用于干擾對(duì)消的稀疏約束卡爾曼濾波算法

郝治理， 劉春生， 周青松

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院， 合肥， 230037)

在日益激烈的電子戰(zhàn)中，干擾機(jī)作為實(shí)施有源干擾的關(guān)鍵設(shè)備，發(fā)揮著重要作用，它可以通過(guò)向敵方雷達(dá)發(fā)射各種樣式的干擾信號(hào)，使敵方雷達(dá)無(wú)法正常工作[1]。然而對(duì)于架設(shè)在無(wú)人機(jī)等小型平臺(tái)上的干擾機(jī)，尤其是收發(fā)一體的干擾機(jī)，其發(fā)射天線和接收天線之間存在著較強(qiáng)的電磁耦合現(xiàn)象。干擾機(jī)發(fā)射的干擾信號(hào)往往會(huì)有部分耦合到接收端，影響接收機(jī)的正常工作，輕則會(huì)降低接收機(jī)的靈敏度，減小偵察作用距離，重則形成自激勵(lì)，無(wú)法檢測(cè)信號(hào)[2-3]。因此，如何解決干擾機(jī)的收發(fā)隔離問(wèn)題是保證其收發(fā)同時(shí)工作的關(guān)鍵。國(guó)內(nèi)外比較常用的收發(fā)隔離方法有收發(fā)分時(shí)、極化隔離、物理隔離、空間隔離等[3]。近年來(lái)，系統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)成為了研究的熱點(diǎn)，它從信號(hào)處理的角度出發(fā)，將干擾機(jī)的外界耦合環(huán)境看作是一個(gè)待辨識(shí)的系統(tǒng)，利用系統(tǒng)辨識(shí)方法對(duì)其進(jìn)行辨識(shí)。一旦辨識(shí)出系統(tǒng)傳遞函數(shù)，就可以根據(jù)己方發(fā)射的干擾信號(hào)和系統(tǒng)傳遞函數(shù)重構(gòu)耦合到接收端的干擾信號(hào)，最后在接收端進(jìn)行對(duì)消，實(shí)現(xiàn)收發(fā)隔離。文獻(xiàn)[4～7]研究了基于靜態(tài)環(huán)境下的系統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)，可以在一定程度上提高干擾機(jī)的收發(fā)隔離度。目前，針對(duì)動(dòng)態(tài)環(huán)境的系統(tǒng)辨識(shí)方法也已經(jīng)有很多的研究，KF算法就是其中一種比較成熟的算法[8]。

現(xiàn)實(shí)環(huán)境中很多系統(tǒng)都具有稀疏性質(zhì)，即系統(tǒng)的沖激響應(yīng)在時(shí)間域上只有少量的非零值，比如水聲通信信道、回聲路徑等[9]。針對(duì)動(dòng)態(tài)稀疏系統(tǒng)的辨識(shí)問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]結(jié)合壓縮感知技術(shù)，首先估計(jì)出系統(tǒng)參數(shù)的支撐集，然后再利用降階的KF算法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。不足之處在于沒(méi)有分析這種算法的穩(wěn)定性，也沒(méi)有與常規(guī)算法進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)[11]將偽測(cè)量技術(shù)應(yīng)用于卡爾曼濾波的遞推過(guò)程中，提高了算法在稀疏環(huán)境下的辨識(shí)性能。文獻(xiàn)[12]采用期望最大化(Expectation-Maximization，EM)方法，在期望步利用KF算法來(lái)提供一步預(yù)測(cè)值，然后在最大化步驟中加入l1范數(shù)等稀疏性約束，最后利用軟閾值方法，提高了待辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)的稀疏性。文獻(xiàn)[13]提出了一種稀疏融合卡爾曼濾波算法，它同樣是利用迭代軟閾值方法不斷地更新系統(tǒng)的稀疏模型，并且結(jié)合了偽測(cè)量技術(shù)，在提高系統(tǒng)辨識(shí)性能的同時(shí)，具有較好的魯棒性。文獻(xiàn)[14]從KF算法的修正步出發(fā)，將其等效為一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，然后對(duì)等效后的問(wèn)題加入稀疏約束，提出了一種稀疏卡爾曼濾波(SKF)算法。但其是利用凸優(yōu)化工具箱進(jìn)行求解，并未給出加入約束以后的解析解，也沒(méi)有對(duì)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正。本文是在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)出了加入稀疏約束以后系統(tǒng)參數(shù)的解析解和預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣的遞推表達(dá)式，提出了一類SCKF算法。并且引入了一種較l1范數(shù)更逼近于l0范數(shù)的稀疏約束函數(shù)，期望進(jìn)一步提高KF算法對(duì)動(dòng)態(tài)稀疏系統(tǒng)的辨識(shí)精度，進(jìn)而能夠提高干擾機(jī)的收發(fā)隔離性能。

