對稱式、交代式、齊次式、輪換式在初中數學中的應用

楊龍田

(安徽省合肥市新東方外語培訓學校 230000)

一、基礎概念說明

1.對稱式

2.齊次式

一個n元多項式的各項的次數均等于同一個常數r，那么稱這個多項式為n元r次齊次多項式.例如，

含三個字母的三元一次齊對稱式為：A(x+y+z)；

含三個字母的三元二次齊對稱式為：A(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)；

含三個字母的三元三次齊對稱式為：

a(x3+y3+z3)+b(x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y)+cxyz.

3.交代式(多見于因式分解)

4.輪換式

一個多項式含有x、y、z，如果用x替換y，y替換z，z替換x，得到的代數式與原來的代數式還相等，那么稱這個代數式為輪換對稱式，簡稱輪換式.顯然，對稱式一定是輪換式，但輪換式不一定是對稱式.例如，a(x2+y2+z2)是對稱式也是輪換式；b(x2y+y2z+z2x)是輪換式，但不是對稱式.

二、運用示例

對稱式、交代式、齊次式、輪換式在初中數學中的應用主要是涉及整式乘法、因式分解、分式這三個模塊.掌握對稱式、交代式、齊次式、輪換式在七年級數學中的整式乘法、因式分解、分式，使得解這類題更加簡便.在有關不等式中的應用屬于較高要求.

1.在整式乘法中的運用

例1計算：(a+b+c)3.

分析(a+b+c)3是一個三次齊次的對稱式，則展開式是含字母a ，b ，c的三次齊次的對稱式，其同型式的系數相等，可用待定系數法.

解設(a+b+c)3=m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc(m、n、p是待定系數).

令a=1,b=0,c=0.比較左右兩邊系數得m=1；

令a=1,b=1,c=0比較左右兩邊系數得2m+2n=8；

令a=1,b=1,c=1比較左右兩邊系數得3m+6n+p=27.

點評這道題如果使用整式乘法法則計算，會比較復雜，但是在掌握了齊次式的概念，就能知道該式子展開是什么類型，不能確定的就是系數，因此利用待定系數法，就可快速求得結果.

點評兩個對稱式(輪換式)的和，差，積，商(除式不為零)，仍然是對稱式(輪換式).

2.在因式分解中的運用

基本規律：兩個對稱式(輪換式)的和，差，積，商(除式不為零)，仍然是對稱式(輪換式).故：輪換式的因式分解結果仍是輪換式，交代式的因式分解結果一般是交代式和輪換式的乘積.交代式一般僅在因式分解當中有所考察.

例3分解因式：(b-c)3+(c-a)3+(a-b)3.

分析原式多項式是輪換式，則因式分解的結果還是一個輪換式.利用因式定理可發現，當a=b時，多項式值為零，因此，分解過后的式子肯定含有a-b，則同時含有b-c和c-a，這時候只要確定系數即可.

解設(b-c)3+(c-a)3+(a-b)3=k(a-b)(b-c)(c-a),令a=2,b=1,c=a得k=3.故：(b-c)3+(c-a)3+(a-b)3=3(a-b)(b-c)(c-a).

點評這道題關鍵點是運用因式定理，但是對稱式、交代式、齊次式、輪換式的知識會在當中起到輔助的作用.另外，要注意的是，這道題分解的結果并不是簡單的(a-b)(b-c)(c-a)相乘，前面還有系數.

變式因式分解：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).

解∵當a=b時，a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=0,

∴有因式a-b及其同型式b-c,c-a.

∵原式是四次齊次輪換式，除以三次齊次輪換式(a-b)(b-c)(c-a)，可得一次齊次的輪換式a+b+c.用待定系數法：得a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).

例4 因式分解：x3-y3.

分析x3-y3是一個三次齊次交代式，則因式分解的結果是奇數個交代式與若干個對稱式相乘.而利用因式定理可知，x3-y3因式分解的結果含有一個x-y，剩下的就是一個二次對稱式了，設該二次對稱式為m(x2+y2)=kxy，易知m=1，只要確定k即可.

解設x3-y3=(x-y)(x2+kxy+y2),當x=1,y=-1時，解得k=1,故x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2).

點評x3-y3是一個交代式，則x3-y3的分解結果會含有交代式和輪換式，當x=y時，原代數式為0，故x3-y3含有因式x-y，這個剛好是交代式，剩下一個次數是2的輪換式.

例5 因式分解：x3+y3+z3-3xyz.

分析x3+y3+z3-3xyz是一個對稱式，當x+y+z=0時，原式為0，故x3+y3+z3-3xyz因式分解含有x+y+z，而x3+y3+z3是一個三次齊次輪換式，則分解后剩下的部分是二次齊次輪換式，可設為：A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx).

解x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)[A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx)]，利用待定系數法求得A=1，B=-1.故x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx).

點評一次齊次的輪換式形如：A(x+y+z)，二次齊次的輪換式形如：A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx).

3.在分式中的運用

對稱式、交代式、齊次式、輪換式在此模塊中的核心解題技巧是：

(1)若含有x、y、z的代數式是對稱式，則在解題中可設x≤y≤z；

(2)若含有x、y、z的代數式是輪換式，且x，y滿足性質p，則x，z；y，z也滿足性質p；

所以：(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1=1,得:ab+bc+ca=1,所以：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=14.

點評這道題難度大，對稱式、交代式、齊次式、輪換式的存在提供了一個解題方向：對三個式子進行相同的處理.這就是對稱式、交代式、齊次式、輪換式存在的意義.

分析這道題條件中的代數式是三個輪換式，而且條件是三個等式，這里處理的方式即是對三個等式進行相同的變化.

分析典型的輪換式，對條件的三個式子同時取倒數即可.

點評此題對于條件的變化方式還是相同：取倒數.變化后的式子依然是相加得到所需結果.

三式相乘得：x2y2z2=1,故xyz=±1.

點評此題條件是連等式，解決方式則是將連等式轉化成三個等式.前提條件是準備認識到題目條件給出的是輪換式.難點在于三個等式的變化方式.因此，在理解“輪換式”的基礎上，還是要進行一些嘗試，才能得到最終的解題方式.

4.在有關不等式中的應用

例11 (2019高考數學全國1卷第23題[選修4-5：不等式選講])已知a、b、c為正數，且滿足abc=1.證明：

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

分析第(1)問是一個明顯的對稱式，第二問是一個明顯的輪換式.第一問只要將分子1換成abc，然后移項配方就可以做出來；第2問要用到均值不等式.

?a2+b2+c2-ab-ac-bc≥0

點評對稱式、交代式、齊次式、輪換式給出了一些解題方向，第1問處理方式，第二問部分處理方式.但是重要的還是課內的基礎知識，對稱式、交代式、齊次式、輪換式能算得上“錦上添花”.第2問要用到均值不等式的延伸：a3+b3+c3≥3abc.

以上例題還存在片面性，對稱式、交代式、齊次式、輪換式一般出現在競賽相關的知識當中，學習這個可以鍛煉思維，能夠學會從不同角度解決問題，提升思維能力、解題能力.