探究動(dòng)點(diǎn)軌跡的四步法

趙永強(qiáng) 吳家祥

(山東省棗莊市第十五中學(xué) 277100)

一、常用的基本軌跡與定理

1.動(dòng)點(diǎn)因運(yùn)動(dòng)而生成的基本軌跡

(1)如圖1，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線.

(2)如圖2，到角的兩邊距離相等點(diǎn)的軌跡是角的平分線.

(3)如圖3，到一條已知直線距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是平行于已知直線且位于直線兩側(cè)，并和這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條平行線.

(4)如圖4，動(dòng)點(diǎn)P滿足與射線AB的夾角為定值α，即∠BAP1=∠BAP2=∠BAP3=…=∠BAPn=α，則動(dòng)點(diǎn)P點(diǎn)的軌跡是一條射線AP.

(5)如圖5，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.

(6)如圖6，直角三角形斜邊是定值，直角頂點(diǎn)的軌跡是以斜邊的中點(diǎn)為圓心，斜邊長(zhǎng)為直徑的半圓弧.

(7)如圖7，三角形的一條邊長(zhǎng)為定值，它所對(duì)角也是定值的頂點(diǎn)的軌跡是一段圓弧.

2.常用的定理、公理和性質(zhì)

(1)兩點(diǎn)之間線段最短.

(2)點(diǎn)到直線的距離是垂線段最短.

(3)兩平行線之間的距離是一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.

(4)三角形三邊關(guān)系定理.

(5)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系定理.

二、探究動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的一般步驟

1.初步操作，獲得表象

動(dòng)手操作，畫(huà)出幾個(gè)符合條件的動(dòng)點(diǎn)；通常找符合條件的“特殊動(dòng)點(diǎn)”，從“支離破碎”的動(dòng)點(diǎn)軌跡中，萃取有價(jià)值的信息，獲得動(dòng)點(diǎn)的表象特征，猜想出動(dòng)點(diǎn)軌跡.

2.運(yùn)用畫(huà)板，驗(yàn)證表象

在“幾何畫(huà)板”中，畫(huà)出幾個(gè)符合條件的動(dòng)點(diǎn)，借助“幾何畫(huà)板”，托動(dòng)“主動(dòng)點(diǎn)”演示“從動(dòng)點(diǎn)”的軌跡，進(jìn)一步驗(yàn)證猜想的合理性.

3.根據(jù)軌跡，建立模型

根據(jù)“從動(dòng)點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡的特點(diǎn)，聯(lián)想對(duì)比已有模型信息，作出推理判斷，建立模型.

4.依據(jù)模型，合理解答

根據(jù)已有的條件，借助模型的性質(zhì)，作出合理解答、檢驗(yàn).

三、應(yīng)用舉例

1.直線型軌跡

例1如圖8，邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，E是對(duì)稱軸AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE，將線段CE繞點(diǎn)C，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到CF，則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DF的最小值為_(kāi)___.

步驟：

(1)初步操作，獲得表象

按照題目的要求，作出符合條件CEn、CFn，描出F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…，F(xiàn)n，如圖9，獲得表象，動(dòng)點(diǎn)F的軌跡為一條直線．

(2)運(yùn)用畫(huà)板，驗(yàn)證表象

如圖9，打開(kāi)幾何畫(huà)板，在幾何畫(huà)板中，作出符合條件的CEn、CFn，托動(dòng)“主動(dòng)點(diǎn)En”，追蹤“從動(dòng)點(diǎn)Fn”的軌跡，驗(yàn)證為一條直線l′．

(3)根據(jù)軌跡，建立模型

如圖13，因AD為等邊△ABC的對(duì)稱軸l，所以AD平分∠BAC，所以∠CAE=30°(或150°)，所以△CBF≌△CAE，所以∠CBF=∠CAE=30°(或150°).根據(jù)基本軌跡4，動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條與射線BC的夾角為30°(或150°)射線，即過(guò)點(diǎn)B與射線BC的夾角為30°的直線l′．

(4)依據(jù)模型，合理解答

2.線段型軌跡

步驟：

(1)初步操作，獲得表象

按照題目的要求，作出符合條件的△APnBn，

描出Bo，B1，B2， …，Bn，如圖12，獲得表象，動(dòng)點(diǎn)B的軌跡為一條直線．

(2)運(yùn)用畫(huà)板，驗(yàn)證表象

如圖12，打開(kāi)幾何畫(huà)板，在幾何畫(huà)板中，作出符合條件的△APnBn，托動(dòng)“主動(dòng)點(diǎn)Pn”，追蹤從“動(dòng)點(diǎn)Bn”的軌跡，驗(yàn)證為一條線段BoBn．

(3)根據(jù)軌跡，建立模型

(4)依據(jù)模型，合理解答

3.圓弧型軌跡

例3如圖13，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD；以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為．

步驟：

(1)初步操作，獲得表象

按照題目的要求，作出符合條件的以ADn為直徑的圓，描出E1，E2， …，En，如圖14，獲得表象，動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為一條曲線，像一段?。?/p>

(2)運(yùn)用畫(huà)板，驗(yàn)證表象

如圖14，打開(kāi)幾何畫(huà)板，在幾何畫(huà)板中，作出符合條件的以ADn為直徑的圓，托動(dòng)“主動(dòng)點(diǎn)Dn”，追蹤從“動(dòng)點(diǎn)En”的軌跡，驗(yàn)證為一段弧．

(3)根據(jù)軌跡，建立模型

如圖15，聯(lián)結(jié)AE，因AD為直徑，所以∠AED=90°，所以∠AEB=90°．根據(jù)基本軌跡6，在△ABE中，AB=2為定長(zhǎng)，AB所對(duì)角∠AEB=90°為定值，所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為以AB為直徑的右側(cè)的半圓?。?/p>

(4)依據(jù)模型，合理解答