1 問(wèn)題描述

為了運(yùn)用系統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)解決干擾機(jī)的收發(fā)隔離問(wèn)題，首先要將干擾信號(hào)耦合路徑等效為一個(gè)待辨識(shí)系統(tǒng)，構(gòu)建基于系統(tǒng)辨識(shí)的收發(fā)隔離模型見(jiàn)圖1[6]。

圖1 基于系統(tǒng)辨識(shí)的收發(fā)隔離模型

圖1中，n表示任意大于零的時(shí)刻，x(n)表示干擾機(jī)發(fā)射的干擾信號(hào)，y(n)表示干擾信號(hào)經(jīng)過(guò)耦合通路到達(dá)接收端的耦合干擾信號(hào)，s(n)表示正在偵察的雷達(dá)信號(hào)，令：

d(n)=s(n)+y(n)

(1)

通常可以利用一組FIR自適應(yīng)濾波器來(lái)近似耦合通路，干擾信號(hào)x(n)經(jīng)過(guò)耦合路徑到達(dá)接收端的過(guò)程可表示為：

xT(n)w(n)+v(n)

(2)

實(shí)際上，當(dāng)載有干擾機(jī)的載體運(yùn)動(dòng)時(shí)，比如車(chē)載，機(jī)載的環(huán)境下，w(n)往往是隨時(shí)間發(fā)生變化的，一般情況下其變化符合高斯-馬爾科夫過(guò)程，它的模型可以表示：

(3)

2 稀疏約束卡爾曼濾波算法

針對(duì)第1節(jié)所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，常規(guī)KF算法求解此問(wèn)題的遞推形式為：

預(yù)測(cè)：

(4)

修正：

(5)

式中：K(n)為增益矩陣；M(n|n)為預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣；e(n)為誤差，也稱為新息。本文待辨識(shí)參數(shù)w(n)是稀疏的，常規(guī)的卡爾曼濾波并未考慮到這一先驗(yàn)信息，針對(duì)此問(wèn)題，這里將修正步中w(n)的遞推形式轉(zhuǎn)換為求解一個(gè)凸問(wèn)題[15]：

minimize

(y(n)-xT(n)w(n))TQ-1(n)(y(n)-

(6)

minimize

(y(n)-xT(n)w(n))TQ-1(n)(y(n)-

η‖w(n)‖1

(7)

文獻(xiàn)[14]是直接利用凸優(yōu)化工具箱求解目標(biāo)函數(shù)(7)，沒(méi)有給出w(n)的解析解，并且沒(méi)有注意到預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣的變化，沒(méi)有對(duì)它的遞推形式進(jìn)行更新。針對(duì)此問(wèn)題，本文推導(dǎo)了增加稀疏約束以后w(n)的解析解以及新形式下的預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣，并引用了一種近似零范數(shù)的函數(shù)，期望進(jìn)一步提高算法的辨識(shí)精度。

首先，定義函數(shù)f(w(n))是關(guān)于w(n)的稀疏性約束，它可以取l1范數(shù)或者其他更接近于l0范數(shù)的函數(shù)。重新將目標(biāo)函數(shù)(6)改寫(xiě)為：

minimize

(y(n)-xT(n)w(n))TQ-1(n)(y(n)-

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)為零，可以得到：

x(n)Q-T(n)y(n)+x(n)Q-1(n)y(n)-

x(n)Q-T(n)xT(n)w(n)-x(n)Q-1(n)xT(n)w(n)-

M-T(n|n-1)w(n)-M-1(n|n-1)w(n)+

(9)

(10)

