式證明問題是比較難理解也不知道從何下手，我們可以引導學生學會挖掘題目中隱含的條件，然后與三角恒等式聯系起來。

例2：若x，y，z∈R+，z2=x2+y2，求證xn+ynz，n∈N）.

證明：設xz=sinα，yz=cosα，（0<α<π2）即x=zsinα，y=zcosα， （0<α<π2），則xn+yn=zn（sinnα+cosnα）.又因為0

∴xn+yn=zn（sinnα+cosnα）

四、結語

三角換元法在求函數值域與最值問題、解析幾何問題、證明不等式的巧妙運用可以歸納其對應形式：如變量x，y可化為x2+y2=r2（r>0）形式時，則可令x=rcosθ，y=rsinθ化為三角問題。其中，三角換元法的難點是如何作出正確的變量代換，這就需要教師引導學生學會分析題目條件，尤其是題目中隱蔽的條件。在使用三角換元法時，特別也要讓學生注意換元后θ的取值，要保證換元前后的等效性。

在高中數學中，換元法是解題中的一種經典方法，而三角換元法作為換元法的靈魂，在數學解題中應用既靈活又廣泛。通過引導學生正確又靈活的運用三角換元法，可以不斷地激發學生的創新思維能力。巧妙的運用三角換元法能有效的轉化數學問題，使得數學難題變得簡單、直觀，對數學發展也有著重要的研究意義。

責任編輯 徐國堅