當(dāng)“翻折”邂逅“多解”

孫春紅

(江蘇省南京市金陵中學(xué)溧水分校 211200)

本文以蘇科版七年級下冊第42頁第七章復(fù)習(xí)題第19題為例，探索一題多解，可以提高學(xué)生的舉一反三能力，激發(fā)學(xué)生尋找最優(yōu)解的動力，可以更好地提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有利于提高學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新精神.

題目如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A′的位置.探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

方法一：用三角形的內(nèi)角和定理和鄰補角的知識

分析如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.要求∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，可以從問題出發(fā)，思考∠A如何表示，∠1，∠2如何表示.在△ADE中∠A=180°-(∠3+∠5)，∠1=180°-(∠3+∠4)，∠2=180°-(∠5+∠6).

解因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.

設(shè)∠3=∠4=x， ∠5=∠6=y，因為在△ADE中∠A=180°-(∠3+∠5)，所以 ∠A=180°-(x +y).

因為∠AEA′與∠1互補，所以∠1=180°-∠AEA′=180°-(∠3+∠4)=180°-2x.

因為∠ADA′與∠2互補，所以∠2=180°-∠ADA′=180°-(∠5+∠6)=180°-2y，即∠1+∠2=360°-2(x +y).所以∠1+∠2=2∠A.

方法二：用三角形的外角解決問題

分析如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.因為∠BED和∠CDE分別為△ADE的外角，而且∠BED既可以用∠A和∠5表示，又可以用∠1和∠4表示；同理∠CDE可以用∠A和∠3表示，也可以用∠2和∠6表示.根據(jù)等式的性質(zhì)可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系.

解因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.

因為∠BED和∠CDE分別為△ADE的外角，所以∠BED=∠A+∠5，∠CDE=∠A+∠3.

又因為∠BED=∠1+∠4，∠CDE=∠2+∠6，所以∠A+∠5=∠1+∠4 ①，∠A+∠3=∠2+∠6 ②.

①+②得2∠A+∠5+∠3=∠1+∠4+∠2+∠6，即2∠A=∠1+∠2.

方法三：用平角和三角形的內(nèi)角和定理

分析如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.由∠AEB=180°可知∠1+∠3+∠4=180°，由△A′DE的內(nèi)角和為180°，可知∠A′+∠4+∠6=180°，再根據(jù)等式的性質(zhì)，可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系.

解因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠A=∠A′，∠3=∠4，∠5=∠6.

因為∠AEB=180°，△A′DE的內(nèi)角和為180°，所以∠1+∠3+∠4=180°，∠A′+∠4+∠6=180°， 所以∠1+∠3=∠A+∠6. ①

同理 ∠2+∠5=∠A+∠4. ②

①+②得∠1+∠2=2∠A.

方法四：三角形內(nèi)角和定理和平角的知識

分析如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠3=∠4，∠5=∠6.由于△ADE的內(nèi)角和為180°，∠A可以用180°-(∠3+∠5)表示，而∠3可以用∠1的代數(shù)式表示，∠5可以用∠2的代數(shù)式表示，再經(jīng)過化簡可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系.

解因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠A=∠A′，∠3=∠4，∠5=∠6.

方法五：運用四邊形的內(nèi)角和和三角形的內(nèi)角解決問題

分析如圖2，因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠1+∠2也在四邊形BCDE中，由四邊形BCDE的內(nèi)角和為360°，可以表示出∠1+∠2，而其中∠4+∠6和∠B+∠C又可以分別用∠A表示，再經(jīng)過化簡可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系.

解因為三角形紙片ABC沿DE折疊，所以△ADE?△A′DE，∠A=∠A′，∠3=∠4，∠5=∠6.因為四邊形BCDE的內(nèi)角和為360°，所以∠1+∠2=360°-(∠4+∠6+∠B+∠C).因為△ADE和△A′DE的內(nèi)角和為180°，所以∠4+∠6=180°-∠A′，∠B+∠C=180°-∠A，所以∠1+∠2=2∠A.