MIMO-STAP稀疏字典降維方法

何 團(tuán), 唐 波, 張 玉, 楊彥偉

(1.國防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院, 合肥, 230037; 2.63762部隊(duì), 陜西渭南, 714000)

空時(shí)自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技術(shù)[1]是用于機(jī)載雷達(dá)系統(tǒng)在雜波背景下檢測運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的關(guān)鍵技術(shù)。STAP技術(shù)的關(guān)鍵是獲取待檢測距離單元精確的雜波協(xié)方差矩陣。根據(jù)RMB準(zhǔn)則[2]，要使估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣帶來的雜波抑制性能損失小于3 dB，所需獨(dú)立同分布訓(xùn)練樣本數(shù)至少為2倍系統(tǒng)自由度。然而，實(shí)際環(huán)境中雜波分布往往是非均勻的，使得用于估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣的訓(xùn)練樣本數(shù)很難滿足要求。近年來，稀疏理論被應(yīng)用到單輸入多輸出(Single-Input Multiple-Output, SIMO)雷達(dá)，只需少量訓(xùn)練樣本即可實(shí)現(xiàn)雜波譜的精確恢復(fù)[3-4]。而現(xiàn)在該技術(shù)也慢慢擴(kuò)展到多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷達(dá)[5]。MIMO-STAP與SIMO-STAP相比，可以實(shí)現(xiàn)更窄的雜波凹口，更優(yōu)的最小可探測速度性能[6-7]。

但當(dāng)前基于稀疏恢復(fù)的MIMO-STAP方法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，存在計(jì)算復(fù)雜度高的問題。文獻(xiàn)[8]指出：為提升稀疏算法的恢復(fù)精度，一種比較直接的方法就是使劃分的網(wǎng)格數(shù)足夠大，但這會(huì)使得稀疏字典維數(shù)過高，計(jì)算復(fù)雜度急劇增大。為降低計(jì)算復(fù)雜度，文獻(xiàn)[9]提出了基于陣列流形知識(shí)和空時(shí)功率譜的字典降維方法，該方法利用先驗(yàn)知識(shí)確定雜波脊線，然后將雜波脊線附近矩形框內(nèi)的原子取出組成降維字典，但準(zhǔn)確的先驗(yàn)知識(shí)往往難以獲得，且矩形框的大小難以把握。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于譜輔助的字典降維方法，該方法使用訓(xùn)練樣本估計(jì)出低分辨功率譜，設(shè)置了一個(gè)譜值門限將所有譜值超過門限的原子取出組成降維字典，但該方法使用的是低分辨功率譜，譜值門限難以確定，選出的原子分布雜亂，且無法克服多普勒模糊問題帶來的影響。

本文針對(duì)MIMO-STAP在使用稀疏恢復(fù)方法恢復(fù)雜波譜時(shí)所面臨的計(jì)算復(fù)雜度高的問題，提出了一種字典降維方法。該方法使用FOCUSS算法[11]的迭代式提高雜波空時(shí)譜的分辨率，并利用先驗(yàn)知識(shí)剔除因多普勒模糊而入選的原子。提出的降維字典可以完全覆蓋雜波脊線所有強(qiáng)雜波點(diǎn)位置，且能有效解決多普勒模糊帶來的問題，在保證雜波譜恢復(fù)精度的同時(shí)，能夠有效提高運(yùn)算效率。

1 雜波譜稀疏恢復(fù)問題建模

1.1 MIMO雷達(dá)雜波信號(hào)模型

圖1為機(jī)載MIMO雷達(dá)正側(cè)視條件下的幾何模型，其中φ為雜波塊的俯仰角，θ為雜波塊的方位角，Φ為線陣方向與雜波塊方向所成的空間錐角；V為載機(jī)速度，h為載機(jī)距離地面的高度。