對(duì)式(9)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得:

x(n)Q-1(n)xT(n)w(n)+M-1(n|n-1)w(n)=

(11)

因?yàn)閣(n)是未知的待辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)，無(wú)法直接利用，故這里假設(shè)sf(w(n))從預(yù)測(cè)步到修正步之間不會(huì)發(fā)生明顯的變化，即取ξ=η/2，進(jìn)而可以得到:

(12)

利用矩陣求逆引理，可以將式(12)化簡(jiǎn)為：

K(n)xT(n)M(n|n-1))(x(n)Q-1(n)y(n)+

(13)

式中：K(n)表示增益矩陣，在這里與式(4)保持一致。進(jìn)一步化簡(jiǎn)，可以得到w(n)的解析解為：

(14)

對(duì)比式(14)和式(5)中w(n)的遞推式，式(14)多了最后一項(xiàng)，因此預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣也會(huì)發(fā)生變化，故需要重新推導(dǎo)它的遞推式，根據(jù)定義，預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣為：

M(n|n)=

(15)

將式(14)代入到式(15)中，可以得到：

(K(n)xT(n)-I)M(n|n-1)ξsf·

(16)

為了方便后面的計(jì)算，令：

m(n)=(K(n)xT(n)-I)M(n|n-1)·

(17)

將式(17)代入到式(16)中，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得，

M(n|n)=(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)-

(18)

M(n|n)=

(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)-m(n)mT(n)

(19)

經(jīng)過(guò)上述推導(dǎo)，得到了增加稀疏約束以后w(n)的解析解和新的預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣。將這種類型的方法統(tǒng)稱為SCKF算法，并對(duì)該算法進(jìn)行總結(jié)如下。

forn=1,2,…,N

預(yù)測(cè)：

M(n|n-1)=FM(n-1|n-1)FT+R(n)

if tr(M(n-1|n-1))/M≤δ

修正：

(K(n)xT(n)-I)M(n|n-1)ξsf·

M(n|n)=

(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)-m(n)mT(n)

else

M(n|n)=(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)

end

end for

當(dāng)f(w(n))=‖w(n)‖1時(shí)，為了與文獻(xiàn)[14]算法有所區(qū)別，這里命名為l1-KF算法，根據(jù)表1可知，當(dāng)tr(M(n-1|n-1))/M≤δ時(shí)，它的修正步驟如下：

(20)

M(n|n)=(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)-

(21)

為了進(jìn)一步提高對(duì)稀疏參數(shù)w(n)的辨識(shí)精度，本文利用一種新的稀疏約束函數(shù)[16]，令：

(22)

式中：τ是一個(gè)正實(shí)數(shù)，為了進(jìn)一步說(shuō)明f(w(n))對(duì)l0范數(shù)的逼近程度，圖2為M=1，τ=50時(shí),f(w(n))與l1、l0范數(shù)在[-1,1]區(qū)間上的對(duì)比。

如圖2所示，在一維空間中，f(w)比l1范數(shù)更接近l0范數(shù)，類比在M維空間也是如此，并且根據(jù)式(22)可知τ取值越大，f(w(n))越接近l0范數(shù)。

圖2 f(w)與l1、l0范數(shù)

根據(jù)式(14)，要對(duì)函數(shù)f(w(n))進(jìn)行求導(dǎo)，這里同樣需要利用次微分，可以得到：

(23)

將加入式(22)約束的方法稱為l0-KF算法，將式(23)代入到表1，即可以得到它的完整遞歸過(guò)程。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 性能指標(biāo)

在進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)之前，首先定義幾個(gè)性能指標(biāo)，用來(lái)評(píng)價(jià)算法對(duì)稀疏系統(tǒng)的辨識(shí)性能以及對(duì)耦合干擾信號(hào)的隔離性能。

1)歸一化均方誤差NMSE，一般定義為：

(24)

2)隔離度I，定義為：

(25)

式中：pt為干擾機(jī)發(fā)射的干擾信號(hào)功率；pr為經(jīng)過(guò)隔離以后的殘余干擾信號(hào)功率。可以看出隔離度I反映了發(fā)射干擾信號(hào)相對(duì)于殘余干擾信號(hào)的大小，當(dāng)隔離度達(dá)到發(fā)射干擾信號(hào)與系統(tǒng)噪聲的功率比時(shí)，表示干擾信號(hào)被隔離至噪聲水平，此時(shí)可以很好地實(shí)現(xiàn)收發(fā)同時(shí)工作。

