基于模式互信息的大氣湍流畸變波前重構

徐晨露, 郝士琦, 王 勇, 趙青松, 劉玉潔

(1.國防科技大學脈沖功率激光技術國家重點實驗室，合肥,230037； 2.32032部隊，北京，100193；3.94654部隊，南京，210046)

自由空間光通信由于其通信容量大、保密性好等優點已經得到越來越廣泛的應用。然而激光光束在大氣信道中傳播，會不可避免地受到大氣湍流的影響，導致接收到的光束產生波前畸變、光強閃爍[1-3]等現象，影響通信質量。為了克服大氣湍流帶來的問題，提高通信質量，通常在接收端通過自適應光學系統對接收到的激光光束進行校正[4-5]，自適應光學系統通過對接收到的光束進行波前探測，重構出激光光束的波前相位信息，然后通過變形鏡對其進行校正。波前重構的算法主要有直接斜率法和模式法。直接斜率法[6-8]直接通過波前探測器探測到的斜率進行重構，將波前傳感器的測量量與變形鏡的響應特性建立起對應關系,通過算法直接計算出控制電壓信號。利用模式法[9-11]進行波前重構時，需將波前相位畸變展開成不同的正交多項式組合，不同的正交基分別代表由大氣湍流引起的波前相位畸變的不同模式，比如傾斜、平移、離焦、像散、球差和彗差等，每一項都有相對應的物理意義。因此模式法可以為分析不同的模式畸變提供一定的參考，故本文利用模式法來對大氣湍流引起的激光光束波前相位畸變進行重構。

由于大氣湍流是不穩定的，隨機變化的，且變化速度較快，因此波前重構的實時性要求很高，需要在達到精度要求的基礎上，盡可能地提高波前重構的速度[12-14]。波前重構的速度和精度主要取決于用于重構的模式數量，模式數越多，重構的波前越準確，但模式數的增加同時也會導致重構速度降低。在大氣湍流影響下，激光光束的傾斜、平移、像散、球差、彗差等因素共同造成了接收端的波前相位畸變，因此各個模式都對波前畸變有貢獻，但不同模式的影響程度不同。因此，本文通過計算大氣湍流引起的波前畸變與各個模式的互信息，分析不同模式對波前畸變的影響程度，選擇互信息大的模式用于重構，從而可以在不影響重構精度的條件下降低重構的模式數，提高波前重構效率。

1 基本模型與原理

1.1 自適應光學系統模型

典型的自適應光學系統(Adaptive Optics, AO)[15]主要由波前探測器、波前控制器和波前校正器構成，見圖1。其中，波前探測器實時測量接收光的波前畸變；波前控制器將波前探測器測量得到的波前畸變轉化為波前校正器的控制電壓信號；波前校正器則根據波前控制器提供的控制電壓重構波前，以校正接收光的波前畸變。通過以上3個基本組成器件的協同工作，形成了AO系統的控制環路。

圖1 典型的自適應光學系統結構示意圖

1.2 波前探測器原理

波前探測器是AO系統的重要組成部分，其對波前畸變的實時監測是在接收端實施準確波前校正的前提。目前在波前傳感器的選擇上主要采用夏克·哈特曼波前探測器(Shack Hartmann wavefront Sensor, SH WFS)，該類波前探測器在實際應用中相比其他波前探測器具有光能利用率高、結構簡單且可同時測量2個方向波前斜率的優勢。一個典型的SH WFS主要由微透鏡陣列、CCD傳感器和數據處理系統組成，其處理過程見圖2。

圖2 SH WFS工作原理示意圖

SH WFS的核心部件為微透鏡陣列，其中的每個子透鏡可作為子孔徑將接收光束聚焦成一個光斑陣列。隨后，通過在聚焦平面上放置高靈敏度的光電探測器對聚焦光斑進行探測，可得到每個子孔徑光斑的中心坐標。在此基礎上，結合各子孔徑區域的坐標中心，可得到第i個子孔徑對應的相對偏移坐標為(Xi,Yi)，其與相對波前斜率之間的關系可表示為：

(1)

式中：(gXi，gYi)為第i個子孔徑的波前斜率；S為子孔徑面積；Ai為第i個子孔徑區域；λ為入射光波長；f為陣列透鏡到波前探測器內位敏探測器的距離。得到子孔徑的斜率之后，再通過相應的波前重構算法就可以得到波前相位畸變，進而實現波前校正。

本文采用有效子孔徑為48的SH WFS，其子孔徑分布[9]見圖3,圖中“+”表示子孔徑的定標點。

圖3 48單元的SH WFS的子孔徑分布

2 波前重構

2.1 模式法波前重構原理

一個完整的波前相位函數可展開成正交的Zernike多項式組合形式如下：

(2)

式中：l表示為模式數；ak為第k階Zernike多項式系數；Zk(x,y)為第k階Zernike多項式，其極坐標表達式為：

(3)

式中：

(4)

根據第1.2節中介紹的SH WFS測量原理，其所測量得到的波前斜率與Zernike多項式組合之間有如下關系成立：

(5)

根據探測器測量得到的各子孔徑內的波前斜率數值，求解各模式對應的多項式系數，進而求得完整的波前相位展開式，即可重構出波前畸變。假設傳感器中子孔徑的數目為m，基于模式法重構波前相位時選取的Zernike多項式組合最高階數為N，則其構造過程為：

(6)

式中：

(7)

(8)

將式(6)寫成矩陣形式為：

G=ZA

(9)