圖1 機(jī)載MIMO雷達(dá)幾何模型

設(shè)均勻線陣體制下機(jī)載MIMO雷達(dá)天線發(fā)射的各波形滿足正交關(guān)系,通過匹配濾波,可以在接收端分離出各個(gè)發(fā)射陣元信號(hào)。發(fā)射陣元個(gè)數(shù)為M，接收陣元個(gè)數(shù)為N，1個(gè)相干處理間隔(CPI)內(nèi)發(fā)射K個(gè)脈沖，脈沖重復(fù)頻率為fr，工作波長為λ，發(fā)射陣元間距和接收陣元間距分別為dt和dr(一般為避免柵瓣問題，假定dr=λ/2)。

各雜波塊的空時(shí)導(dǎo)向矢量可表示為：

v(fd,fs)=vd(fd)?vt(fs)?vr(fs)

(1)

式中：?表示 Kronecker 積；fs表示雜波塊的空間頻率；fd表示雜波塊的多普勒頻率；vt為發(fā)射導(dǎo)向矢量；vr為接收導(dǎo)向矢量；vd為時(shí)域?qū)蚴噶俊０l(fā)射和接收導(dǎo)向矢量分別為：

vt(fs)=[1 ej2πγfs… ej2π(M-1)γfs]T

(2)

vr(fs)=[1 ej2πfs… ej2π(N-1)fs]T

(3)

式中：γ為發(fā)射陣元間距與接收陣元間距之比。

時(shí)域?qū)蚴噶繛?：

vd(fd)=[1 ej2πfd… ej2π(K-1)fd]T

(4)

設(shè)φl為第l個(gè)距離環(huán)的俯仰角，θp為第p個(gè)雜波塊的方位角，則雜波塊的空間頻率fs與θp、φl關(guān)系式為：

fs(θp,φl)=drcosθpcosφl/λ

(5)

雜波塊的多普勒頻率fd與θp、φl的關(guān)系式為：

fd(θp,φl)=2Vcosθpcosφl/(λfr)

(6)

則第l個(gè)距離單元的雜波信號(hào)可表示為：

(7)

式中：Nc為均勻切分的雜波塊數(shù)；σp為第p個(gè)雜波塊的回波幅度；fs,p為第p個(gè)雜波塊的空間頻率；fd,p為第p個(gè)雜波塊的多普勒頻率；v(fd,p,fs,p)為第p個(gè)雜波塊的空時(shí)導(dǎo)向矢量。

1.2 雜波協(xié)方差矩陣的求解

一般情況下，為獲得稀疏恢復(fù)所需的常規(guī)字典，需將整個(gè)空時(shí)二維平面網(wǎng)格化，將所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量取出組成字典。設(shè)Q=NM，將空間頻率fs和多普勒頻率fd分別離散化為Ns格和Nd格，其中Ns=ρsQ，Nd=ρdK，ρs和ρd分別為fs和fd的離散化系數(shù)，超完備字典ψ的大小取決于Ns和Nd。

雜波分布在空時(shí)二維平面上具有稀疏性，可由超完備字典近似表示為：

(8)

式中：v(fd,i,fs,j)表示空時(shí)二維平面上空間頻率為fs,j、多普勒頻率為fd,i時(shí)所對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量；σi,j為其幅度值；ψ為稀疏恢復(fù)使用的字典矩陣；σ為待求的雜波空時(shí)譜。

一般情況下，稀疏恢復(fù)的目的就是確定σ，則雜波譜的稀疏恢復(fù)問題最終可表示為：

(9)

式中：y為不含目標(biāo)信號(hào)的觀測信號(hào)矢量；ε為噪聲帶來的誤差閥值。

求解式(9)計(jì)算復(fù)雜度很大，其中一部分原因就是字典ψ的維數(shù)很大，因此可以考慮將ψ進(jìn)行降維以減輕計(jì)算壓力。

在求得σ后，雜波協(xié)方差矩陣可估計(jì)為：

(10)

P=σ⊙σ*

(11)

