網絡畫板在圓錐曲線定點定值問題中的應用

康姣

新課標下的高中數學，越來越重視對學生綜合素質的考察，圓錐曲線中的定點定值問題便是考查學生綜合數學素質的一個重要途徑.此類問題不僅涉及圓錐曲線的定義、直線與圓錐曲線的位置關系，還牽涉到函數，方程等代數方面的知識.它最大的特點是難以理解，難以想象，計算量大，這使得學生一遇到這類問題就望而止步.網絡畫板的應用使得本身很枯燥的課堂瞬間有了活力，讓學生可以在直觀上理解這類問題，提供了“探究-證明”的授課方式.先讓學生產生興趣，再授以解決這類問題的一般方法，相比傳統的教學方法效果更好，也更能讓學生接受.下面以幾個典型例題為例來講解.

一、定點問題

例1：已知橢圓C：x24+y23=1，若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以為AB直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標.

探究：作出橢圓x24+y23=1的圖像，在其上取一個點A，連接右頂點M和A，作直線MB⊥MA且和橢圓交于點B，通過運動A點可發現直線AB恒過定點P，此過程讓學生產生了濃厚的興趣.然后再講解此類問題的一般方法：設直線AB的方程，聯立直線與橢圓方程，消參，利用韋達定理，找到k與m的關系，代入直線方程，從而得到定點坐標.

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m3x2+4y2=12得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）>0，即3+4k2-m2>0，

x1+x2=-8mk3+4k2，x1·x2=4（m2-3）3+4k2.

y1·y2=（kx1+m）·（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=3（m2-4k2）3+4k2.

∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點M（2，0），且kAM·kBM=-1，

∴y1x1-2·y2x2-2=-1，y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，即3（m2-4k2）3+4k2+4（m2-3）3+4k2+16mk3+4k2+4=0，

整理得：7m2+16mk+4k2=0，解得：m1=-2k，m2=-2k7，且滿足3+4k2-m2>0.

當m=-2k時，l：y=k（x-2），直線過定點（2，0），與已知矛盾;

當m=-2k7時，l：y=k（x-27），直線過定點 P（27，0）.

綜上可知，直線l過定點，定點坐標為P（27，0）.

總結：本題為“弦對定點張直角”的一個典型例題，可以推廣到以下兩種情形，再通過網絡畫板進行驗證.

（1）過圓錐曲線如橢圓x2a2+y2b2=1上任意一點M（x0，y0）作兩條相互垂直的直線MA，MB，分別交圓錐曲線于A，B兩點，則直線AB必過定點P（x0（a2-b2）a2+b2，-y0（a2-b2）a2+b2）.

探究：先構造兩個變量a，b，作出橢圓x2a2+y2b2=1，在其上取兩個點M，A，連接MA，作直線MB⊥MA且和橢圓交于點B，不論a，b取什么值，通過運動A點可以發現直線AB恒過定點P（x0（a2-b2）a2+b2，-y0（a2-b2）a2+b2），其中M的坐標為（x0，y0）.

（2）“手電筒”模型：過圓錐曲線上任意一點M（x0，y0）作兩條直線MA，MB，分別交圓錐曲線于A，B兩點，只要給定一個限定MA與MB的條件（如kMA+kMB=定值，kMA·kMB=定值），直線AB依然會過定點（因為三條直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）.

探究：先構造三個變量n，a，b，用一個隱函數方程if（n=1，x2/a2+y2/b2-1，if（n=2，x2/a2-y2/b2-1，y2-2px））表示三類圓錐曲線，在其上取兩個點M和A，連接MA，作直線MB，和圓錐曲線交于點B，在kMA+kMB和kMA·kMB為定值的條件下，我們通過運動點A發現直線AB恒過一個異于M的定點，變換n，k的值和M的位置，發現結論依然成立.

通過動態展示，學生在直觀上更容易接受這個結論，可以鼓勵學生按照例1的方法去證明，從而加深學生對這種題型的理解，掌握解題技巧.

二、定值問題

例2：已知橢圓C：x24+y22=1，若A1，A2分別是橢圓的左、右頂點，動點M滿足MA2⊥A1A2，且MA1交橢圓C于不同于A1的點R，求證：OR·OM為定值.

探究：作出橢圓x24+y22=1，在直線x=2上取一個點M，連接A1M，和橢圓交于點R，連接OR和OM，運動點M，我們發現不管M點運動到哪個位置，OR·OM都為定值4.

證明：由題意可知，A1（-2，0），A2（2，0），設R（x1，y1），則直線RA1的方程為：y=y1x1+2（x+2），令x=2，得M（2，4yx1+2），所以OR·OM=（x1，y1）·（2，4yx1+2）=2x1+4y21x1+2=2x21+4y21+4x1x1+2，

又因為點R在橢圓上，故滿足橢圓方程x214+y212=12x21+4y21=8代入上式，可得OR·OM=4即OR·OM為定值.

總結：本題中A1是一個固定的點，對于任意一點A，我們可以推廣到以下一般情形：

（*）設A，B是有心圓錐曲線x2a+y2b=1（a>0，b≠0）上關于x軸對稱的兩個點，P是曲線上異于A，B的任意一點，若PA，PB分別交x軸于M，N兩點，則OR·OM為定值a.

探究：圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統稱為有心圓錐曲線，應先構造兩個變量a，b，作出有心圓錐曲線x2a+y2b=1的圖像，在其上取兩個點A，P，作出點A關于x軸的對稱點B，連接PA，PB分別交x軸于M，N兩點，通過運動點P，可發現OR·OM=a，變換a，b的值，結論依然成立.

圓錐曲線定點定值問題博大精深，如果僅僅告知學生結論，學生很難在已有的認知水平內理解和接受，網絡畫板的輔助應用，可以對學生進行啟發式教學，引導學生自己去探索，還可以實現課上到課下的延伸，激發學生的學習興趣.

責任編輯 羅峰