3)隔離后信干比SIR，定義為：

SIR=10lgps/pr

(26)

式中：ps為接收機(jī)接收到的雷達(dá)信號(hào)的功率；pr與前面定義相同。當(dāng)發(fā)射干擾信號(hào)功率一定時(shí)，可以看出隔離后的信干比越大表示隔離性能越好。

3.2 仿真分析

圖3 系統(tǒng)辨識(shí)誤差對(duì)比情況

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)取值

圖4 接收混合信號(hào)和雷達(dá)信號(hào)

圖4顯示了接收機(jī)接收到的混合信號(hào)和雷達(dá)信號(hào)。可以看出，耦合干擾信號(hào)已經(jīng)完全覆蓋住了雷達(dá)信號(hào)，這會(huì)影響對(duì)雷達(dá)信號(hào)的偵察分析以及后續(xù)的干擾工作。因此必須對(duì)耦合干擾信號(hào)進(jìn)行隔離，才能保證良好的偵察和干擾工作。

圖5顯示了經(jīng)過(guò)本文算法隔離之后的信號(hào)與雷達(dá)信號(hào)，可以看出，隔離后信號(hào)與雷達(dá)信號(hào)基本重合，即本文2種算法都能夠?qū)Ω蓴_信號(hào)起到較好的隔離作用，并且對(duì)正在偵察的雷達(dá)信號(hào)幾乎沒(méi)有造成影響。

圖5 隔離后信號(hào)和雷達(dá)信號(hào)

從圖6可以看出通過(guò)本文2種算法隔離后能夠?qū)⒋蟛糠值母蓴_信號(hào)對(duì)消掉。

圖6 隔離前后干擾信號(hào)

圖7顯示了50次試驗(yàn)的隔離度變化曲線，可以看出本文所提出的2種算法相對(duì)于常規(guī)KF算法能夠取得更好的隔離度。表2列出了它們的隔離度均值，本文算法將隔離度提高了大概3～5 dB。而通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到干擾信號(hào)與噪聲的功率比為36.69 dB，如果隔離度能達(dá)到干噪比，則說(shuō)明可以將干擾信號(hào)隔離至噪聲水平，這是很難實(shí)現(xiàn)的，在實(shí)際操作中還需要結(jié)合其他隔離技術(shù)。

圖7 隔離度

表2 隔離度

圖8顯示了50次試驗(yàn)經(jīng)過(guò)3種算法隔離后的信干比變化曲線，可以看出經(jīng)過(guò)本文所提出的2種算法隔離后相對(duì)于常規(guī)KF算法能夠取得更高的信干比。同樣表3列出了它們的隔離后信干比均值，與信噪比30 dB進(jìn)行對(duì)比，本文l0-KF算法僅相差了3～4 dB。

圖8 信干比

表3 信干比

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)動(dòng)態(tài)稀疏耦合環(huán)境下，常規(guī)KF算法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的辨識(shí)精度不夠，導(dǎo)致干擾機(jī)的隔離性能不佳。從新的角度出發(fā)，將KF算法中的修正步等效為一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，在其基礎(chǔ)上加入了2種稀疏約束，重新推導(dǎo)了它們的遞推過(guò)程，提出了一類新的SCKF算法，并給出了應(yīng)用條件。仿真結(jié)果表明，本文算法有效提高了KF類算法對(duì)動(dòng)態(tài)稀疏系統(tǒng)的辨識(shí)精度。經(jīng)過(guò)本文算法隔離后所達(dá)到的隔離度和信干比相對(duì)于常規(guī)算法有所改善，其中l(wèi)0-KF算法最優(yōu)，將它們提高了4～5dB，有效地改善了干擾機(jī)的隔離性能。在實(shí)際應(yīng)用中結(jié)合物理隔離、極化隔離等其他傳統(tǒng)隔離方法，可以實(shí)現(xiàn)干擾機(jī)的收發(fā)同時(shí)工作。