式中：P為雜波空時(shí)功率譜。

2 字典降維

2.1 字典降維問題分析

圖2為正側(cè)視條件下雜波空時(shí)功率譜在空時(shí)二維平面上的分布，圖中深色區(qū)域表示強(qiáng)雜波點(diǎn)所占區(qū)域,其中心線即為雜波脊線。

圖2 正側(cè)視條件下的雜波功率譜分布

稀疏恢復(fù)方法計(jì)算復(fù)雜度高是因?yàn)樾枰獙?duì)整個(gè)空時(shí)二維平面進(jìn)行掃描以獲取強(qiáng)雜波點(diǎn)的位置。而實(shí)際上，即便考慮雜波內(nèi)部起伏以及陣列誤差等非理想因素所造成的譜展寬問題，雜波空時(shí)功率譜也只占整個(gè)空時(shí)二維平面的一小部分。如果只考慮強(qiáng)雜波點(diǎn)所在區(qū)域的網(wǎng)格單元，直接在這個(gè)縮小的區(qū)域求解雜波空時(shí)功率譜，就能夠極大地降低計(jì)算復(fù)雜度。

因?yàn)閷?shí)際雜波點(diǎn)所在區(qū)域的功率譜值要明顯高于其他位置，故可以將功率譜值作為字典降維依據(jù)。應(yīng)用最廣泛的功率譜是由文獻(xiàn)[12]給出的傅里葉功率譜和Capon功率譜，具體表示如下：

(12)

(13)

因?yàn)镃apon功率譜的精度更高，所以本文采用的是Capon功率譜。

目前譜值法降維還存在2個(gè)較大的問題：

一是由訓(xùn)練樣本直接得到的功率譜分辨率太低，譜值門限難以確定，選出的原子分布散亂。

二是當(dāng)折疊系數(shù)β大于1時(shí)會(huì)出現(xiàn)多普勒模糊問題，導(dǎo)致將其他區(qū)域內(nèi)的原子也選入字典。比如圖3中折疊系數(shù)取2時(shí)，譜值法除了將實(shí)際強(qiáng)雜波點(diǎn)區(qū)域(a區(qū)域)內(nèi)的原子挑出外，還會(huì)將因多普勒模糊產(chǎn)生的區(qū)域(b、c區(qū)域)內(nèi)的原子挑出，使得最后的降維字典涵蓋區(qū)域過廣，因此必須去除多普勒模糊帶來的影響。

圖3 存在多普勒模糊時(shí)的功率譜分布

2.2 字典降維方法

為解決以上分析所提出的問題，本小節(jié)提出了具體的字典降維方法。思路為：使用FOCUSS算法的迭代式獲得較高分辨率的雜波空時(shí)譜，進(jìn)而得到高分辨率的Capon譜；使用先驗(yàn)知識(shí)解決多普勒模糊問題。具體方法如下：

FOCUSS算法是一種通過迭代逐步逼近稀疏解的算法。每次迭代中，F(xiàn)OCUSS會(huì)通過加權(quán)矩陣不斷強(qiáng)化待求矢量σ中的顯著分量，且同時(shí)抑制其中的不顯著分量，隨著迭代的進(jìn)行，σ內(nèi)各元素的差距會(huì)越來越大。因此，可以利用此思想將譜值差距快速拉大以凸顯出強(qiáng)雜波點(diǎn)所在區(qū)域。

FOCUSS算法最核心的操作為：

W(k)=diag(σ(k-1))

(14)

σ(k)=W(k)(ψW(k))+y

(15)

式中：W(k)為第k次迭代的加權(quán)矩陣;σ(k)為第k次迭代后的稀疏解;D+表示矩陣D的Moore-Penrose廣義逆。

迭代起始的低分辨雜波空時(shí)譜可估計(jì)為σ(0)=ψHy，通過式(14)、(15)極少次的迭代就足以使雜波空時(shí)譜的分辨率得到較大的提升。當(dāng)然，迭代本身會(huì)引入計(jì)算量的增加，但因?yàn)榈螖?shù)非常少(2次左右即可達(dá)到效果)，所以增加的計(jì)算量較小，另外此處增加的計(jì)算量相較于后續(xù)減少的計(jì)算量而言是非常小的，因此這是完全值得的。