式中：G表示由傳感器測量得到的波前斜率信息，其中既包括x方向的斜率信息，也包括y方向的斜率信息；Z為規格為2m×N的重構矩陣，其大小由傳感器中微透鏡陣列中子透鏡的規格決定；A為N階Zernike多項式系數向量。由此，波前重構的關鍵在于對系數向量A的求解，對此，通常采用奇異值分解法進行計算，在得到Z的廣義逆矩陣Z+之后，通過式(10)即可計算出系數矩陣A：

A=Z+G

(10)

將計算得到的Zernike多項式系數代入式(2)中，即可對大氣信道中的波前畸變進行重構。利用模式法進行波前重構時，其重構的精確性將直接取決于所采用的Zernike多項式階數，階數越高，所重構的相位更為精確。然而較高的Zernike多項式階數又將使得在求解系數矩陣時的方程組維度增高，進而使得運算量急劇增加。

2.2 基于互信息的波前重構

互信息[16-17](Mutual Information， MI)可以用來描述2個隨機變量的關系，將它看做是一個隨機變量中包含的關于另一個隨機變量的信息量，2個變量之間的互信息可以描述為：

I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)

(11)

式中：H(X)、H(Y)分別是變量X、Y的熵，H(X,Y)是變量X、Y的聯合熵，分布可以表示為：

(12)

(13)

(14)

式中：p(x)、p(y)是X和Y的概率密度函數；p(x,y)是聯合概率密度函數。

由此，基于模式的互信息重新構建了重構矩陣，按照2.1節的方法求出系數矩陣，帶入式(2)中，即可得到重構的波前相位。

3 數值模擬

本文利用Zernike多項式法[20]來產生相位屏模擬大氣湍流引起的波前相位畸變，在大氣湍流相干長度為0.2 m，采樣點為255×255的條件下，利用65階Zernike多項式模擬產生500個相位屏，分別計算不同模式與不同相位屏的互信息，不同模式與波前相位畸變的互信息統計平均結果如圖4所示。從圖中可以看出，第1個模式與大氣湍流引起的波前相位畸變基本沒有互信息，第3個模式的互信息最大，較高階的模式互信息大小與階數沒有一個明確的關系，并不是階數越大，互信息越小。

圖4 不同模式與波前相位畸變的互信息

因此利用模式法進行波前重構時，在相同的模式數N下，與傳統的模式法利用前N階Zernike多項式進行重構相比，若用于波前重構的Zernike多項式正交基是互信息較大的N個模式，則重構的波前會包含更多的實際波前畸變的信息。

根據圖4，本文將Zernike多項式的不同模式按互信息從大到小重新排列，對比了不同模式數下傳統模式法和基于互信息的模式法的重構效果，利用均方根誤差來描述波前殘差的大小，其表達式為：

(17)

式中:φn(x,y)表示采用n個模式進行重構產生的波前；I、J分別是x、y方向上的采樣點數；M表示多項式所包含圓域內的總采樣點數。

利用Zernike多項式法產生的相位屏如圖5所示，分別利用傳統模式法和基于互信息的模式法對其進行重構，產生的波前殘差如圖6所示。重構出的波前和波前殘差如圖7所示。

圖5 大氣湍流引起的波前相位畸變

圖6 傳統的模式法和基于互信息的模式法在不同模式數下的重構誤差

(a)重構波前

(b)重構波前與實際波前的波前殘差圖7 基于模式互信息的波前重構結果

圖6展示了傳統的模式法和基于互信息的模式法在不同模式數下的重構誤差，從圖中可以看出，隨著模式數的增加，波前殘差的均方根逐漸減小。相比較傳統的模式法，采用基于互信息大小重新排列后的正交基進行波前重構的速度和效果都有明顯的提升。當僅采用一種模式進行校正時，基于互信息重構的波前殘差均方根從1.8 rad下降到1.15 rad，而傳統模式重構法的波前殘差均方根僅下降到1.74 rad，采用2種模式重構波前時，2種方法的波前殘差均方根分別下降了1.2 rad和0.1 rad。當采用65個模式對波前重構時，傳統模式法的波前殘差為0.2 rad，而當基于互信息重構的波前殘差為0.2 rad時，僅需要采用18個模式，所需的模式數大大減少，降低了重構矩陣的復雜度，提升的波前重構的速度。

從圖7可以看出，重構出的波前與大氣湍流引起的波前較為相似，波前殘差較小。

4 結語

在利用模式法對大氣湍流引起的激光光束波前相位畸變進行重構時，不同的模式都代表著不同的相位畸變因素，如傾斜、平移、像散、球差、彗差等。這些因素共同造成了接收端的波前相位畸變，各個模式都對波前畸變有貢獻。利用信息論里的互信息概念，分別計算不同模式與波前畸變的互信息，得出第1個模式與大氣湍流引起的波前相位畸變基本沒有互信息，第3個模式的互信息最大，階數較高的模式數互信息大小與階數沒有一個明確的關系，并不是階數越大，互信息越小。

與傳統的模式法按Zernike的階數從小到大計算重構矩陣相比，將不同的模式按互信息從大到小重新排列后計算重構矩陣的波前重構方法能夠明顯的提高波前重構的精度和速度。當采用65個模式對波前重構時，傳統模式法的波前殘差為0.2 rad，而當基于互信息重構的波前殘差為0.2 rad時，僅需要采用18個模式，所需的模式數大大減少，降低了重構矩陣的復雜度，提升的波前重構的速度。