巧用隱圓模型 突破思維壁壘

仇書芹

(四川省成都市龍泉驛區雙槐中學校 610000)

一、根據圓的定義發現隱形圓

圓在幾何中的定義是：平面內到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓.定點稱為圓心，定長稱為半徑.當題目中的條件出現“定長”、“定點”這些條件時，可考慮作出隱形圓來解題.

1.定點+定長模型

例1(2014·成都·B填24)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是．

因為MA′在整個過程中長度不發生變化，A′始終在以M為圓心、MA為半徑的圓上，故當A′為MC與圓的交點時，A′C的長度最小.

學生在解決此題時，由于想到翻折的性質—— 對應線段相等，故而想到“到定點的距離等于定長”這一 結論，就可以利用 “隱圓”，以這個定點為圓心，定長為半徑作出這個隱藏的圓.再利用圓外一點與圓上一點距離的最值問題或一般幾何最值求解模型解決．

2.定點+等距模型

例2(2017·成都·27(3))如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF．

解①證明△CEF是等邊三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的長．

①證明：如圖2，作BH⊥AE于H，連接BE．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等邊三角形，∴BA=BD=BC.∵E、C關于BM對稱，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四點共圓，∴∠AEC=∠ADC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等邊三角形.

例3(2019·成都·28(3))如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-2，5)，與x軸相交于B(-1，0)，C(3，0)兩點．

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D，若點C′恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C′和點D的坐標；

(3)設P是拋物線上位于對稱軸右側的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當△CPQ為等邊三角形時，求直線BP的函數表達式．

解(3)①如圖3，當點P在x軸的上方時，點Q在x軸上方.

∵點Q在拋物線的對稱軸上，∴QB=QC.

∵△CPQ為等邊三角形, ∴QP=QC,∴QB=QP=QC，

∴B、C、P在以Q為圓心QC為半徑的圓上.

②如圖4，當點P在x軸的下方時，點Q在x軸下方．

綜上所述，直線BP的函數表達式為

從以上例題我們可以看出，當題目的條件中出現一個定點，并能找到到這個定點的距離等于定長的一些點時，就可以根據圓的定義作出隱形圓.

二、根據定線對定角發現隱形圓

圓中的任意一條弦長確定，則所對的圓周角也確定.當題目中出現定長的線段及所對張角為定角時，可考慮作隱形圓解題.

1.定弦+直角模型

(3)若在x軸上有且僅有一點P，使∠APB=90°，求k的值．

解如圖5，由題可得：k+m=1，∴m=1-k.

∴直線l:y=kx+1-k,∴kx+1-k=x2-5x+5,

即x2-(k+5)x+k+4=0.

∴x1=1,x2=k+4.

∴B(k+4,k2+3k+1).

設AB的中點為Q，∵點P有且只有一個，∠APB=90°，

∴點P在以 AB為直徑的圓上，以 AB為直徑的圓與

x軸只有一個交點P，且為切點.

∴QP⊥x軸，∴P為MN的中點.

2.定弦+非直角模型

解如圖6，∵PE⊥OB，∴∠PEO=90°.

∵點M是內心，∴∠OMP=135°.

∵OB=OP，∠MOB=∠MOP，OM=OM，

∴△OMB≌△OMP(SAS)，

∴∠OMB=∠OMP=135°，

∴點M的軌跡是弓形OB上的圓弧，

且∠BQO=2(180°-135°)=90°.

以OB為斜邊在OB的左邊作等腰Rt△QOB，

以Q為圓心，OB為半徑作圓.

三、根據定弦對等角或互補發現隱形圓模型

當位于線段異側的兩個角互補或位于線段同側的兩個角相等，則這四個頂點在同一個圓上，即四點共圓.

例6(2017·重慶·24(2))如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E是AC上一點，連接BE．

(2)點D是線段BE延長線上一點，過點A作AF⊥BD于點F，連接CD、CF，當AF=DF時，求證：DC=BC．

(2)如圖7，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°.

∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴A，F，C，B四點共圓，∴∠CFB=∠CAB=45°，

∴∠DFC=∠AFC=135°.

∴△ACF≌△DCF(SAS)，∴CD=AC.

∵AC=BC，∴DC=BC．

例7(2019·張家界·14)14．如圖：正方形ABCD的邊長為1，點E，F分別為BC，CD邊的中點，連接AE，BF交于點P，連接PD，則tan∠APD=．

解如圖8，連接AF.

∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，∴CF=BE.

易證Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS)，則有AE⊥BF,∠APF=∠ADF=90°.

∴A、P、F、D四點共圓，∴∠AFD=∠APD.

∴tan∠APD=tan∠AFD=2.

“隱形圓模型”的應用實際上是數學建模的其中一種形式，《數學課程標準》指出，數學教學要讓學生親自經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展.

因此要提高學生解決幾何問題的能力，在平時的教學過程中，我們教師要善于引導學生將所學內容整理歸納出類型和方法，經過加工提煉，得出有指導價值、有典型結構的數學模型，培養學生識別模型、應用模型的能力，能在有限的考試時間內，快速破解難題.