為了將Capon功率譜譜值較大的原子挑出，需要設(shè)置一個(gè)譜值門限，一般門限值設(shè)置如下[13]：

(16)

式中：Pi,j為v(fd,i,fs,j)對(duì)應(yīng)的Capon功率譜值；Pm是平均功率譜值；α是一個(gè)可調(diào)節(jié)的標(biāo)量,可以靈活控制門限值。

Capon功率譜分辨率提高以后，各譜值差距很大，譜值門限很好確定，一般可直接取為Pm。

如果不存在多普勒模糊問題，以上步驟就足以獲得降維字典。但如果存在多普勒問題，在得到高分辨Capon功率譜后，還需進(jìn)行以下處理。

首先確定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度、發(fā)射陣元間距以及脈沖重復(fù)頻率等先驗(yàn)知識(shí)(這些知識(shí)可以由INU和GPS數(shù)據(jù)獲得)以求取雜波脊線的折疊系數(shù)β。這里的先驗(yàn)知識(shí)不需要太準(zhǔn)確，因?yàn)槭褂孟闰?yàn)知識(shí)的目的僅僅是為了解決多普勒模糊問題。由式(6)除以式(5)則可得折疊系數(shù)為：

β=2V/(drfr)

(17)

如圖4所示，設(shè)其中的雜波脊線斜率為k，在此坐標(biāo)系下其值為1/β。兩直線l1和l2與雜波脊線平行，可確定一陰影區(qū)域(為了描述方便，稱其為“入選區(qū)”)。

圖4 消除多普勒模糊示意圖

l1和l2解析式分別為：

l1:y=kx+b

(18)

l2:y=kx-b

(19)

式中：b值大小決定了入選區(qū)的大小，該值可根據(jù)折疊系數(shù)大小進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，一般折疊系數(shù)越大，b取值越小。但b取值不能太小，因?yàn)槿脒x區(qū)的作用僅僅是去除因多普勒模糊而入選的原子，過小可能會(huì)剔除雜波脊線附近本應(yīng)入選的原子。

設(shè)某原子空時(shí)二維坐標(biāo)為(x0,y0)，則該原子要處于入選區(qū)就必須滿足以下式子：

kx0-b≤y0≤kx0+b

(20)

(21)

則最終雜波協(xié)方差矩陣的求解式為：

(22)

需要注意的是，在使用訓(xùn)練樣本獲得降維字典的過程中，有2種訓(xùn)練樣本使用策略：①直接將所有訓(xùn)練樣本平均處理，進(jìn)行一次求解得到降維字典；②對(duì)每個(gè)訓(xùn)練樣本都求取其降維字典，最后將所有降維字典進(jìn)行綜合。因?yàn)槊總€(gè)訓(xùn)練樣本按上述方法得到的降維字典還是略有差異，為了更加全面地覆蓋強(qiáng)雜波點(diǎn)，本文采用第2種訓(xùn)練樣本使用策略。

不論是否存在多普勒模糊問題，都按存在多普勒模糊處理，則獲得降維字典的具體步驟可總結(jié)如下：

步驟1將整個(gè)空時(shí)二維平面離散成NsNd個(gè)網(wǎng)格，將所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量取出組成常規(guī)字典ψ。

步驟2由先驗(yàn)知識(shí)計(jì)算雜波脊線的折疊系數(shù)得到直線l1和l2的斜率k，再選取適當(dāng)?shù)腷值直接得到l1和l2的解析式，從而確定了入選區(qū)；設(shè)訓(xùn)練樣本總數(shù)為L，i表示第i個(gè)訓(xùn)練樣本，令i=1。

步驟3輸入第i個(gè)訓(xùn)練樣本，使用該訓(xùn)練樣本求得低分辨雜波空時(shí)譜σ(0)=ψHyi，然后在此基礎(chǔ)使用FOCUSS算法的迭代式進(jìn)行迭代；利用迭代得到的稀疏解計(jì)算各原子Capon功率譜值，并確定相應(yīng)的譜值門限。

考慮到字典維數(shù)降低后，待恢復(fù)的稀疏信號(hào)的稀疏度也會(huì)相應(yīng)降低，這就要求選擇的稀疏恢復(fù)算法在稀疏性不是很好時(shí)，也具有較好的稀疏恢復(fù)性能。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(SBL)類算法、貪婪算法和凸優(yōu)化類算法比較適用于降維字典。故選擇這3類算法中具有代表性的算法進(jìn)行后續(xù)性能分析。選取的3種算法分別為采用EM迭代尋優(yōu)的SBL算法[14]、正交匹配追蹤(OMP)算法[15]和l1范數(shù)凸優(yōu)化工具包算法[16](用SR-CVX表示)。

2.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

本小節(jié)將考慮3種算法分別使用常規(guī)字典和降維字典的計(jì)算復(fù)雜度，計(jì)算復(fù)雜度以使用單個(gè)訓(xùn)練樣本求解雜波協(xié)方差矩陣所需復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。

表1中KSBL表示SBL算法的迭代次數(shù)；KOMP表示OMP算法的迭代次數(shù)，rs表示OMP算法達(dá)到收斂條件時(shí)的稀疏度；Nr表示降維后的字典維數(shù)。由表1可知，各算法的計(jì)算復(fù)雜度都有一定下降，但下降程度各不相同，下降程度取決于算法受字典維數(shù)NsNd影響的程度。顯然，SBL算法和SR-CVX算法計(jì)算復(fù)雜度下降程度較大，而OMP算法計(jì)算復(fù)雜度的下降程度較小。

表1 計(jì)算復(fù)雜度比較

3 仿真分析

本節(jié)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，均勻線陣體制下的機(jī)載MIMO雷達(dá)仿真參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)

3.1 不同折疊系數(shù)下降維字典分布

為直觀驗(yàn)證本文降維字典的合理性，現(xiàn)考慮不同折疊系數(shù)下降維字典在空時(shí)二維平面上的分布情況。算法具體參數(shù)設(shè)置如下：獲得高分辨雜波空時(shí)譜的迭代次數(shù)取2，譜值門限的調(diào)節(jié)系數(shù)α取0，確定入選區(qū)的參數(shù)b取0.2。

圖5給出了不同折疊系數(shù)下降維字典的原子分布，其中各點(diǎn)對(duì)應(yīng)著降維字典各原子。圖5(a)和圖5(b) 分別為β取1和0.5時(shí)得到的降維字典分布，顯然此時(shí)的降維字典原子都連續(xù)分布在雜波脊線附近，完全覆蓋了所有強(qiáng)雜波點(diǎn)位置。圖5(c)為β取2時(shí)得到的降維字典分布，可見降維字典原子也只集中在雜波脊線附近，本來應(yīng)出現(xiàn)的多普勒模糊問題得到了較好的解決。

圖5 降維字典原子分布

3.2 降維字典對(duì)輸出SINR的影響

為探究使用降維字典對(duì)雜波抑制性能的影響，采用輸出信干噪比 (SINR)作為衡量基準(zhǔn)。SINR (無有源干擾時(shí))定義為輸出信號(hào)與輸出雜波加噪聲信號(hào)能量的比值，具體表示為：

(23)

式中：vt為目標(biāo)信號(hào)矢量；R為雜波協(xié)方差矩陣與噪聲協(xié)方差矩陣之和。

(24)

式中：σv為速度標(biāo)準(zhǔn)偏移量，設(shè)置為0.8。

圖6中各輸出SINR曲線均為50次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)所得，每張圖包括SBL、SR-CVX和OMP 3種算法分別使用常規(guī)字典和降維字典的輸出SINR曲線。

圖6 不同條件下輸出SINR比較

由圖6(a)可以看出，理想條件下，SBL算法使用降維字典的輸出SINR性能要比使用常規(guī)字典平均低0.8 dB左右。SR-CVX算法使用降維字典的輸出SINR性能要比使用常規(guī)字典平均高1 dB左右。OMP算法使用降維字典的輸出SINR性能要明顯比使用常規(guī)字典平均高5 dB左右。

由圖6(b)可以看出，在存在ICM的條件下，SBL算法使用降維字典的輸出SINR性能要比使用常規(guī)字典平均低1 dB左右。SR-CVX算法使用降維字典的輸出SINR性能要比使用常規(guī)字典平均高0.5 dB左右。OMP算法使用降維字典的輸出SINR性能要明顯比使用常規(guī)字典平均高6 dB左右。

不論是在哪種條件下，SBL性能都略有下降，但下降程度較小，算法的輸出SINR性能依舊維持較好。SR-CVX算法性能有一定提升，但提升程度較小。而OMP算法性能提升十分明顯，這是因?yàn)镺MP算法使用降維字典挑出的原子與實(shí)際雜波點(diǎn)都距離較近，規(guī)避了挑選到極不合理的原子的風(fēng)險(xiǎn)。總之，SBL、SR-CVX算法使用降維字典可以基本維持輸出SINR性能，而OMP算法卻能有較大的提升。

3.3 運(yùn)算時(shí)間比較

為了更直觀地體現(xiàn)出降維字典帶來的運(yùn)算效率的提升，用稀疏算法處理4個(gè)訓(xùn)練樣本，以最后得到雜波協(xié)方差矩陣所需的平均時(shí)間作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)驗(yàn)選擇在一臺(tái)標(biāo)準(zhǔn)筆記本電腦上進(jìn)行，平臺(tái)參數(shù)為2.7 GHz，I5-7200U CPU，內(nèi)存為8 GB。

如表3、表4所示，不論是在理想條件下，還是存在ICM的條件下，3種稀疏算法使用降維字典的運(yùn)行時(shí)間都比使用常規(guī)字典明顯要短，直接證明了降維字典的有效性。

表3 理想條件下平均運(yùn)算時(shí)間

表4 存在ICM時(shí)平均運(yùn)算時(shí)間

顯然，SBL算法運(yùn)算效率提升最明顯，提升了80倍左右，雖然其在輸出SINR性能上有所下降，但獲得的運(yùn)算效率提升程度卻是最大的。其次是SR-CVX算法，其運(yùn)算效率提升了5倍左右。OMP算法運(yùn)算效率提升了2倍左右，雖然其運(yùn)算效率提升程度最小，但其輸出SINR性能卻能有較大提升。因?yàn)楦魉惴ū旧碛?jì)算復(fù)雜度受字典維數(shù)的影響不同，所以運(yùn)算效率的提升程度不同。當(dāng)然，想要更大程度地提升運(yùn)算效率可以考慮進(jìn)一步提升Capon功率譜的門限值，以進(jìn)一步減少字典維數(shù)，但最終的字典維數(shù)不宜過小，否則會(huì)導(dǎo)致恢復(fù)精度急劇下降。

4 結(jié)語

本文為減小MIMO-STAP稀疏恢復(fù)方法的計(jì)算復(fù)雜度，提出了一種字典降維方法。降維后的字典可以將強(qiáng)雜波點(diǎn)位置完全覆蓋，且能有效克服多普勒模糊帶來的影響。使用降維字典恢復(fù)雜波譜，在保證恢復(fù)精度的同時(shí)，可有效減少計(jì)算復(fù)雜度，有利于實(shí)際的操作使用。仿真結(jié)果表明，降維字典中的原子都連續(xù)分布在雜波脊線附近，使用降維字典能夠在維持算法的輸出SINR性能的同時(shí)，大幅度地提升運(yùn)算效率，運(yùn)算效率的提升程度與算法受字典維數(shù)的影響程度相關(guān)。